泡 泡
夏天当下雨之际，雨滴对着积水面上进行击打时、有时会击打出气泡，使之呈现（）状。气泡才刚产生之时、会朝着四面周围游移走动、而后并没过多长时间、就啵的一下破裂开了。这就能表明气泡的出现以及持续性存在、都是需要去满足某些条件的。干净的水体不容易生出气泡。气泡内部与外部的压力差p、与界面能γ以及界面所呈现的几何状态之间、存在着这样的关系、即p=γ（1/R1 + 1/R2），其中R1、R2是液膜的主曲率半径、γ是液体的表面张力、又被称作表面能。就球形气泡而言，其中R1、R2均都等于R，这里的R切实为气泡的半径，而该气泡的内里与外部之间还存在一定的压差p ，且压差值为2γ/R。在于处于常温情形下的纯水，它所具备的表面能竟然极为高大，居然高达72 mJ/m2物理学家泡泡液配方，这样的数值几乎是除了液体金属之外的其他物质能够达到的最大数值，所以鉴于此，对于半径处于毫米以下的水气泡来讲，其内部和外部的压差处于大气压量级范围。要是往水中添加像肥皂、酒精、草木灰这一类的物质，便能够明显致使水的表面能有所降低，进而对水泡的产生起到一定的帮助作用。吹泡泡大约算是最为简单的游戏了：先往清水中添加一些洗洁精，接着再去找一根吸管，如此一来，一件能够给孩子带来无穷无尽乐趣的玩具便制作完成了。瞅见那因吹泡泡而欢呼着、雀跃着的孩子，成年人内心只怕也是满含着欢乐的。
存在一些成年人，当他们在进行吹泡泡这一行为时，其内心所充斥的，除了欢乐之外，还有深刻的数学知识以及物理内容。那些醉心于吹泡泡的厉害人物之中，有著名的物理学家开尔文爵士（Lord ，1824 - 1907），他可是热力学的奠基者呀，还是熵概念这个东西的缔造者呢。据说在1887年的时候，他的侄女到乡下看望他，那时德高望重的老爵士正在忙于吹泡泡。众多泡泡汇聚到一起，从而形成了泡沫（foam），可以看到图1。泡沫的整体构型乃是表面能 （此处指表面积）最小的那种构型，这是一条我们极为坚信的物理原理。不知是不是受到泡沫的启发作用，开尔文爵士做出推测截角八面体堆积构型的总表面积是最小的，这就是所谓的开尔文猜想。然而，在1993年的时候，Denis和其他人寻找到了一种表面积更小的泡沫结构，进而判定开尔文猜想是不成立的。这是一项源自观察肥皂泡沫的重要的数学、物理方面的研究。
本篇所要介绍的，讲的是有关泡泡的普拉托定理的证明。这可是属于那种看上去蛮简单的，凭直觉就能晓得它是正确的，然而却极其难以去证明的著名命题里头的一类。
图1. 泡泡（）的聚集体是泡沫（foam）
关于泡泡的普拉托定理
比利时的物理学家普拉托，他生活在1801年至1883年，是个沉湎于视觉研究以及热衷于吹泡泡的人，这里有图2显示。普拉托是最早知晓视觉暂留的人，他到了晚年丧失了视觉，听说依旧指导侄子吹泡泡以此延续他的研究。他在1873年出版的一本长达450页的书，书名为《仅置于分子力之下的液体之静力学》，这是关于泡泡研究的经典之作。身为一名科学家，面对泡 - 沫 （and foam）这种大家都知道的存在，普拉托洞察出了许多并非直观显现的内容。普拉托这个人，他相关的那些事，格外适合被用来论述科学家，这里说的科学家是依从人之本性来讲而非依据职业来说的，与非科学家之间存在的区别。
图2. 比利时物理学家普拉托
关于那种泡泡，存在一个呈现出孤立状态且处于悬浮状况的气泡，在不将空气流动以及重力、温度场就液体分布产生的影响纳入考量范围的前提之下贝语网校，它的形状是球形的。要是存在许多泡泡处于漂浮于空中的状态，极有可能出现两个或者多个气泡彼此相遇进而合并，也就是merge这种情形，可参考图3。那么，当两个气泡相遇时，其稳定的构型会是怎样的一种样子？对于三个气泡相遇而言又会如何？或者更为笼统地进行表述，处于气泡团簇状态下的构型又会呈现出哪种样子？极易被一般人想到的是，要是两个气泡全然等同，那么它们相遇后的构型肯定是对称的，所以它们的边界肯定是一个平面，两个泡泡各自的形状就关于这个平面呈镜面对称。可是，我们明白，一个球形气泡，其内外压差为 p = 2γ/R。鉴于飘在空中的气泡，其外部都是一个大气压，很明显气泡越小，其内部压力越大。要是一大一小两个气泡相遇，小的气泡会挤压大的气泡，进而进入大气泡的内部（也许许多人在此时的反应是：是吗）留意未做到啊）借此达获一种均衡的构形 （图4呈现），为了达成此状况气泡内部的容积以及压力均需加以调节。
图3. 单个气泡（左图） 与聚在一起的气泡团簇（右图）
经过多年研究的普拉托，获取到了有关气泡及其合并构型的诸多重要结论，这些结论能够被总结成普拉托定理，具体如下：
1. 气泡由完整光滑的曲面（ ）拼成；
2. 每一片膜上的任何一点，其平均曲率（mean）都是处处相同的，这就是气泡的每一片膜所具有的情况。
3. 泡泡表面的边界必然是由三表面两两相互连接而形成的三条曲线 ，这三条曲线被称作普拉托边界 ，其交角是120° ，也就是说夹角为(−1/2) = 120°。
4. 普拉托边界相互交叉必然是经由四条边界交叉形成一个点，四条边界线彼此之间的交角全都相同，等同于正四面体的中心与各顶点连线所形成的角，也就是夹角为(−1/3) 且等于109.47°。
这四条普拉托定理，除去第一条之外，都并非那般直观，其意思并非是寻常之人借助观察就能总结得出的。普拉托定理的第1、2两条所探讨的是气泡（团簇）的光滑部分，第3、4两条所探讨的是结构中存在的奇性现象。普拉托定理的第3、4两条的含义是泡泡存在两种相遇的模式，或者说气泡团簇的奇性存在两类：一种是三个表面沿着一条曲线相遇；另一种是六个表面相遇于一点。重要的是，相遇处相邻面之间夹角度数相等，分别是120°，或者是109.47°。至于证明，我们会发觉，这需要高深学问，涵盖微分几何与几何测度论等，就算是对数学专业人员而言，也并非简单学问。不过，泡泡多有意思呀，为理解泡泡，助孩子理解泡泡，去学微分几何难道不是顺带之事吗？
对于图4而言，当两个全等的气泡进行合并那时候，其呈现出来的界面是平面，然而要是大小并不相等的两个气泡合并起来时，其界面是一个有着小气泡往大气泡那一方突入情况的球帽。
普拉托定理的证明
证明普拉托定理的关键之处，在于要证明存在由第3条以及第4条所给出的相遇模式，并且还要证明此构型针对变形而言是稳定的，并且在这个构型之下面积是最小的。能够想象到，对于这个问题的证明并非一下子就能完成的，这是一场智慧的接力。首先来看普拉托定理的第一条，气泡是由完整光滑的曲面构造而成的。对于一个自支持的气泡，也就是悬浮在空中的、单个的气泡，观察表明它是球形的，如图1所示，在这个时候结构不存在奇性，应当属于最为简单的情形。然而，对于这个结论的证明而言，存在着诸多能够加以訾议的地方。通常情况下的证明，归属纯数学的视角，针对给定面积的曲面来进行论证，表明球面包裹的体积是最大的。这种证明据信在亚里士多德所著的《论天》，也就是那本名为de caelo的书里面已然存在。从物理的角度加以审视，限定一个气泡的条件是泡内气体的量（忽视重力、温度等因素）以及外部的环境气压。气体具备的流动性致使气压呈现各向同性，这就注定了气泡膜的构型拥有最大的对称性，也就是球对称性。压力平衡的条件是具有限定性的，气泡膜的厚度（此属于物理范畴的问题）会依据情况适当地进行调整从而达成平衡条件，所以也就针对气泡内的体积做出了调节。就气泡内体积保持恒定的数学论证而言，其与物理实际状况是存在偏差的。
普拉多问题证明存在难点，这个难点在于不容易做到处于那样一种情状，也就是很难在起始阶段不对构型的光滑性以及对称性作出些较强的假设。在数学范畴内，可以把曲面理解成是从平面区域也就是二维向三维空间进行的映射，变分法属于求极值的办法譬如要求寻求面积最小的情况。然而这个办法存有诸多弊端，其中最大的问题便是存在缺乏紧致性的状况。要是预先假定肥皂泡是紧致曲面的话，那么依据曲面微分几何里的阿列克桑德罗夫定理，这个曲面必然会是一个标准球面。然而，气泡团簇构型是一种存有奇性的结构，例如，两气泡相逢之后形成的界线，在此处曲面出现弯折。能够想象到，对于气泡问题证明的首要任务是剖析奇性的结构（of），并且进行分类。这个问题已被研究了一个多世纪，相关成果也并非源自一篇论文？
所幸的是，一个真正称得上科学的问题并非仅具一个侧面状况，它有可能会变换成各式各样不同的面目去遭遇各异的科学家。在1964年的时候，有了这样的例证，呈现出证明了球面上被测地线以120°夹角相交（此种情况和普拉托定理的第3条、第4条存在关联）的构型仅仅存在10种 （可参照图5）可能性。随后，身为女数学家的泰勒（Jean E. ，出生于1944年） 证实了除前三种以外的构型面对变形时均不具备稳定性，而前三种构型所对应的恰恰就是光滑表面以及普拉托定理的第3条、第4条所详尽涉及的奇性种类（types of）。1976年，泰勒沿着顺着切锥、关于等周不等式向着奇性结构的方向，构造出了一个针对普拉多问题的证明。就如同大家或许已经感觉到的那样，这个证明是既冗长又存在一些限定条件的。此证明运用了可求长的流、测度等几何测度论当中的概念。大概来讲，这会涉及到几何测度论的知识，能划分为三个部分：切锥分析、一个微分形式的等周问题不等式的证明，接着由这个不等式进而得出微分结构。其中第一部分可证明，在三维空间里，面积最小的锥是Y，Y就是半圆盘及其绕直径为轴转120°的构型物理学家泡泡液配方，和半圆盘及其绕直径为轴转240°的构型，这两者构型的交集，以及T。
，其中C是对中心在原点、顶角包括点（3, 0, 0）和
正四面体的一侧所张布的中心锥，从这里，大家应该能够见到普拉托定理的那种类似影像了。
感兴趣的、抱有兴致的读者，可去查阅、翻看文后所给出的、所提供的专业文献哦。把一本专业文献拿起来、捧在手上，这乃是你迈向、踏上专业道路的起始第一步呀！
图5. 10种球面上以120°相交的测地线构型
多余的话
泡泡问题呈现出一个极为简单的原理，这原理是物理意义里的表面能最小，还有数学意义中的面积最小，然而该问题不见得就那么简单。从物理的视角瞧，就算全然不考虑重力、温度等因素所带来的影响，泡泡问题的外部约束状况乃是外部压力恒定不变，而非数学证明所擅长处理的给定边界的最小曲面问题。对于单个泡泡来讲，它的构型是球形，在这种情况下，其对称性最大。该对称性最大意味着某些物理量会取极值。2018年，笔者才想到了这一点，并且坚信不疑，比如，笔者坚信金刚石具有极大的杨氏模量，这与它化学结构以及电子结构的对称性相关。就笔者有限的见识而言，从这个角度出发去做物理的范式，似乎从未见过。
这种泡泡问题复杂性，源自几何构型变化本质，肥皂泡沫这个结构，为几乎处处规则结构，那规则曲面部分，能看作从二维圆盘到三维空间的光滑映射，然而，那些不规则之处，像两个泡泡的界线处就需特别描述，比如引入特殊测度，关于泡泡团簇构型证明难点在此，为此数学家得准备全新学问，证明一个问题，或许首先要在别的层次、以别样眼光看此问题。
笔者在阅读那本有关泡泡问题的数学书时，备受煎熬，忽然就这么想到，那些优秀的数学家该不会是典型的那种没法好好说话的人吧，也不知道优秀数学家的配偶是不是也得是那种不能好好说话的人？就在笔者脑中灵光一闪之时，发明了一个关于数学家的定理，“任何配偶集合非空的数学家都不是合格的数学家，除非其配偶自身是合格的数学家。”还有，或者换种更强些的表述，“若任何配偶集合非空的数学家是一个合格的数学家，那么其配偶自身必定是合格的数学家。”。五分之后，笔者瞧见了女数学家泰勒，和她那身为数学家兼导师的第二任丈夫的结婚照。泰勒女士在1976年所证明普拉托定理的论文，正是基于某种理论的。世界实在是太过神奇了，笔者提出数学家定理仅仅5分钟过后，便发现了证据。顺便说上一句，泰勒女士本科所学专业是化学，其硕士导师乃是几何领域的大家陈省身先生。
建议
这边的这一篇，能够跟《物理学咬文嚼字》088 ，以及 Foam （泡与沫），相互对照着去阅读。
深度阅读
仅置于分子力之下的液体之静力学，（涉及）压力，对于在特定状态下的液体的压力，关于那个实验和理论，在那个相关的分子层面，（年份为）1873 年。
2. 让·E这个人，在肥皂似的以及肥皂膜似的物质中关于某种东西的研究，发表于某期刊，卷号是103，期号是（3），涵盖的页码范围是489至539，年份是1976年。
在1992年，西里尔，讲有肥皂泡薄膜与肥皂之类内容的那本，由多佛出版公司出版。另作，1992年，西里尔，关于 肥皂泡薄膜与肥皂那方面的玩意，多佛出版公司正式出版。
不太明确你的具体需求，你提供的内容似乎不太完整且格式有些奇怪。请你明确正确准确的源文本及具体改写要求，以便我能更精准地按照规则为你改写。
5. 曹则贤所著，名为《物理学咬文嚼字》的该书卷四，由中国科学技术大学出版社于2019年出版发行。
6. 鲍尔，所著的，《新闻报》（2009年）。
此篇源自曹则贤所著《惊艳一击——数理史上的绝妙证明》这本书籍，由外语教学与研究出版社出版，时间为2019年。