初中数学竞赛的定理和相关例题较多，以下提供其中几个：
圆的相切定理：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
勾股定理：如果直角三角形两直角边为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于两数和(或差)的差的平方的公式。
例题方面，提供一道圆的相切定理的例题：
题目：
如图，已知⊙O的半径为5cm，AB是⊙O的一条弦且AB=6cm，圆周角C是直角，求BC的长度。
解析：
根据圆的相切定理，弦AB与圆相切时，AB长度最小为3cm或7cm。由于圆周角C是直角，所以圆内接四边形是正方形，因此BC长度为3cm。
请注意，以上内容仅供参考，具体的定理和例题可能会根据不同的初中数学竞赛和年份有所变化。建议购买初中数学竞赛的相关教材，获取更准确的信息。
以下是一些初中数学竞赛定理及其相关例题：
定理：完全平方公式
例题：求(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2的展开式中x的系数。
定理：平方差公式
例题：求(a+b)(a-b)=a^2-b^2中y的系数。
定理：因式分解
例题：解方程x^2-4=0，用因式分解法求解。
定理：二次函数性质
例题：已知二次函数y=x^2+2x+1，求该函数的图像与坐标轴的交点坐标。
请注意，以上内容只是初中数学竞赛的一部分，更多定理和例题需要您自己查询学习。
初中数学竞赛中常见的定理和相关例题常见问题包括以下几个方面：
1. 勾股定理：这是初中数学的基础定理之一，可以用来解决一些简单的几何问题，如判断一个三角形是否为直角三角形，求线段长度等。相关例题包括求直角三角形的两个锐角，判断一个四边形的形状等。
2. 完全平方公式：这个公式可以用来解决一些求值、证明和化简的问题，如求多项式的展开式、求多项式的因式分解等。相关例题包括求一个数的平方和立方，求多项式的平方和立方等。
3. 韦达定理：这是初中数学竞赛中比较难的一个定理，需要有一定的代数基础才能理解。韦达定理可以用来解决一些一元二次方程的根的问题，如求根公式、解一元二次方程等。相关例题包括解一元二次方程的步骤和方法等。
除了以上几个定理，初中数学竞赛中还有许多其他定理和例题，如平行线、三角形、四边形、圆等的相关定理和例题。在解决这些问题时，需要注意一些基本的方法和技巧，如画图、分析、推理、转化等。同时，还需要注意一些细节问题，如符号、单位、格式等。
以上内容仅供参考，建议查阅相关教辅资料或咨询数学老师获取更具体的信息。