- 卷行天下周测卷6物理高二
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相关例题:
题目:
假设有一个直径为d的圆筒,其内壁光滑,外壁粗糙。圆筒的一端有一个小孔,小孔处有一个小球,小球的质量为m。现在圆筒内加入一些水,水的质量为M。当圆筒静止时,小球在圆筒内做圆周运动,求小球做圆周运动的角速度。
分析:
这个问题涉及到圆周运动和牛顿第二定律的应用,需要考虑到小球受到的重力、水的压力和圆筒壁的摩擦力等多个力的作用。
解题过程:
$F_{水} + F_{摩擦} = m\omega^{2}r$
其中,F_{水}是水的压力对小球的作用力,F_{摩擦}是圆筒壁对小球的摩擦力,m是球的质量,\omega是球的角速度,r是小球到圆筒中心的距离。
由于小球在圆筒内做圆周运动,所以小球受到的向心力是由水的压力和圆筒壁的摩擦力提供的。因此,水的压力对小球的作用力F_{水}可以表示为:
$F_{水} = m\omega^{2}r\frac{M}{M + m}$
其中,r是小球到小孔的距离。由于小球在圆筒内做完整的圆周运动需要一周的时间为T = 2πr/w,所以可以得到:
$T = \frac{2\pi r}{w}$
将这个公式代入到前面的方程中,可以得到:
$F_{水} + F_{摩擦} = m\frac{2\pi r}{T}\frac{M}{M + m}$
接下来,我们需要求解圆筒壁对小球的摩擦力F_{摩擦}。由于外壁粗糙,所以小球受到的摩擦力可以表示为:
$F_{摩擦} = \mu F_{N}$
其中,F_{N}是小球对圆筒壁的压力,μ是圆筒壁对小球的摩擦系数。由于小球在圆筒内做圆周运动时,其受到的重力与支持力平衡,所以可以得到:
$F_{N} = mg$
将这个公式代入到前面的方程中,可以得到:
$F_{水} + F_{摩擦} = m\frac{2\pi r}{T}\frac{M}{M + m} + \mu mg$
为了求解角速度\omega,我们需要解这个方程。由于我们不知道μ的具体数值,所以我们需要进行一些假设。假设μ是一个常数,那么我们可以将μmg移到等号右侧,得到:
$m\frac{2\pi r}{T}\frac{M}{M + m} = F - \mu mg$
其中,F是圆筒壁对小球的弹力。由于弹力与小球的向心力相等,所以可以得到:
$F = m\omega^{2}r$
将这个公式代入到前面的方程中,可以得到:
$m\frac{2\pi r}{T}\frac{M}{M + m} = m\omega^{2}r - \mu mg$
将这个方程变形得到:
$\omega^{2} = \frac{2\pi^{2}MrT}{M(M+m)} - \frac{\mu g}{r}$
最后,将这个方程中的r、T、M、m代入得到角速度的表达式中即可得到答案。注意要将μ看作一个常数进行求解。
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