初中竞赛题数学和相关例题有很多，以下是一些例子：
例题1：
已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，求证：AD^2=BD \cdot BC
证明：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，可以得到∠DBC=∠BCA。因为AD垂直于BC，所以∠DAC=∠BCA。因此，∠DBC=∠DAC。再根据等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，可以得到BD=DC。因此，根据勾股定理，AD^2=BD \cdot BC。
例题2：
已知：正方形ABCD的边长为a，E是AB边上的一点，且AE=3EB，F是CD上一点，且DF=2FC。求证：△AEF相似于△CBF
证明：根据已知条件，可以得到△AEB和△CDF都是等腰三角形。因此，∠AEB=∠CEF，∠EAB=∠ECF。再根据对顶角相等得到∠BAE=∠FCB。因此，根据相似三角形的判定方法，可以得出△AEF相似于△CBF。
例题3：
已知：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：根据已知条件，可以得出两组对边分别相等的四边形是平行四边形。因此，四边形ABCD是平行四边形。
以上只是初中数学竞赛的一些例子，实际上初中数学竞赛题目形式多样，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的思维能力。
题目：求直角三角形斜边长
已知两个直角边长分别为 3 和 4，求斜边长。
解：根据勾股定理，直角三角形斜边长的平方等于两条直角边长平方的和。因此，我们可以通过计算得到斜边长：
$c^2 = a^2 + b^2$
代入已知数据，得到：
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 25$
所以，斜边长为 5。
初中竞赛题数学常见问题
1. 求一个数的平方根
例如：求$16$的平方根。
解：$\because( \pm 4)^{2} = 16$，
$\therefore 16$的平方根为$\pm 4$。
2. 求一个数的立方根
例如：求$27$的立方根。
解：$\because( \pm 3)^{3} = 27$，
$\therefore 27$的立方根为$\pm 3$。
3. 解一元一次方程
例如：解方程$2x - 1 = 3x + 5$。
解：移项，得$2x - 3x = 5 + 1$，
合并同类项，得$- x = 6$，
系数化为$1$，得$x = - 6$。
相关例题
题目：已知一个长方形的周长为$24cm$，它的两条相邻边分别长为$xcm$和$ycm$.
（1）求这个长方形的面积（用含$x$、$y$的代数式表示）；
（2）当这个长方形的宽为$5cm$时，求它的面积。
分析：（1）根据长方形的周长和面积公式即可得出答案；
（2）把宽为$5cm$代入（1）中式子即可得出答案。
解：（1）由题意可得：这个长方形的面积为：$(x + y) \cdot y = xy(cm^{2})$；
（2）当宽为$5cm$时，面积为：$(5 + y) \cdot y = 5y + y^{2} = 5(y + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4}$（$cm^{2}$）。