以下是一道初三数学最难几何奥数题及其相关例题：
奥数题：
在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD，求证：四边形ABCD是矩形。
相关例题：
【例题】
已知：在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=1，BD=2。求四边形ABCD各个内角的度数。
【分析】
根据已知条件AD//BC，AB=CD=AD，可证四边形ABCD为矩形，根据矩形的性质可求四边形ABCD各个内角的度数。
【证明】
因为AD//BC，所以四边形ABCD是梯形。
又因为AB=CD=AD，所以四边形ABCD是矩形。
根据矩形性质可知，∠A=90°，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=∠D=75°。
所以四边形ABCD各个内角的度数分别为：∠A=90°，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=75°，∠D=75°。
这道例题与奥数题难度相当，需要学生掌握矩形的性质和证明方法，通过证明四边形ABCD为矩形，再利用矩形性质求解各个内角的度数。
题目：
已知：在四边形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，连接AE、BD相交于点F。求证：S△ABF=S△ABE+S△ADF。
证明：
由AD//BC，E是BC中点，可得AE、BD为四边形ABCD的两条对角线。
由三角形面积公式可得：S△ABF=1/2ABh(BF)，S△ABE=1/2ABh(BE)，S△ADF=1/2ADh(DF)。
又因为h(BF)=h(DF)，所以S△ABF=S△ABE+S△ADF。
这道题是一道典型的几何奥数题，涉及到平行、中点、三角形面积等知识点，需要学生有较好的空间想象能力和逻辑思维能力。
初三数学最难几何奥数题
题目：在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B（0，4），以AB为边在AB的右侧做等边三角形ABC，求C点的坐标。
例题：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，2），以AB为边在AB的右侧做等边三角形ABC，求C点的坐标。
常见问题：
1. 等边三角形的中心是什么点？
答：等边三角形的中心是三条边的垂直平分线的交点。
2. 如何求等边三角形的边长？
答：等边三角形的边长是三边上的中线之和。
3. 如何求等边三角形的面积？
答：等边三角形的面积可以通过底和高相乘再除以2来求得。
解题思路：
根据已知条件，可以确定三角形ABC为等边三角形，已知点A和点B的坐标，可以通过中点坐标公式求得AB的中点D的坐标。由于等边三角形的三边相等，可以通过勾股定理求得C点的横坐标。再根据A、B、C三点坐标求得C点的纵坐标，即可得到C点的坐标。
例如：在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（3，4），求以AB为边所做的等边三角形的中心坐标。
解题步骤：
1. 求AB中点D的坐标：$(1,2)$；
2. 根据勾股定理求得C点横坐标：$(2+3)/2+3\sqrt{3}$；
3. 求C点纵坐标：$(4-2)/2 \times 2=2$；
4. 得到C点坐标：$(2+3\sqrt{3},2)$；
5. 中心为三条边的垂直平分线的交点，所以中心坐标为$(1+ \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{7}{2})$。