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第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷
这张卷子一共有九个题目，其满分为一百六十份。其中，关于计算题的解答，不仅仅要写出必要的文字方面的说明，还要写出方程式以及很重要的演算步骤，仅仅只写出最后的结果是无法获得分数的。凡是存在数字计算的那些题目，在答案里必须要明确写出具体的数值呈现形式以及相应的单位。而填空题则是要把答案填写在题目当中给出的横线上，只需要给出最终的结果就行，不需要写出寻求解答的整个过程。
一、给15分，蛇形摆是一种实验仪器，其作用是用来演示单摆周期跟摆长之间的关系，（见图），有好些个摆球，它们处于同一高度，并且等间距地排成一条直线，这些摆球的悬挂点处于不同高度，摆长是依照顺序慢慢减小的，假设重力加速度g等于9.80m/s2。
1．试去设计出一个所包含的是十个单摆的蛇形摆，也就是要去求出每一个摆的摆长，需达到这样的要求：其一，每一个摆的摆长不能够小于0.450m，同时也不可以大于1.00m；其二，在初始的时候要把所有的摆球从平衡点顺着x轴正方向移动相同的一个小位移xo，这里的xo小于0.45m，之后同时进行释放，经过40s以后，所有的摆能够同时回到初始状态。
2．处于上述那般情况之时，自所有摆球就此开始摆动起始，直至它们的速率头一回全部呈现为零为止，这段所历经的时间是。
二、（20分）设有一恒星，它处于距离我们为L的地方，其质量是M，经观测发现，它的位置呈现出周期性摆动，摆动的周期为T，摆动范围的最大张角是θ，假设该星体所呈现的周期性摆动是因为存在一颗围绕它做圆周运动的行星导致的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程。
要是L等同于10光年，T等于10年，θ是3毫角秒，M等于Ms（Ms是太阳质量），那么此行星的质量是多少呢，它运动的轨道半径r又是多少呢？分别用太阳质量Ms以及国际单位AU（平均日地距离）来作为单位，只保留一位有效数字。已知1毫角秒等于EQF(1,1000)角秒，1角秒等于EQF(1,3600)度，1AU等于1.5×108km，光速c等于3.0×105km/s。
三、将质量均匀分布的刚性螺旋环，其质量被设定为 m ，半径为 R ，螺距 H会等于πR ，它能够绕着竖直的对称轴 OO′ ，毫无摩擦地进行转动 ，连接螺旋环与转轴的两支撑杆 ，其质量可被忽略不计。有一质量同样为 m 的小球 ，穿在螺旋环上 ，并且可以沿着螺旋环毫无摩擦地滑动 ，一开始扶住小球 ，让小球静止在螺旋环上的某一点 A ，此时螺旋环也处于静止状态。之后放开小球 ，小球会沿着螺旋环下滑 ，螺旋环就会绕着转轴 OO′ 转动。求当小球下滑到离初始位置沿竖直方向的距离是 h 时 ，螺旋环转动的角速度 ，以及小球对螺旋环作用力的大小。
四、如图所示，有一粒子，其质量是m，电荷量为q且q大于0 ，它做着匀速圆周运动，角速度是ω，半径为R。有一长直细导线，处于圆周所在平面内，离圆心距离为d ，且d大于R ，导线上通有随时间变化的电流I。在t = 0时刻，粒子速度方向与导线平行，离导线距离为d + R。粒子做圆周运动的向心力等于电流i 的磁场对粒子的作用力，已知长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数k ，试求出电流i 随时间的变化规律，不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响。
五、图中所示，存在两个固定着的均匀带电球面，其所带电荷量分别是 +Q 和 -Q ，这里 Q 大于 0 ，它们的半径分别为 R 和 R/2 ，小球面与大球面内切于 C 点，两球面的球心 O 和 O’ 的连线 MN 沿着竖直方向，在 MN 与两球面的交点 B、O 和 C 处，各开有足够小的孔，因小孔而产生的电荷量损失忽略不计，有一个质量为 m ，所带电荷为 q ，这里 q 大于 0 的质点，自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点进行竖直上抛，设静电力常量为 k ，重力加速度为g。
1．要使质点从A点上抛后能够到达B点,所需的最小初动能为多少？
2．需让质点从A点进行上抛，之后能够抵达O点，在不一样的条件之下，所需要的最小初动能分别是多少呢？
六、设有由单位长度电阻为r的导线所构成的如图所示的正方形网络系列，当n等于1的时候，正方形网络的边长是L，当n等于2的时候，小正方形网络的边长为L除以3，当n等于3的时候，最小正方形网络的边长是L除以9 ，那么当n分别为1、2、3时，各网络上A、B两点间的电阻分别是多少呢？
七、源于太阳辐射抵达地面的地球上的那热能，假设不把大气对太阳辐射的吸收情况算进去，一部分被地球表面反射到太空里，其余的部分被地球给收下了，被收纳吸收的那些部分最终转变成地球热辐射也就是红外波段的电磁波，热辐射在朝外传播的进程当中，其中一部分会被温室气体反射回到地面来，地球靠这种方式维持住了总能量平衡，当作一个简单的理想模型呀，假设地球表面的温度在每一处都是一样的，并且太阳和地球的辐射全都遵循斯忒蕃一玻尔兹曼定律，单位面积的辐射功率J跟表面的热力学温度T的四次方是成正比的，也就是J=σT4，这里的σ是一定常量，已知太阳表面温度Ts=5.78×103K，太阳半径Rs=6.69×105km，地球到太阳的平均距离d=1.50×108km，假定温室气体在大气层里集中形成一个均匀的薄层，并且设定它对热辐射能量的反射率为ρ=0.38。
1．若是地球表面针对于太阳辐射的均值反射率α等于0.30，那么试问在考量了温室气体针对热辐射的反射作用之后，地球表面的温度究竟是多少呢？
2．当存在这样一种情况，即地球表面有一部分被冰雪所覆盖，此时覆盖部分对于太阳辐射的反射率是α1等于0.85 ，而其余部分的反射率处于α2等于0.25 ，那么请问，在这种状况下，冰雪被盖面占据总面积达到多少的时候，地球表面温度会是273K呢？
八、，正午时，太阳的入射光与水平面夹角为θ等于 450 ，有一座房子朝南墙上，有一个直径 W 等于10cm 的圆窗口 ，窗口中心距地面高度为 H ，试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进入窗口 ，并要求进入的光为充满窗口 ，垂直墙面 ，且光强是进入采光装置前 2 倍的平行光 ，可供选用的光学器件如下 ，一个平面镜 ，两个凸透镜 ，两个凹透镜 ，平面镜的反射率为 80% ，透镜的透射率为 70% ，忽略透镜表面对光的反射 ，要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置 ，试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图 ，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件。
九、（16 分）已知高中物理竞赛复赛范围起步网校，粒子 1 的静止质量是 m0静止，粒子 2 的静止质量也是 m0啊，粒子 1 处于静止状态，粒子 2 以速度 v0去与处于静止的粒子 1 发生了弹性碰撞。
1.要是碰上的情况属于斜碰，得去考量相对论效应。试着去论证，碰撞之后两个粒子速度的方向所形成的夹角，究竟是锐角，或者直角，又亦或是钝角呢。如果不把相对论效应给考虑进去，那结果会是怎样的呢？
2.若碰撞是正碰,考虑相对论效应,试求碰后两粒子的速度.
一、参考解答：
1．用它来表示第i个单摆所具有的摆长，依据条件（b）能够知道，每一个摆的周期必然是40s的整数分之一，也就是。
（Ni为正整数）（1）
(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.
由(1)可得,各单摆的摆长
（2）
依题意,,由此可得
（3）
即（4）
因此,第i个摆的摆长为
10
li/m
0.993
0.901
0.821
0.751
0.690
0.635
0.588
0.545
0.507
0.472
（5）
2．
评分标准：本题15分．
从分值分配来看高中物理竞赛复赛范围，第1小问是11分，其中（2）式所占分值为4分呢，（4）式同样是4分，而10個摆长总共占了3分哟。
第2小问4分．
二、参考解答：
设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为,根据题意有
（1）
将有关数据代入（1）式,得．又根据质心的定义有
（2）
式中，是行星绕着恒星做圆周运动时的轨道半径，意思就是行星跟恒星之间的距离。依据万有引力定律，存在这样的情况。
（3）
由（2）、（3）两式得
（4）
首先前提是，考生采用表示行星到恒星与行星系统质心的距离，进而将（2）式写成特定的状态，再把（3）式写成特定的状态，随后同样能够得出（4）式，而这也是正确无误的情况。
利用（1）式,可得
（5）
（5）式就是行星质量所满足的方程．可以把(5)试改写成下面的形式
（6）
因地球绕太阳作圆周运动,根据万有引力定律可得
（7）
注意到,由（6）和（7）式并代入有关数据得
(8)
由（8）式可知
由近似计算可得
（9）
由于小于1/1000,可近似使用开普勒第三定律,即
（10）
代入有关数据得
（11）
评分标准：本题20分．
（1）分数分配如下，式2分，式3分，式4分，式3分，式4分，式4分。
三、参考解答：
解法一
图 1 中，有一倾角为某角度的直角三角形薄片，如那特定所示的样子，其紧贴于半径为特定值的圆柱面，该圆柱面的轴线与直角三角形薄片沿竖直方向的直角边相平行，要是把这个三角形薄片进行卷绕，使其卷绕在柱面上。
图1
（1）
可得：
,（2）
假定在所研究的那个时刻，螺旋围绕其自身转轴的角速度是这样的一种情况，于是环上面每个质量是那种情形的小质元围绕转轴转动时线速度的大小都是一样的，把它用u来进行表示。
（3）
该小质元对转轴的角动量
整个螺旋环对转轴的角动量
（4）
小球沿着螺旋环进行的运动，能够被看作是两类运动的合成结果，分别是在水平面之内展开呈现的圆周运动，以及沿着竖直方向所进行的直线运动。当处于螺旋环的角速度处于特定数值的时候，假设小球针对螺旋环而言所具有的速度是一个特定值，那么此刻小球在水平面内开展圆周运动之时所具备的速度就是一个特定值。
（5）
沿竖直方向的速度
（6）
针对由小球以及螺旋环共同构成的系绕而言，外力施加于转轴之上时所形成的力矩呈现为零的状态，系统针对于转轴的角动量保持守恒的特性，所以会存在这样的情况，即。
（7）
由（4）、（5）、（7）三式得：
（8）
在小球沿螺旋环运动的过程中,系统的机械能守恒,有
（9）
由（3）、（5）、（6）、（9）四式得：
（10）
解（8）、（10）二式,并利用（2）式得
（11）
（12）
由（6）、（12）以及（2）式得
（13）
或有
（14）
（14）式表明,小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动,其加速度
（15）
若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为,则有
（16）
由（11）和（16）式得
（17）
（17）式表明,螺旋环的运动是匀加速转动,其角加速度
CRm图2
图2
小球对螺旋环有着作用力，这其中包含小球对螺旋环的正压力，该正压力处于图1所示的薄片平面之内，其方向是垂直于薄片的斜边的；还有螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力的反作用力，向心力是在水平面内的，其方向指向转轴C，就如同图2所展示的那样。、两力之中只有对螺旋环的转轴是有力矩的，依据角动量定理才会有。
（19）
由（4）、（18）式并注意到得
（20）
（21）
由以上有关各式得
（22）
小球对螺旋环的作用力
（23）
评分标准：本题22分．
（1）（2）式合计3分，（7）式子是1分，（9）式子也是1分，求出（11）式会给到6分，（20）式有5分，（22）式是4分，（23）式给2分。
解法二
请你明确一下题目中直角三角形薄片的倾角具体数值以及圆柱面半径的具体数值等关键信息，以便我更准确地按照要求改写句子。仅根据现有表述改写如下：有一呈现直角三角形形状的薄片，薄片存在某一倾角，该薄片紧贴于具有一定半径的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片沿着竖直方向的直角边保持平行，若将此三角形薄片进行卷绕使其在柱面上，那么三角形薄片的斜边就如同题目里所说的螺线环。
图1
根据题意有：（1）
可得：,（2）
螺旋环绕着其的对称轴，无摩擦地进行转动时，环上每一点线速度的大小，等同于直角三角形薄片，在光滑水平地面上向左移动的速度。小球以螺旋环为运动路径，这可观作是在竖直方向的直线运动，以及在水平面内的圆周运动的合成。在考察圆周运动的速率之际，可以将圆周运动，看做为沿水平方向的直线运动，如此一来，小球的运动，就等价于小球沿着直角三角形斜边的运动。小球从静止状态起始，沿着螺旋环运动，直至在竖直方向上达到离开。