- 数学物理高州辅导
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相关例题：
题目：求解一维热传导方程
一维热传导方程可以表示为：
$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{\Delta x} \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}$，其中T(x, t)表示空间坐标x处的温度在时间t时的值，k是热传导系数，Δx是空间分辨率。
假设初始条件为T(x, 0) = φ(x)，边界条件为T(0, t) = 0，T(L, t) = 1，其中L是空间范围。
现在要求解该方程在(0, L)区间内的解，要求解出T(x, t)的表达式。
解：根据热传导方程的微分形式，可以得到T对x的偏导数：
$\frac{\partial T}{\partial x} = - \frac{k}{\Delta x^{2}} \frac{\partial^{2} T}{\partial t^{2}}$
将初始条件和边界条件带入上式，可以得到：
$\frac{\partial T}{\partial x}|_{t=0} = - \frac{k}{\Delta x^{2}} \varphi'(x)$
$\frac{\partial T}{\partial x}|_{t=L} = 0$
根据初始条件和边界条件的连续性，可以得到T(x)的表达式：
$T(x) = \frac{1}{L}\int_{0}^{L} \varphi(x - \lambda t) \cdot \frac{k}{\Delta x^{2}} \varphi'(x - \lambda t) d\lambda$
其中，$\lambda = \frac{k}{\Delta x^{2}}t$是传播速度。
通过求解这个积分，可以得到T(x, t)的表达式。在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的初始条件和边界条件进行求解。
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