十三 鱼羊 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号
一个八月的清晨，身为数学天才且是菲尔兹奖得主的陶哲轩，点开了一封来自三位陌生的物理学家所发来的邮件。
三人在邮件中解释道：
偶然间，我们发现了一个公式，倘若这个公式是正确的，那么它会在一些线性代数里最基本且重要的对象之间，建立起一种意想不到的关系。
然而陶哲轩的第一反应却是：
这个东西，其长度这般短，内容如此简单，早就注定应当出现在教科书之中。可要它是真的，这绝无可能。
实际上，陶哲轩一直以来都不乐意通过这种途径被询问，甚至于在他自己的主页之上写下了警示：不要用你的文稿随意来打搅我。
只让三位物理学家感到惊讶的是，仅仅过了2个小时，之后他们就收到了陶哲轩给予的回复 。
然而，更加让人难以预料到的是，在历经一周半的时间之后，他们居然还共同发表了一篇论文，这篇论文详细论述了那个公式的证明流程。
是什么样的公式受到陶哲轩如此青睐？
求解特征向量。
没错，就是这个再普通不过的基础数学求解公式。
按照传统解法：
先进行计算特征多项式的操作，接着开展求解特征值的行为而后实施求解齐次线性方程组从而得出特征向量 。
当时，这三位物理学家正投身于对“中微子”的研究工作当中，然而，在此进程里，他们却出人意料地察觉到了另外一种奇妙且与众不同的解法，：
对于已经知晓的特征值而言，仅需列出一个较为简单的方程式，如此一来，特征向量便能够被顺利求解出来 。
有三位物理学家，其中一位从左至右看是张西宁，还有一位是Peter，另外一位是Parke 。
就像陶哲轩所说：
这个公式看起来好得令人难以置信。
我压根儿就没去想，某一个子矩阵的特征值，竟然编码了原本那个矩阵特征向量的隐藏着的信息。
耶鲁大学的数学家Van Vu，使用了两个词语，“惊人”以及“有趣”物理学家研究的物理公式，来对这一发现进行形容 。
有一位被称作News的网友，竟然持有这样的看法，即这一公式所具备的理论价值，是处于克莱姆法则之上的状态 。
值得注意的是，克莱姆法则作为线性代数里的基本定理，它是通过行列式来算出n元一次方程组的解 。
新方法怎么来的？
先来回顾下我们所熟知的特征向量和特征值。
存在一个矩阵，当其去乘一个向量时，这就等同于进行了一次线性变换 ，然而这个向量的方向常常会出现改变 。
但是倘若有一个矩阵A存在，致使这个向量v在历经线性变换之后，其方向依旧维持不变，仅仅是进行一定倍数的拉伸或者压缩，也就是：Av = λv 。
那么，这个向量v就是特征向量，λ就是特征值。
在当下的教科书当中，对于已知特征向量去求特征值而言，相对比较容易，然而，对于求矩阵的特征值这个情况来讲，却又会比起求特征向量更为方便。
但三位物理学家在计算中微子振荡概率的时候发现：
特征向量和特征值所具备的几何特性是什么本质呢，实际上就是在空间里矢量所做的旋转以及所占空间大小的缩放。而中微子存在的三个味状是些什么呢，像电子，μ子，τ子，这不就等同于在空间这样一个范畴之中多个向量之间做的变换情况吗？
一种量子力学现象是中微子振荡，实验发现，电子中微子、μ子中微子以及τ子中微子这三种不同的中微子之间能够相互转化，而这种相互转化的情况便是中微子振荡现象。
图源：
物理学家们察觉到，特征向量跟特征值之间，或许存有更广泛的规律。于是，新公式的神秘面纱被揭开了。
通过删除原始矩阵的行和列，创建子矩阵。
子矩阵的特征值，与原始矩阵的特征值，组合到一块儿，便能计算原始矩阵的特征向量了。
简而言之，已知特征值，一个方程式就可以求得特征向量。
图源：
这个新公式有多牛？
数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩评价道：
新公式有着非凡之处，这种非凡之处在于，处于任何一种情况之下，你根本无须去知晓矩阵之中的任何一个元素，然而却能够计算得出你心中所想要的任何一样东西。
证明过程
陶哲轩给他回了信 ，信里附上了这一新公式的三种证明方法 ，之后 ，他和三位物理学家 ，也就是Peter一起 ，还有Parke一起 ，再加上张西宁一起 ，发表了论文 。
首先，对A进行定义，使其成为一个n行n列的厄米特矩阵，它具备特征向量λi(A)，同时，它还拥有赋范特征向量vi 。
厄米特矩阵，它具备一种能力，这种能力是能够把特征向量转化为实数，进而它更适宜于去解决现实世界当中的问题。
特征向量中的每个元素标记为vi,j。
经由将jth那一行以及jth那一列予以移除，得以获得A的子矩阵Mj，其规模是(n - 1) x (n - 1)，它所具备的特征值是λk(Mj)。
起初，借由论证能够获取一项柯西 - 比内（-Binet）型公式。
将引理１设定为，使Ａ存在一个特征值是０，在不失去一般性的情形下，能够使λｎ（Ａ）等于０。那么对于任意尺寸为nx（ｎ - 1）的矩阵Ｂ，我们能够得出：
接下来就可以进入新公式的推导了。
存在引理2，特征向量各个元素的范数平方，和其特征值相关，还跟子矩阵的特征值有关。
于是能够证明，使j等于1并且i等于n，借助λn(A)In对A进行转化，致使λn(A)等于0，这同样转化了A以及Mj里所有其余的特征值，所以公式2就变成了。
注意，公式3的右侧为det(M1)。
接下来，于B=(0，In - 1)这个范围之中，将引理1予以应用。我们随后发觉，公式1的左边呈现为。
，公式1的右边为det(M1)。
证明：对于任意不是A的特征值的λ，
对于，j∈有，
进一步简化，并取极限λ→λi(A)，
公式7右边的对角元素，给出了公式2的左半部分,按共轭的定义来看，公式7左边的对角元素，确定了λi(A)(^()(In - A)())的子矩阵。
运用引理2，必定会得出这样的结论，即要是特征向量里头有一个元素不见了，也就是vi,j等于0，那么矩阵A的特征向量方程就会变成它子矩阵Mj的一个特征向量方程。
这一发现所带来的影响
长话短说，物理学家们的此项最新成果，能够让人们凭借特征值信息，计算得出特征向量 。
现在的教科书当中，借助特征向量去求特征值，这事相对容易些，然而呢，求取矩阵的特征值，却又比求取特征向量来得便利 。
也就是说，这一成果揭示了基础数学新的事实。
更关键的是，于现实世界里，不管是在数学领域，还是物理学范畴，亦或是工程学方面，为数众多的问题都关联到特征向量以及特征值的计算。
比如计算中微子振荡概率。
比如说，于机器学习范畴之内，数据进行降维这项操作，以及人脸识别这一事项，都牵扯到矩阵特征值或者特征向量理论的实际运用状况。
来自俄亥俄州立大学的粒子物理学家John表明，这一理论具备广泛的应用前景，甚至于会开启新世界的大门 。
物理学家和数学天才的合作
数学家陶哲轩（Tao），是被三位物理学家邀请的，并且他证明了新公式，他是公认的数学天才 。
陶哲轩
他7岁的时候进行了高中阶段的学习，9岁的时候踏入了大学的校门，13岁的时候拿到了国际奥林匹克数学竞赛的金牌，他是那个保持着IMO金银铜牌最年轻得主纪录的人 。
一个24岁的他，已然成为UCLA数学系终身教授，在其31岁的时候，又获得了有着“数学界诺贝尔奖”之称的菲尔兹奖，从而成为了第二位获此殊荣的华裔数学家。
而存在三位物理学家，其中一位物业经理人，是以从事美国布鲁克黑文国家实验室助理物理学家事务的彼得·丹顿（Peter B. ），其于2016年从范德比尔特大学物理系完成博士毕业事宜 。
还有一位是来自新西兰的物理学家斯蒂芬·帕克（J. Parke），身为美国费米国家加速器实验室的人物理学家研究的物理公式，是杰出科学家，同时担任理论物理系主任，其研究方向主要是中微子物理学以及顶夸克物理学。
有着华人面孔的最后一位作者是张西宁（Zhang），他就读于芝加哥大学，从事理论粒子物理方面的研究，并且还是斯蒂芬·帕克的弟子。
传送门