引言
要是说起静电场的话，那就必然得提及静电场的两条基本规律，也就是高斯定理以及环路定理，这两大定理助力人们全面地描述了处于真空中的静电场，并且还衍生出了场强、电势等重要的电场性质，本文会从数学本质方面对静电场的基本规律展开剖析。
高斯定理
内容
在静电场里头，存在着任意的闭合曲面，其电场强度通量是 (Phi_{e}) ，它等同于该曲面所围住的电荷代数和的 (frac{1}{{0}}) 倍数，并且和曲面外面的电荷没有关联，也就是说 (Phi_{e}=iintvec{E}·dvec{S}=frac{1}{{0}}sum_{S内}^{}{q}) ，在其中呢，闭合曲面的定向采用外侧。
推导
高斯定理既然名为高斯定理，其推导必然与高斯公式紧密关联.
高斯公式：设有一空间有界区域 V ，它的边界是 S ，若函数 P（x，y，z）、Q（x高中物理静电场公式，y，z）、R（x，y，z）以及其 的一阶偏导数在 V 上是连续的 ，那么就有 iint_{S}left( P，Q，R right)·dvec{S}={V}left( frac{ P}{ x}+frac{ Q}{ y}+frac{ R}{ z} right)高中物理静电场公式，这里边界的定向选取外侧 。
首先，去思考仅仅由单独的一个点电荷 q 而生成产生形成引发的静电场，紧接着，把此该这个点电荷当作作为视为认定为原点物业经理人，基于依据按照根据由库伦定律就有得出得到算出 (Phi_{e}=iintvec{E}·dvec{S}=frac{q}{4pi{0}}iintleft( frac{x}{r^{3}}，frac{y}{r^{3}}，frac{z}{r^{3}} right)·dvec{S}) 。
一点电荷处于闭合曲面之外时，上述式子符合高斯公式之使用条件呵，所以呢，电通量(Phi_{e})等于(frac{q}{4pi{0}})对(iiintleft( frac{r^{2}-3x^{2}}{r^{5}}+ frac{r^{2}-3y^{2}}{r^{5}}+ frac{r^{2}-3z^{2}}{r^{5}} right)进行积分的结果为零 。
点电荷处于闭合曲面以内时，须留意，在原点位置，(frac{1}{r^{3}})并非连续，这种情形下，高斯公式不可运用，。
特别地，当闭合曲面是围绕着原点作为圆心的球面之时，(frac{1}{r^{3}})成为常数，所以依据高斯公式能够得到，(Phi_{e}=frac{q}{4pi{0}r^{3}})(iintleft( x，y，z right)·dvec{S})，(frac{q}{4pi{0}r^{3}})乘以某个值等于(frac{q}{{0}})，后面的表述不太清晰，无法准确完整改写。
普遍来讲，当闭合曲面属于不规则曲面时，能够采取“挖洞法”做进一步证明。于不规则曲面内部挑选球面x² + y² + z² =²，其中足够小，在由球面以及不规则曲面所围成的区域之内运用高斯公式，有Φₑ = q / (4π{0}) ∭((r² - 3x²) / r⁵ + (r² - 3y²) / r⁵ + (r² - 3z²) / r⁵) ，其结果等于0 。
上述区域的外侧边界，是由球面内侧构成的，也是由不规则曲面外侧构成的，两者组成了这个外侧边界，球面内侧与不规则曲面外侧两者的Phi_{e}之和为零，容易知道球面内侧的Phi_{e}=-frac{q}{{0}}，所以对于任意闭合曲面而言，其外侧的Phi_{e}=frac{q}{{0}} 。
首先，对于静电场，当其中存在多个电荷的情况，依据场强的叠加原理来讲 ，最后，只需要把q替换为sum_{S内}^{}{q} ，如此便能够得到证明结果 。
应用
利用高斯定理可以较为方便地求出静电场的场强分布.
举例来说，去求那种电荷面密度是(sigma)，属于均匀带电的情况，并且是无限大的薄平板所产生的场强哦。
常规积分法：
先求均匀带电且半径为R的薄圆盘轴线上一点的场强
E等于从某一范围进行积分得到的dE 等于(σ除以4π{e})对h除以根号下(r平方 + h平方) 再乘dS除以(r平方 + h平方)进行二重积分 ，其中r 代表电荷元到圆心的距离 ，h 表示轴线上一点到圆心的距离 。
把直角坐标转化为极坐标，存在 E，它等于frac{sigma h}{4pi {0}}，对theta从0到2pi进行积分，再对r从0到R进行积分，积分式子为frac{r·dr}{left( r^{2}+h^{2} right)^{frac{3}{2}}}，其结果等于frac{sigma}{2 {0}}与(1-frac{h}{sqrt{R^{2}+h^{2}}})的乘积 。
在R远远大于h的这样一种情形之下，就是那个E，再除以2{0}，它就等同于与一直处在均匀带电状态的、具有无限大特征表现的薄平板的场强了。
高斯定理法：
选取一个圆柱体的表面，将其作为闭合曲面，这个闭合曲面可以让一块无限大的薄平板去截该圆柱体，截完后能得到一个半径为R的圆。
是因为电场线仅仅是从圆柱体的上下表面呈垂直状态穿过，所以依据高斯定理得出，电通量(Phi_{e})等于(frac{sigmapi R^{2}}{{0}})，它又等于对电场强度矢量与面积元矢量点积的曲面积分(iintvec{E}·dvec{S})，而这个积分结果等于电场强度(E)乘以(2pi R^{2}) 。
解得 E=frac{sigma}{2{0}} .
环路定理
内容
静电场里，场强沿着任意闭合环路所做的线积分一直都等于零，也就是说，存在这样一个等式，即对场强与矢量元位移做点积后在闭合路径上进行积分的结果为零 ，也就是 ointvec{E}·dvec{l}=0 。
推导
因为涉及到第二型曲线积分，所以环路定理能够借助斯托克斯公式加以证明。
存在一个斯托克斯公式，它是这样规定的：设有一个以逐段光滑曲线L作为边界的光滑可定向曲面S ，若存在函数P（x，y， z个有且只有一个） 、Q（x，y，z这三个字符所代表的特定函数） 、R（x，y，z这一函数） ，而且它们及其那些唯一的一个一阶偏导数在S之上是连续的 ，那么就会有这样一个等式 ：沿曲线L的闭合积分left( P，Q，R right)·dvec{l}等于对面S的二重积分left(frac{ R}{ y}-frac{ Q}{ z}right)dydz加上那种特定形式的积分 left(frac{ P}{ z}-frac{ R}{ x}right)dzdx再加上另一种特定形式的积分 left(frac{ Q}{ x}-frac{ P}{ y}right)dxdy ，这里面曲线L的方向与曲面S的法向量是依照右手螺旋法则来确定的 。
依照库仑定律能够轻易知晓，静电场里头随便一处的场强大小单单跟该点的位置存在关联，将其标记为E = E（r），所以，对(vec{E}·dvec{l})进行闭合曲线积分就等于对(left(Eleft( r right)·frac{x}{r}，Eleft( r right)·frac{y}{r}，Eleft( r right)·frac{z}{r}right)·dvec{l})进行闭合曲线积分 。
从斯托克斯公式(ointvec{E}·dvec{l}=0)，能够得到证明，完毕 。
应用
电场力做功与路径无关
假定存在某一个质点，它分别顺着两条不一样的路径L₁以及L₂，从A点朝着B点进行运动，电场力所做的功分别是A₁和A₂，那么。
存在这样一种情况，A₁减去A₂，它等于在L₁上对向量E与向量dl做点积的积分，再减去在L₂上对向量E与向量dl做点积的那个积分，而这又等于从A到B对向量E与向量dl做点积积分加上从B到A对向量E与向量dl做点积积分，另外还等于沿闭合路径对向量E与向量dl做点积的积分，最终该结果等于零 。
因此电场力做功只跟始末位置有关，而与具体路径无关.
不仅是这样，对于任意存在的有心力而言，只要该有心力的大小仅仅是位置方面对应的函数，也就是说 F 等于 F 对 r 的函数关系时候，那么就都能够得出做功与路径没有关联的结论，这样一种力被称作保守力，库仑力、弹力、万有引力（重力）等都属于保守力.
电势及电势能
伴随着势能的变化对应着保守力做功，而电势能W的改变是由电场力做功所引发的 。
A等于能量变化量，能量变化量等于对电荷量与电场强度矢量点乘沿路径积累的积分，不难发现，当确定零势能面后，点电荷在某一点的电势能与自身电荷量成正比，定义电势为电势能与电荷量的比值，零势能面的电势恒为零，而两点间的电势差被称为两点间的电压，两点间的电势差等于电场强度矢量沿路径积累的积分 。