质点角动量定律及角动量守恒定理3。1。1质点的角动量设一质量为m的质点相对于参考系中某参考点O的位置矢量为r，其瞬时速率为v，如图3-1a所示．则定义质点相对于O点的角动量LL=rmv（3。1）上式表明：质点相对于O位置矢量r与其动量mv的矢量积称为质点相对于的方向与r和mv所在的平面垂直，且r、mv小等于以r和mv作邻边的平行四边形面积，即L=|φ与mv两矢量之间的倾角．按以上定义，角动量L富含动量mv因子，因而L与参考系有关；L还富含r因子，r又依赖于参考点的位置，所以质点对某一点的角动量也依赖于参考点的位置．比如质点动量定理的数学表达，在图3-1b中，参考点为O点时的角动量L与参考点为O′点时的角动量L′是不同的．应该强调的是，尽管质点相对于任仍然线（比如z轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但这种角动量在该直线上的投影却是相等的．如图3-1b所示，平面与z轴垂直，则质点对于O点及O′点的角动量分别为L分别等于以r及mv为邻边及以r′及mv为邻边的平行四边形的面积，L轴上的投影分别是Lz=Lcosα和L′z=L′cosα轴间的倾角），由图3-1b可见，Lz面上的投影面积，二者是相同的，故Lz=L′z．我们把质点对z轴上任意一点的角动量L轴上的投影，称作质点对于z轴的角动量，用Lx表示．前面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．在国际单位制中，角动量的单位为千克米如图3-2所示，质量为m的质点以速度v绕直径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．质点作圆周运动时，其速率v处处与位置矢量r垂直，r和mv的方向由左手螺旋法则确定，将要手指的四指由r的正向以大于π的角度转向mv的正向，则手指所指即为L的方向．这儿角动量L的方向垂直于圆平面向外．设质点的角速率大小为ω，因v=rω，所以上式也可写作L=mr（3。
3）假如写作矢量式，则有L=mr（3。4）式中ω是角速率矢量，其方向与质点的绕向之间遵照手指螺旋法则，即垂直于圆平面向外，与L的方向一致．轴顺着L的方向，则质点对于z轴的角动量即等于Lz=mr称为质点绕z轴转动时的转动力矩．可见，质点绕轴转动时，它（对于该轴线）的角动量等于质点的转动力矩与角速率的乘积．质量为m的质点在xy平面内以速率v作匀速直线运动，如图3-3示．求此质点相对于原点O的角动量．轴的单位矢量，则质点的角动量为L=rmv=φ指向z轴负方向．由图3-3可以看出，rsinφ恰好等于O点与轨迹的垂直距离d，因而代入上式得L=-mvdk可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量，质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有的动量．另外，还可以看出，假如把参考点选在该直线上，则sinφ=0，质点对该点的角动量永远等于零．因而，当提到的动量时，必须指明是对那个参考点而言的，否则没有意义．已知氢原子中电子的质量为9。1110-31kg，它绕原子核运动的平均直径为5。2910-11m，角速率为4。-1，所以它对原子核中心的角动量为L=mrω=(9。1110-31))5。
2910-11(4。)kgm-1=1。0510-34kgm此数值是数学学中最重要的常量之一，用h表示，微观粒子的角动在宏观现象中，物体的角动量可以取连续的数值．比如，对于一个绕轴转动的轮子，可以使其怠速连续的减小或减弱；但对于微观粒子则角动量（载流子角动量或轨道角动量）只能在一些确定的离散数列中取值，外部的作用只能使这种角动量的值从某一数值跃变为另一数值，而不能连续变化，这些现象称作角动量的量子化．角动量的量子化现象与角动量守恒并行不悖，只是显示出微观粒子的角动量还有其特殊属性．3。1。2扭力动量定律说明，导致动量改变的缘由是力；下边将听到，导致角动量改变的缘由是扭力．对于惯量的概念，尽管在学校数学课中已作过初步介绍，比如，推门时斥力对门轴有扭力，用扳手拧螺丝时斥力对螺杆的轴有扭力等．但那儿讨论的只是物体绕一定轴线转动，所遇见的扭矩总是对轴的扭矩，是扭矩的一种特殊方式．扭矩的普遍定义是对一定参考点的，对轴的扭矩只是对点的扭矩沿轴线的一个份量．下边将给出力矩的通常定义．如图3-4所示，O是空间一点，F是斥力质点动量定理的数学表达，A表示受力点，受力点相对于参考点O的位置矢量r矢量的矢量积τ称作力F对参考点O的扭矩．其物理表达式为（3。
4）由矢量积的定义可知，扭力τ的大小等于r和F作邻边的平行四边形的面积，的倾角．扭力τ的方向与r构成一双手螺旋系统．在国际单位制中，扭矩的单位是牛顿米（Nm）．由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的扭矩，因而提到转矩时必须指明是相对于哪一点而言的．当力F不为零时，扭力τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参考点O，此时位置矢量r=0；另一种是沿力的方向的延长线通过参考点O，此时sinφ=0．假若质点在运动中遭到的力仍然指向某个固定的中心，这些力称作有心力，该固定点称为力心．上述第二种情况，有心力相对于力心的扭矩恒为零．点的扭矩τ在通过O点的任一轴线如z轴上的份量，称作力对轴线z的扭矩，用τ表示，这就是学校数学课中给出的扭矩的定义．正如上一节中对于角动量的讨论一样，力F对于轴线z上任一点的扭矩τ在该轴线上的份量的数是与所选参考点无关的．3。1。3质点的角动量定律及角动量守恒定理力可以导致质点动量的改变，质点所受的合力等于质点动量对时间的变化率．下边我们讨论扭矩与质点角动量改变之间的关系．1．质点的角动量定律角动量的定义为L=rmv将角动量对时间导数，可得因而上式可变为所以上式右方为质点所受合力对参考点的扭矩，τ于是就得到（3。
6）上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的扭矩，等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率．这个推论称作质点的角动量定律．把质点角动量定律在直角座标系中抒发，可得到三个份量多项式：(3。7)即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作用于质点的合力对同一轴的扭矩，称做质点对轴的角动量定律．对于绕z轴作圆周运动的质点来说，Lz=mrω，ω为质点转动的瞬时角速率，因而，由（3。7）式可知，质点对z轴的角动量定律可以写成用质点的动量定律求出单摆摆锤的瞬时切向加速度与重力加速度的关系式．如图3-5所示，设摆锤质量为m，摆线长为l，摆线与铅直方向的倾角，线中张力为T，摆锤在该位置的瞬时速率为v．按照质点角动量的定义式L=rmv因为|r|=l，且rmv，因而摆锤对固定点O的角动量的大小为L=lmv方向垂直图面向外．这时摆锤所受的力为重力及摆线拉力，因为拉力T的作用线通过O矩等于零，因而摆锤此时所受的对O点合扭矩的大小为M=θ方向垂直纸面向外．按照质点的角动量定律这正是决定这刹那时摆锤的切向加速度的关系式．假若把摆锤的运动看作是绕通过O点且垂直于纸面的轴线（取为z2．质点角动量守恒定理按照质点角动量定律假如τL=常量（3。
8）即作用于质点的合力对参考点O的扭矩仍然为零，则质点对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点O的角动量守恒定理．角动量守恒定理是数学学中最基本的定理之一，和动量守恒定理一样，它不仅适用于宏观物体的运动，并且对于牛顿第二定理不能适用的微观粒子的运动，它也适用．假若质点在有心力作用下运动，因为力对力心的转矩为零，因而质点对该力心的角动量就一定守恒．比如行星在太阳引力下绕太阳的运动就是在有心力作用下的运动，日心即力心；月球卫星在月球引力作用下运动，地心即力心；电子在原子核静电力作用下运动，力心即原子核．在这种情况下，我们可得出推论：行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动量守恒；人造月球卫星绕月球运行时，它对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒．3．行星绕太阳的运动作为质点角动量守恒定理的应用，我们来讨论行星绕太阳的运动．16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地剖析整理了前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，总结出游星运动的规律、即开普勒三定理．应用牛顿定理的万有引力定理可以全面证明这三条由天文观察资料中总结下来的实验规律．而在本课程中，只限于讨论其中的第二条，即对任一行星，由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积．按照角动量守恒定理，我们可以推论出游星运动的开普勒第二定理．行星绕太阳沿椭圆形轨道运动，取一很短的时间间隔t，设在t时间内行星对太阳的位置矢量即径矢r扫过的面积是A．A可以近似觉得是图3-6中画有斜线的三角形面积，即故面积速率因为行星所受太阳引力为有心力，它对于太阳中心的转矩为零，所以依据的动量守恒定理，行星在绕太阳的运动过程中，它对太阳中心的角动量是守恒的，即L=rmv=常量，其中行星的质量m是常量，所以面积速率开普勒第二定理由此得到证明．由行星角动量守恒还可以得出行星运动的又一特性．按照角动量定义，行星对太阳的角动量L应垂直于它对太阳的位置矢量r和动量mv所决定的平面．因为角动量是矢量，所以角动量守恒时，除了L的大小不变，但是L的方向也应保持一定，所以行星运动的整个过程中，r和mv仍然在同一平面内，也就是说，行星绕太阳的运动必然是平面运动．质点在有心力作用下的运动是一种重要的运动方式．有心力运动的上述特点既不能用动量也不能用能量概念来说明，但借助角动量守恒却给出了简约而中肯的描述．从这儿我们也可以见到热学中引入角动量概念的必要性．我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运动．已知卫星近地点高度为h1=266km，远地点高度为h2=，卫星经过近地点车速率为v1=8。
13kms-1，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期．计算中取月球直径R=6。3710如图3-7所示．由于卫星所受月球引力的作用线通过月球中心，所以卫星对月球中心的角动量守恒．已知在卫星轨道的近地点径矢的大小在远地点径矢的大小设卫星在远地点的速率为v2因远、近地点的速率与该处径矢垂直，放由的动量守恒定理可得r1mv1=r2mv2由此得求卫星的运行周期T．由开普勒第二定理可知由几何关系知，椭圆面积=πab，其中a、b分别为椭圆的半长、短轴，它们可由远、近地点的径矢求出即周期约为1小时46在光滑水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其二端系一小球置于桌面上，另一端用手拉住．设开始时令小球以速度v1速度圆周运动，如图3-8所示．现今向上平缓拉绳，直至小球作直径为r2的圆周