板块问题是力学里的经典话题, 这对学生综合起来考虑问题的本事是一种检验。
下面我们要说的这个例子, 它是二零一零年福建省普通高等学校招生统一考试的真实试题, 按照现在的视角去审视, 它还是很有必要被深入探讨一番的, 原因在于, 负责出题高考的人从那时候起就不大再去考查那些老套的板块相关题型了, 而是想要看看学生面对新情况时能够做出怎样的应对反应。
题目
把一个叫做物体A的东西放在一块长度特别长、叫做木板B的东西上面, 这个时候木板B是停在水平面不动的。当时间到了t等于0的时候, 电动机通过一根水平的细绳来拉木板B, 用的力气是恒定不变的F, 目的是为了能够让木板B开始动起来, 一开始它是没有速度的。
（1）物体，A, 在刚刚发生运动的那个时候, 它的加速度的大小是。
（2）在时间等于一点零秒这个时刻, 也就是t等于一点零s的时候, 电动机那里所产生的输出的功率P。
（3）当时间t等于1.0秒的时候, 要把电动机的输出功率立刻调整为P=5瓦, 并且要在接下来的运动过程中一直保持着这个功率不发生变化, 已知在t=3.8秒的时候物体A的速度达到了1.2米每秒的情况之下, 需要去计算从t=1.0秒到t=3.8秒这一段时间范围里面, 木板B所产生的位移具体是多少数值。
板块问题的基本常识
板块类问题的核心要点就在于搞清楚板和块这两个物体的相对运动状态。这当中存在若干种可能性, 第一种情况是板与块作为一个整体一起运动, 它们或者具有相同的速度, 或者具有相同的加速度。
第二种情况是板与块各自进行独立的运动, 并且块在板的表面上产生了滑动。第三种情况则是仅仅只有块在板面上发生滑动, 而板本身保持不动。
这个状态到底该怎么判断? 方法是先做一个假设, 然后再去验证看看。具体来说, 就是首先假定那个板子和块是一块儿进行整体运动的。既然假定了是这样运动, 那么根据运动会有的要求, 就可以知道它需要满足什么样的力学条件。接下来的事情, 就是来看现在存在的摩擦力够不够力, 能不能满足上面说的那个力学条件。
要是能够满足的话, 那就说明之前说的这种状态是对的。如果不能够满足, 那就代表之前的假设是不靠谱的、不成立的。这时候, 物体应该处于另外一种不一样的运动状态了。下面将通过关于第一问的分析结果, 对这种思路做个具体的解释和说明。
对第一问的分析
题目给我们说, 这电动机输出的力是恒定的, 所以我们不需要去管它内部是怎么回事, 只要明确它是恒力这个事实就可以。
木板B很清楚地是在做匀加速运动, 我们第一步先把物体A和整体一起运动的情况假设给它假定下来, 认为它具备相同的加速度, 接着来设, 物块A跟木板B之间所提供的那静摩擦力是用f来表示的, 于是嘛, 基于牛顿第二定律这一条规则来进行计算和分析。
现在我们来单独看着物块A, 它确实能够进行加速运动, 这其中的原因完全是因为得到了木板B所提供过来的摩擦力, 而关于最大静摩擦力和滑动摩擦力之间的关系, 大家需要知道这两者是相等的, 并且。
对第二问的分析
题目里面并没有说电动机的机械效率是多少, 所以我们就认定它是百分之百转化。那么, 电动机的输出功率, 有一类办法是根据功率的意思, 用对外做的功除以时间算出来。但是对外做功这个值不是特别容易计算, 因为对外做的功是转化成了物块和木板的动能, 还有它们两个之间摩擦所产生的热量。
还有另外一种办法, 因为你已经知道电动机所提供的输出力是恒定大小的这一情况, 所以我们可以使用功率计算的另一个表达方式来求出力的大小与运动速度的乘积这个数值来进行计算, 采用这种方式来计算功率的时候, 其中有一个方面是要去求出为了保持板块处于这种特定的运动状态, 所需要的那个由电动机所提供的恒定大小的力究竟是多少, 另外还有一个方面则是要去弄清楚在受到这样大小恒定的力的作用的情况下, 那块木板B在具体指定的那一瞬间的速度具体变成了多少。
于是, 如果认为电动机所输出的那种力是一种恒定不变的力, 并且把这个力记作是F这个样子的话, 那么, 针对木板B这种物体的力的分析以及受力情况的展现, 就会出现如下图所示的这种现象。
就图中用红色线条所示意的那个木板B的受力状态而言, 存在一种情形。这个情形里有一个力, 就是电动机借助细绳对它施加的一个拉力F, 此力的作用方向设定为朝向左边。
此外还存在两个滑动摩擦力, 其中一个是由于物体A在其表面上发生滑动行为而造成的摩擦影响；另一个则是木板B在地面上进行滑动操作时所遭遇到的摩擦阻力。基于此类物理情境下的相互作用逻辑, 可以推导出如下的相互关系式:
等到时刻t等于1.0 s的时候, 木板B的速度是比较好算的, 因为它做的是匀加速运动, 根据公式v等于a乘以t进行计算, 结果是1 m/s, 所以到了此刻, 也就是当时间t为1.0 s时, 电动机的输出功率P就等于力F乘以速度v, 最后的计算结果是7 w。
对第三问的分析
第三问里的条件改变了, 具体来说就是从等于1.0秒这个时间点开始, 电动机的输出功率变成了5瓦。我们之前在那个第二问里面算出来的那个功率值是7瓦, 也就是说现在的做法是把原来的功率给调小了一些了, 并且在接下来这个整个的运动过程里面, 都要一直维持着这个新的、已经变小的功率水平不变。
功率不变的情况下会出现什么样的结果呢? 我们可以从公式P=Fv这一点出发去理解, 当功率保持恒定的时候, 如果速度变大, 那么输出的力就会变小。题目条件提到, 在t=3.8 s这个时间点, 物体A的速度是1.2 m/s, 这说明物体A仍然处于加速的状态。
之所以这么判断, 是因为通过前面的情况我们知道, 物体A在t=1.0 s时, 速度为0.5 m/s。在这一段时间跨度里, 木板B究竟做的是怎样的运动, 需要进一步分析。
到了这个时候, 我们还得大胆地去做出一些假设, 原因是如果什么都不假设的话, 这道题其实是没有办法得出结果的。之所以这么说是因为从理论的角度来分析, 木板B所具备的速度以及它所受到的力都处在不断变化的状态之中。
一旦确实是这样的一种变力还有加速度的情形, 那是根本没法进行计算和分析的, 因此比较可能的情况就是存在着某种特殊的状况, 于是我们就可以假定这种特殊的状况为如下内容, 也就是让木板B去做匀速的那种直线运动。
我们既然做出了这样的一种假设, 然后我们再回头去看一看, 在这种特定假设所构成的情况之下, 相关的条件到底是不是得到满足。
已知功率P等于力F乘以速度v, 这里功率的数值是瓦特, 即5 w。假设木板B的速度保持不变, 并且根据第二问中的信息, 可以确定在时间间隔为1.0秒的那个时刻, 木板B的速度值是1米每秒, 也就是v=1m/s。
基于上述情况计算出由电动机所施加给它的拉力大小结果为5牛, 同时在前文所述的第二个问题部分也已经提及出木板B在这个运动过程中会受到来自于摩擦力的作用, 现在需要明确该摩擦力具体是多少。
好了, 从t=1.0 s刚开始的时候, 木板B正在做匀速直线运动, 那么物体A是在做什么样的运动呢? 它是匀加速运动, 这是因为在当前的这个时间节点, 它的速度是0.5 m/s, 但是物体A难道会一直加速下去吗?
它不会的, 当它的速度与木板B的速度变得完全相同的时候, 也就是在v=1m/s的时候, 它就不会继续加速了, 意思就是说明它在木板B上面也不会再继续进行滑动了。那么问题就来了, 为什么给出的条件里面会写着在时间t等于3.8秒这个特定的时候, 物体A的速度是1.2米每秒呢?
在A和B达到共同速度以后, A与B两者之间的滑动摩擦力就会消失, 这时候电动机施加的拉力会大于地面对木板B产生的滑动摩擦力, 因为物体A以及木板B组成了一个整体, 所以该整体将会进行加速运动, 只不过由于电动机的功率维持恒定状态, 随着A以及木板这个整体的速度数值增大下去, 电动机的拉力就会相应地减小, 因此可以得出结论, 物体A与木板B组成的这种整体形式下的运动状态属于变加速运动种类之中的一种, 并且其加速度数值会逐渐呈现出变小的趋势。
所以, 从t=1.0 s开始一直到t=3.8 s结束这整个时间段里面, 木板B先是进行了一段匀速的直线运动, 后来又跟A联合在一起进行了那种加速度在不停变化的加速运动, 针对它所产生的总位移这个概念来说, 必须把它拆解成前后两个独立的部分来分别开展计算才行。
对于第一段位移而言, 大家需要清楚这一段所用到的时间有多少。这个时间数据呢, 可以通过物体A达到速度相同状态时所耗费的时间来加以确定。具体操作是设定从时间t等于1.0秒的那个时刻开始往后面推算。
让物体A经过一段时长为t1的时间以后, 其速度数值增长到了1m/s的这个水平。与此同时, 木板B所走过的位移被标记为s1, 那么此时我们就得到以下结果。
关于第二段位移, 因为处于变加速运动的状态, 所以无法直接使用公式计算, 只能依靠功能关系来进行推算, 至于第一段位移用时为一秒, 那么在时间到达等于三点八秒的时候, 电动机还需要继续做功一点八秒, 由于它的功率保持稳定不变, 因此它对外界所做出的功就可以很容易地被计算出来了。
在这个时间节点段, 物体A与木板B二者之间是不存在滑动情况的。此时, 仅剩下地面对木板B施加的摩擦力在起做负功的作用了, 我们将这一个数值记作Q。
此外, 当时刻为t=2.0 s以及时刻为t=3.8 s的时候, 物体A与木板B各自的动能变化情况也是处于已知状态的。接着我们设定这一段周期内的时间中, 木板B的位移数据用s2表示。基于上述前提条件下, 于是可以得出以下关系式内容:
所以呢, 就是在t等于1.0s到t等于3.8s这么一段持续的时间里面, 那个木板B的位移, 它是通过把1加上2.03算出来的, 结果就得到了3.03m。
需要做出最后的说明。在第二段变加速运动阶段。加速度最大的时刻是在刚开始的时候。此时电动力拉力是5N。地面摩擦力是4N。把A和B看作一个整体来计算最大加速度。结果是0.25m/s。A与B之间的最大静摩擦力足以保证让A以这个加速度进行运动。所以在这个时间段内。A和B能够保持相对静止的状态。