以下是10道初二数学难题及解析：
1. 求证：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证明：任意取一个四边形ABCD，对角线AC和BD互相平分，可得到一个四边形MPEF，连接这个四边形的各边，得到一对对角线MP和EQ互相平分，再根据题意，四边形ABCD的对角线互相平分，那么四边形MPEF就是平行四边形，所以四边形ABCD也是平行四边形。
2. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等。
证明：设等腰三角形的两个底角分别为∠ABC和∠ACB，且∠ABC=∠ACB，过点A作三角形的高AM，根据等腰三角形性质可知，AM平分∠ABC且AM平分∠ACB，再根据角平分线性质定理的逆定理可知两底角的平分线相等。
3. 求证：两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的相等。
证明：设直线a平行于直线b，直线c为任意直线且与直线a相交，在直线a上取两点A、B，在直线c上取一点C，根据平行线性质可知∠1=∠2，再根据内错角定义可知，线段AB与线段BC被直线c所截，一对内错角相等。
4. 求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
证明：设四边形ABCD的中点是点E、F、G、H，连接点E与点F之间连接的线段EF，则根据中点定义可知EF是△ABC的中位线，所以EF=1/2AC，同理可证FG=1/2BD，EH=1/2AD，GH=1/2BC，根据平行四边形对边相等性质可知EF与FG平行且相等，同理EH与GH也平行且相等，所以四边形EFGH是平行四边形。
5. 求证：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和。
证明：设三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C和外角为∠AOB，因为∠A+∠B=∠C+∠AOB(已知)，所以三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和。
6. 求证：三角形一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。
证明：设三角形的中线为AD且CD=BD=1/2AB，在AB上取一点E使AE=AD延长到F使CF=AF得到三角形ABF。因为AD是中线且等于1/2AB所以BD=1/2AB-AD=BE-AE=EF所以三角形ABE全等于三角形FBD所以
7. 求证：一个正数的算术平方根只有一个。
证明：设正数为a则有a的平方根±√a两个而±√a互为相反数只有一个是正确的所以一个正数的平方根只有一个。
8. 求证：三角形的三条角平分线（或中线）相交于一点。
证明：设三角形ABC三条角平分线为AD、BE、CF相交于点O。因为AD是三角形ABC的角平分线根据角平分线性质定理的逆定理可知AO:OD=AB:BC则有三角形ABO相似于三角形ODC则有BO:OD=AB:BC同理可证BE:OF=AC:CB,CF:OE=CA:CB所以BO:OD=BE:OF=CF:OE即三角形三条角平分线相交于一点。
9. 求证：菱形的对角线互相垂直平分。
证明：设菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，因为菱形四个内角都相等所以三角形ABC、三角形ADC都是等腰三角形且都为45度所以BO垂直于AC,AO垂直于BD所以菱形的对角线互相垂直平分。
10. 求证：如果三角形的三边长分别为a、b、c且满足a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0那么这个三角形必是等边三角形。
证明：因为a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0所以(a^2-2ab+b^2
以下是10道初二数学难题及例题：
1. 已知：x^2-4x+4y^2+4y+1=0，求代数式(x^2-4x+4)+(4y^2+4y+1)-2(x^2-4)+8x的值。
解：由已知得(x-2)^2+4y^2+4y+1=0，即(x-2)^2+(4y+1)^2=0，所以x-2=0，4y+1=0，解得x=2，y=-0.25。将其代入原式，得原式=4-8+4-1+8×2=13。
2. 已知：a、b、c为三角形ABC的三边，试化简：√(a^2-b^2)-b-(c-a+b)。
解：由三角形两边之和大于第三边知，原式内含根号下部分小于零，所以原式变形为a+c-b-b，再变形为a-b+c。
3. 已知：x为实数，化简√(x^2-4x+4)+√(x^2-4)。
解：由二次根式有意义的条件知，被开方数必须非负，所以x^2-4≥0且x-2≥0或x^2≥0，所以原式可化为|x-2|+|x-2|。
4. 已知：a、b、c为三角形ABC的三边，求证：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)。
证明：左边=(a+b)+(a+c)+b=(a+b)cosa+(a+c)sina+(b+c)cosa=(a+b)(1+cosa)+(a+c)(1+sina)+(b+c)(1)，右边=abc(1/sina+1/cosa)=abc(cosb/sinb+cosc/sinc)，因为两边和夹一边，所以右边>左边。
5. 已知：x为实数，化简求√(x^2-4)+|x-4|。
解：由二次根式有意义的条件知，被开方数必须非负，所以x^2-4≥0且|x-4|≥0，所以原式可化为|x-2|+|x-4|。
6. 已知：a、b、c为三角形ABC的三边，且a=5，b=6，三角形的面积为3，求第三边c的取值范围及边长为多少的边是直角边。
解：由三角形面积公式S=1/2ab及已知得3=1/256sinA(A为锐角)，所以sinA=3/5。由余弦定理得：c^2=a^2+b^2-2abcosA=5^2+6^2-2563/5=37，所以第三边c的取值范围为大于等于7小于等于37。由于勾股定理逆定理知长为6和5的边是直角边。
7. 已知：三角形ABC的三边a、b、c满足等式：a^2pbc=(ab)^p(ac)^p，求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：由已知得：(bc/ac)a^(p-1)bc=(ab)^p/(ac)^p=1，所以bc/ac=1，即a=b或c=b或c=a，所以三角形ABC是等腰三角形。
8. 已知：三角形ABC的三边满足关系式a^3-a^2b+ab^2-ac^2-bc^3=0，求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：(a^3-a^2b)-(ac^2-bc^3)=a(a^2-ab)-c(c^3-b^3)=a(a-b)(a+b)-c(b-a)(b+c)=(a-b)(a+b)(a-c)，因为等式左边为零所以三边有如下关系：$a=b$或$a=c$或$b=c$所以三角形ABC是等腰三角形。
9. 求证：三角形三边的
以下是一些初二数学难题及其例题和常见问题：
例题：
难题：一元二次方程的根的分布。
例题：一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0，当b^2 - 4ac的值一定小于0时，求方程的解。
常见问题：
1. 一元二次方程的根与什么有关？
2. 如何求一元二次方程的根？
3. 当一元二次方程的根满足什么条件时，可以求出其解？
难题：二次函数的图像与x轴交点坐标为（ - 1，0），（3，0），且图像过点（2， - 3），求这个二次函数的解析式。
例题：已知二次函数的图像经过三个点（1，0），（ - 1，4），（2，3），求这个二次函数的解析式。
常见问题：
1. 如何用待定系数法求二次函数的解析式？
2. 如何根据二次函数的图像判断其开口方向、对称轴、顶点坐标？
3. 二次函数图像与x轴交点的坐标对解析式有何影响？
以上是部分初二数学难题及其例题和常见问题，这些题目需要学生有较强的逻辑思维和运算能力，有助于提高学生的解题能力和数学素养。
请注意，对于初二学生来说，这些题目可能有一定难度，需要花费一定的时间和精力去思考和解答。同时，学生应该注重基础知识和基本技能的掌握，在此基础上再提高解题能力和数学素养。