初中数学竞赛代数篇常用定理和相关例题如下：
韦达定理。例题：证明根与系数的关系，即对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若Δ≥0，则x1+x2= -b/a，x1x2=c/a。
完全平方公式。例题：解关于x的一元二次方程(x-m)²-2m²=x。
平方差公式。例题：求(2a+b)²-4a²的值，其中a=-1，b=5。
柯西不等式。例题：利用柯西不等式证明三角形边长的公式。
以上内容仅供参考，可以咨询数学老师获取更准确的信息。柯西不等式的应用非常广泛，在证明不等式、解三角形、求函数最值等领域都有应用，需要深入学习和掌握。
初中数学竞赛代数篇常用定理及例题：
1. 完全平方公式：$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}$。
2. 一元二次方程根的判别式：$\Delta = b^{2} - 4ac$。
3. 韦达定理：一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$的根与$a，b，c$之间的关系。
例题：
已知一元二次方程$x^{2} - 3x + 2 = 0$，求该方程的根。根据韦达定理，我们可以得到$x_{1} + x_{2} = 3$和$x_{1} \cdot x_{2} = 2$，从而解出方程的两个根。
以上仅为部分例题，更多例题建议咨询专业教师。
初中数学竞赛代数篇常用定理和常见问题主要包括以下几个方面：
一、有理数运算：
1. 分配律：a(b+c)=ab+ac；
2. 约分：分式的分子和分母同时除以一个不为零的数，分式的值不变；
3. 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²。
二、因式分解：
1. 提公因式法：将一个多项式因式分解，常先提取公因式后考虑运用公式法；
2. 十字相乘法：适用于二次三项式的一次项系数是1的二次式。
三、几何问题：
1. 平行线：两直线被第三条直线所截，如果一对内错角相等，那么这两条直线相互平行；
2. 三角形：三角形内角和为180度，三角形按边分类有普通三角形和等腰三角形。
常见问题包括如何快速找到解题思路，如何理解抽象的代数概念，如何运用公式法进行因式分解等。
以下是一个关于一元二次方程的例题：
问题：解方程x²-4x+3=0，可以将其化为(x-1)(x-3)=0，得x=1或x=3。但是题目要求我们找出一种方法，使得解可以更直观地表示在一个坐标系中。
解：我们可以通过配方来找到方程的根。将方程变形为x²-4x=-3，然后两边同时加上4²再开方，得到x=(4±√(4²-4×(-3)))/2，解得x=3±√2。这样，我们就可以直观地表示出方程的根了。
以上就是初中数学竞赛代数篇常用定理和常见问题的简单介绍，希望对你有所帮助。