- 2022高三元调湖北物理
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相关例题：
题目：
【题目描述】
有一块金属板，上面有若干杂质，需要用磁性物质进行过滤。已知杂质分布不均匀，需要求出磁化后的磁场分布。
【原始数据】
金属板尺寸为$L \times L$，厚度为$h$，磁导率为$\mu$，磁化强度为$M$。
【磁场分布求解】
求解磁化后的磁场分布，并画出磁场强度随距离的变化曲线。
【解题思路】
根据安培环路定理，可以求出磁化后的磁场分布。
【答案】
根据安培环路定理，有：
$\oint_{S}H \cdot \hat{n} \cdot d\mathbf{S} = \mu \cdot \frac{dM}{dt}$
其中，$H$为磁场强度，$\hat{n}$为磁感应线方向的单位向量，$d\mathbf{S}$为闭合曲面上的微元面积。
由于磁场在金属板内，所以积分路径为金属板边界的闭合曲面。根据题意，磁场强度在金属板内为零，所以可以取一个无限小的正方形作为闭合曲面，其边长为$L$。
根据题意，磁化强度为$M = M_0 \cdot \sin(\omega t + \varphi)$，其中$M_0$为峰值，$\omega$为角频率，$\varphi$为初始相位。
根据以上条件，可以求出磁场分布：
$H = \frac{M_0}{2\pi\mu L^2}\sin(\omega t + \varphi) \cdot \frac{L}{r}$
其中，$r$为点到金属板的距离。
图略（请根据上述公式自行绘制）
可以看到，磁场强度在金属板边缘处最大，随着距离的增加而减小。
【例题解答】
根据上述公式，带入具体数值进行计算。假设金属板尺寸为$L = 1m$，厚度为$h = 1mm$，磁导率为$\mu = 10^{5}$，磁化强度峰值$M_0 = 1T$，角频率$\omega = 2\pi \times 10^{4}$，初始相位$\varphi = 0$。求出磁场分布并画出磁场强度随距离的变化曲线。
解：
$H = \frac{M_0}{2\pi\mu L^2}\sin(\omega t + \varphi) \cdot \frac{L}{r} \cdot \frac{1}{2}rdrd\theta$
其中，$rdrd\theta$表示的是在金属板边缘处取一个极小圆环的面积分。
带入具体数值后可得：
H = 0.5 × 10^-3T/m × sin(2π × 10^4t) × (1m) × (1m) × (1mm) × (1mm) × (1/2) × (1m+1m) × (1m-1mm) × (1mm-1mm) / (π × 1mm^2) = 0.5T/m × sin(2π × 10^4t) × (π/6) × (mm^2) = 0.5T/m × sin(πt) × π^3/6mm^2 = -3.7×10^-6T/m × sin(πt)T/m × π^3/6mm^2 = -π^3/6×(3.7×10^-6)T^2/m^3 × sin(πt)T^2/m^3 × r^3/(L^2π^2) = -π^3/6×(3.7×10^-6)×(π^3/6×r^3)/(L^2π^2) × sin(πt)T^2/m^3 × r^3/(L^2π^2) = -π×(3.7×10^-6)/L^2π^2 × sin(πt)T^2/m^3 × rT/m^3 × rT/L^2πT/L^2π = -π×(3.7×10^-6)/L^2π^2 × πT/L^2πT = -π×(3.7×10^-6)/L^4T
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