二次函数难题和相关例题
难题：
已知二次函数y=x^2-2x-3的图像与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点C为二次函数图像顶点，求AC^2+BC^2的值。
相关例题：
【分析】
根据二次函数解析式得到顶点坐标，再根据勾股定理求出AC和BC的长度，再代入计算即可求解．
【解答】
解：∵二次函数$y = x^{2} - 2x - 3$，
∴二次函数图像顶点坐标为$(1， - 4)$，
∴$AC^{2} = 1^{2} + ( - 4)^{2} = 9$，
∵点A在点B左侧，
∴$B(3，0)$，
∴$AB^{2} = 3^{2}$，
∴$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$．
∵$AB^{2} = 9$，AC$＝3$，
∴$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 9 + 9 = 18$．
答：AC$\mspace{2mu}^{2} + BC$$\mspace{2mu}^{2}$的值为$18$．
通过灵活运用二次函数的基本性质和勾股定理，掌握二次函数是描述了抛物线的重要数学模型，通过抛物线与坐标轴的交点、抛物线上点的坐标特征、抛物线与直线间的关系、二次函数的综合应用等知识来解答本题。
二次函数难题及例题
难题：
已知二次函数y=x^2-2x-3的图像的对称轴为直线x=1，且图像与直线AB相交于A、B两点，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），求A、B两点纵坐标的和（用含x的代数式表示）
例题：
已知二次函数y=x^2-2x-3的图像的对称轴为直线x=1，图像与直线AB相交于A、B两点，且AB=3，求A、B两点的坐标
分析：
由对称轴为直线x=1，可知A、B两点到对称轴的距离之和为3，又因为图像与直线AB相交，所以可设交点坐标为（1，y），再根据AB=3求解。
解：
由对称轴为直线x=1，可知A、B两点到对称轴的距离之和为3+3=6
又因为图像与直线AB相交，所以可设交点坐标为（1，y），则有
y=（3+3）÷2-2=0或y=（3+3）÷2+2=4.5
所以A、B两点的坐标为（1，0）和（4.5，4.5）或（1，4.5）和（4.5，0）
二次函数难题和相关例题常见问题
一、难题
已知二次函数图像的顶点在原点，且经过点（2，-12），求该二次函数的解析式。
二、例题
例1：已知二次函数的图像与x轴交于点（3，0），且当x=2时，函数值y=8，求这个二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x-3)(x+h)，把x=2，y=8代入得：
8=a(2-3)(2+h)，解得：a=1，
∴这个二次函数的解析式为y=(x-3)(x+h)=x²-(3-h)x-3h。
例2：已知二次函数的图像与y轴交于点（0，-6），并且图像在y轴上的截距为-6，求这个二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x-0)²+h，把x=0，y=-6代入得：
-6=a²+h，∵图像在y轴上的截距为-6，∴a=-6，
∴这个二次函数的解析式为y=-6x²-6。
三、常见问题
1. 已知二次函数的图像顶点坐标为（1，2），且经过点（2，1），求这个二次函数的解析式。
解：设二次函数解析式为y=a(x-1)²+2，把x=2，y=1代入得：
a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x-1)²+2。
2. 已知二次函数的图像与x轴交于点（3，0），并且图像在x轴上的截距为-4，求这个二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x-3)(x+4)，把x=0代入得：
-12a=0，∴a=-0.5，∴这个二次函数的解析式为y=-0.5(x-3)(x+4)。
以上是初三数学中关于二次函数的难题和相关例题常见问题，这些问题需要学生掌握二次函数的基本概念和性质，能够运用待定系数法求二次函数的解析式，并能够根据图像分析二次函数的性质。