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专题2 带电粒子在磁场中的圆周运动问题
一、单项选择题
1．、两个带正电的粒子经同一电场由静止加速，先后以、从点沿进入矩形匀强磁场区域，经磁场偏转后分别从边、离开。直线、与的夹角分别为、，粒子的重力不计，则两个粒子进入磁场运动的速度大小之比为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】a、b两个带正电的粒子在磁场中的运动轨迹如图

设a粒子的轨道半径为R1，b粒子的轨道半径为R2，设MQ=d，则几何关系得
，
由上两式得

设加速电场的电压为U，匀强磁场磁感应强度为B，有
，
得

则有

故ACD错误，B正确。
故选B。
2．如图所示，同一竖直面内有M、N两点，连线与水平方向的夹角，O点为连线的中点。当上方仅存在竖直向下的匀强电场时，质子以水平向右的速度v从O点进入电场，将从N点离开电场；当上方仅存在垂直于竖直面向里的匀强磁场时，质子以相同速度v从O点进人磁场，将从M点离开磁场。若质子的重力忽略不计，则电场强度与磁感应强度的比值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设与长度均为L，质子在匀强电场中做类平抛运动，有


得到

质子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有


得到

得到

故选B。
3．如图所示，在平面上以O为圆心的圆形区域内存在匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于平面向外。一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从原点O以初速度大小为沿y轴负方向开始运动，后来粒子经过x轴上的A点，此时速度方向与x轴的夹角为。A到O的距离为d，不计粒子的重力，则圆形磁场区域的半径为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】粒子的运动轨迹如图所示，设粒子运动的半径为R，由几何关系可知

解得

则圆形磁场区域的半径为

故选B。

4．如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子从b点沿ba方向射入磁场，粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线通过a点

磁场的边长为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得

由洛伦兹力提供向心力得：，联立解得

故选C。
5．如图所示，坐标平面内有边界过点和坐标原点的圆形匀强磁场区域，方向垂直于坐标平面，一质量为、电荷量为的电子（不计重力），从点以初速度平行于轴正方向射入磁场区域，从轴上的点射出磁场区域，此时速度与轴正方向的夹角为，下列说法正确的是（　　）

A．磁场方向垂直于坐标平面向外
B．磁场的磁感应强度
C．圆形磁场区域的半径为
D．圆形磁场的圆心坐标为
【答案】B
【解析】A．粒子运动的轨迹如图

根据左手定则可知磁场垂直纸面向里，故A错误；
B．根据几何知识可知，粒子的轨道半径为

又洛伦兹力提供向心力，得

所以

故B正确；
C．根据几何知识可知，由于，所以为圆形磁场区域的直径，所以

则磁场区域的半径

故C错误；
D．由题意和上图的几何关系可得，过、、三点的圆的圆心在连线的中点，所以轴坐标为

轴坐标为

故点坐标为，，故D错误；
故选B。
6．如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，不断地向磁场的各个方向（均平行于纸面）发射速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的质量为m，电量为q，速度大小为。则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据牛顿第二定律得

解得

当粒子从过A点的直径的另一端点射出时，在磁场中运动的时间最长。根据几何关系得粒子的偏转角为60°，所以运动时间为

故选C。
7.如图所示，匀强磁场中有一个带电量为q的离子自a点沿箭头方向运动，当它运动到b点时，突然吸收了附近的若干个电子（电子质量不计）其速度大小不变，接着沿另一圆轨道运动到与a、b在一条直线上的c点。已知，电子电量为e，由此可知，离子吸收的电子个数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由右手定则可知，离子带正电，由可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为
①
吸收了n个电子后，所带电量为（q-ne），由可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为
②
已知，联立①②解得

故选C。
8．（2021·四川成都市·高三二模）如图，正方形PNMQ的边长为L，圆心在M，半径也为L的圆形区域MQN 内有垂直于圆面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，K是圆弧的中点，G是QM边的中点。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），以相同的速度沿既垂直于QM也垂直于磁场的方向从QM边射入磁场。关于从K点离开磁场的粒子，下列说法正确的是（　　）

A．它是从G点射入的
B．它是从QG之间的某一点射入的
C．它离开磁场后将经过P点
D．它离开磁场后将从P点下方穿过PQ边
【答案】C
【解析】AB．根据

得

且

则

即带电粒子在磁场中运动的轨迹圆半径为L，若从M点射入，即离开磁场的点在QM中垂线与磁场边连缘线上，若从G点射入，即离开磁场的点过GM中垂线与磁场边缘连线上，而K在两点之间，所以入射点在GM之间，故AB错误；
CD．带电粒子在磁场中运动的轨迹圆半径为L，圆心在QM的延长线上，在K点的速度垂直于圆心与K的连线即的方向指向P点，而离开磁场后做匀速直线运动，所以必过P点，故C正确D错误。
故选C。

二、多项选择题
9．如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在着垂直纸面向外、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，第四象限内存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带正电的粒子从原点O以某一速度沿与x轴成角方向斜向上射入磁场，且在第一象限运动时的轨迹圆的半径为R，已知带电粒子的质量为m，所带电荷量为q，且所受重力可以忽略。则（　　）

A．粒子在第一象限和第四象限两磁场中运动的轨迹圆半径之比为1:2
B．粒子完成一次周期性运动的时间为
C．粒子从O位置入射后第二次经过x轴时的位置到坐标原点的距离为3R
D．若仅将粒子的入射速度大小变为原来的2倍，则粒子完成一次周期性动的时间将减少
【答案】AC
【解析】A．根据带电粒子在磁场中匀速圆周运动的特点

得

所以粒子在第一和第四象限中运动的轨迹半径之比为

A正确；
B．记粒子在第一象限和第四象限中运动周期分别为和，由于粒子在磁场中的圆周运动轨迹都是劣弧，轨迹所对圆心角均为，所以粒子完成一次周期性运动时间

B错误；
C．粒子在第四象限中运动的轨迹半径

根据几何关系得粒子从O位置入射后第二次经过x轴时的位置到坐标原点的距离为3R，C正确；
D．若仅改变粒子运动速率，则粒子在磁场中运动的周期与速率无关，所以粒子完成一次周期性运动的时间间隔不变，D错误；

10．如图所示，在长方形abcd区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，已知ab=l，ad=，磁感应强度大小为B，a处有一个粒子源，在某时刻向长方形区域发射大量质量为m、电荷量为q的带负电粒子（重力不计），速度方向均在纸面内。则下列说法正确的是（　　）

A．沿ab方向入射、bc边射出的所有粒子中，入射速度越大的粒子，在磁场中运动的时间越长
B．沿ab方向射、bc边射出的所有粒子中，入射速度越大的粒子，在磁场中运动的时间越短
C．沿bc方向恰好从c点出射的粒子速度为
D．沿bc方向恰好从c点出射的粒子速度为
【答案】BD
【解析】AB．沿ab方向入射、bc边射出的所有粒子中，入射速度越大的粒子，运动半径越大，在磁场中运动的弧长越短，则时间越短，选项A错误，B正确；


CD．沿bc方向恰好从c点出射的粒子的运动轨迹如图，由几何关系可知

解得
r=2l
根据

解得

选项C错误，D正确。
故选BD。
11．（2021·天津高三一模）如图所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界的夹角为，则（　　）

A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相同
C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变
【答案】AD
【解析】A．由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确；
B．由洛伦兹力作为向心力可得

整理得

电子的轨迹半径与速度大小有关，B错误；
CD．由周期公式

可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变，即轨迹圆心角为，电子在磁场中的运动时间

故不同速率的电子在磁场中运动时间都相同，C错误，D正确。
故选AD。
12．（2021·湖南高三月考）如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量电子（质量为m、电荷量为e，重力不计）从长度为L的区域以相同速度与水平方向成的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为，上方磁场的磁感应强度。所有从上方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场（图中未画出）偏转后都能通过磁场边界的一个点处被收集。下列说法正确的是（　　）

A．水平分界线上电子射出区域的长度为
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为
【答案】BCD
【解析】A．所有电子运动轨迹相同，水平分界线上电子射出区域的长度为L，选项A错误；
B．改变上方磁场的磁感应强度，电子运动轨迹改变但所有电子运动轨迹依然相同，电子射出区域的长度将保持不变，选项B正确；
C．从P点入射的电子应到达Q点右侧，即偏转对应的最小弦长为L，则


选项C正确；
D．出射电子束的宽度（平行线间的距离）为，只要满足电子轨迹半径等于磁场区域圆的半径就可以实现收集（会聚）。设想以较大的磁场区域圆实现会聚，不断缩小磁场区域圆直至以出射电子束的宽度为半径对应最小的半圆形磁场区域，如图所示：

可以是区域1、2组成的半圆，也可以是区域1、3组成的半圆，最小半径与最大的磁感应强度相对应，选项D正确。
故选BCD。

三、非选择题
13．如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内，y轴与x=d之间，有沿x轴正向的匀强电场，在第二象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在x轴上P（-d，0）点，沿y轴正向发射一个质量为m、电荷量大小为q的带负电粒子，粒子的速度大小为vo，粒子刚好从坐标原点O射出磁场；若只增大粒子的发射速度大小，使粒子垂直y轴射出磁场，结果粒子在电场中运动d的距离，速度为零，不计粒子的重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)匀强电场的电场强度大小；
(3)继续增大粒子的发射速度大小，要使粒子不能从x=d射出电场，粒子的发射速度最大为多少。


【答案】(1)；(2)；(3)3v0
【解析】(1)当粒子以大小为v0的速度射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径

根据牛顿第二定律有

解得

(2)设粒子射出速度大小为v1，由题意知，粒子在磁场中做圆周运动的半径
r2=d
根据牛顿第二定律

粒子进入电场后，根据动能定理有

解得

(3)设粒子射出速度增大为v时，粒子刚好不从x=d射出电场设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律有：

设粒子出磁场时速度与x轴正向夹角为θ，根据几何关系有

粒子出磁场时，沿x轴正向的分速度
vx=vcosθ
粒子沿电场方向做匀减速运动，根据运动学公式有

根据牛顿第二定律有
qE=ma
解得
v=3v0
14．如图所示，纸面内有由半径分别为R、的同心圆Ⅰ和Ⅱ构成的虚线圆环，虚线圆环内（含边界）有垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），在纸面内从圆心O点、以大小为v的速度向圆Ⅱ上的P点运动，粒子恰好不能穿出圆Ⅰ。求：
（1）粒子在磁场中运动的半径r和磁场的磁感应强度大小B；
（2）粒子能否再次到达P点？若不能，试说明理由；若能，试求粒子再次到达P点的最短时间。


【答案】（1）；；（2）能再次到达P点；
【解析】（1）由题分析知，由几何关系得

解得

由

解得

（2）作出粒子运动的轨迹图（以磁场方向垂直纸面向里为例，如图）


由分析可知，粒子能再次到达P点，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T

粒子在磁场中运动时间

粒子在圆Ⅱ内做匀速直线运动时间

粒子能再次到达P点的最短时间

解得

15．（2021·山西晋中市·高三二模）如图甲所示，左、右竖直边界分别为、的匀强磁场宽度为d，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图乙所示规律周期性变化， 、。匀强磁场的左侧有一粒子源，能沿纸面源源不断地水平向右发射质量为m、带电荷量为-q的粒子，已知粒子速度均为，粒子的比荷为，若时刻射入的粒子恰好在时刻从右边界射出。（忽略粒子的重力及粒子之间的相互作用，图乙中磁场以垂直纸面向里为正方向）求：
(1)假设粒子在磁场中能做完整的匀速圆周运动，周期为T。求T与T0的关系；
(2)匀强磁场的宽度d。

【答案】(1)；(2)0.37m
【解析】(1)粒子在磁场中运动的周期为

解得

则

(2)粒子运动轨迹如图所示

由

粒子在磁场中运动的半径为

又

则时间内粒子在磁场中转过的圆心角为

又

则时间内粒子在磁场中转过的圆心角为

匀强磁场的宽度

可得

16．（2021·浙江高三二模）科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。某同学为探究带电粒子“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域∶匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，求:
（1）粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vmA；
（2）粒子源在O时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm；
（3）粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vmP。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）如图1所示，若粒子源在A点时，被磁场约束的粒子在磁场中最大运动半径为


由运动半径

解得:
（2）如图2所示，当粒子源在O时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间为最大值，设粒子运动半径为r0。在中，OA2+AC2=OC2

即

解得

由几何知识求得∠ACD=106°，故被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值为

（3）如图3所示，当粒子源在P点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子的半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为rP

在中，由几何知识得OG2+GE2=OE2，，，OE=2R-rP
求得
rP=R
由运动半径

解得：
17．（2021·浙江衢州市·高三二模）如图所示，由直三棱柱A1B1C1-A2B2C2构成的斜面体固定置于水平面上，△A1B1C1为直角三角形，其中α=53°，A1C1=A1A2=0.4m，厚度不计的矩形荧光屏B1B2D2D1竖直安置在斜面底端，B1D1=0.2m。空间中有一竖直向下的匀强电场，场强E=2×105N/C，在A处可发射水平各方向，速度大小不同的带正电粒子，粒子的电量q=2×10-10C，质量m=5×10-17kg，当粒子击中荧光屏时能使其发光。不考虑重力、空气阻力、粒子间相互作用力及粒子反弹后的运动。
（1）求带电粒子在电场中运动的加速度；
（2）求能使荧光屏发光的粒子的初速度大小范围；
（3）取（2）问中打到荧光屏上初速度最小的粒子，当其运动到离斜面的距离最远时，突然撤去电场，并加一个垂直于斜面的匀强磁场，要使粒子能击中荧光屏，求所加磁场的方向及磁感应强度的范围。

【答案】（1）8×1011m/s2；（2）3×105m/s≤v0≤；（3）0≤B≤0.5T，方向垂直于斜面向下
【解析】（1）由
qE=ma
解得
a=8×1011m/s2

（2）从A运动到B1粒子初速度最小，由竖直位移

水平位移

及位移关系

解得初速度最小值
vO1=3×105m/s
从A1运动到D2粒子初速度最大，竖直位移

水平位移

解得初速度最大值

初速度的范围
3×105m/s≤v0≤
（3）设粒子到达P点时离斜面距离最远，此时速度vP恰好平行于斜面方向向下，由速度关系

竖直速度公式

解得
t1=5×10-7s
此时如果磁场为零，电场也已撤去，粒子将做匀速直线运动至荧光屏的Q1点，增大磁场，粒子将做匀速圆周运动，半径随磁场的增大而减小，当磁场最大时，设轨迹恰好相切于Q2点，

P点水平位移
xP=vO1t1=0.15m、
半径

粒子在P点时速度

由牛顿第二定律

解得磁感应强度最大值
B=0.5T
故磁感应强度的范围
0≤B≤0.5T
方向垂直于斜面向下。
18．如图所示，一质量为m、电量为+q、重力不计的带电粒子，从A板的S点由静止开始释放，经A、B加速电场加速后，穿过中间偏转电场，再进入右侧匀强磁场区域。已知AB间的电压为U，MN极板间的电压为2U，MN两板间的距离和板长均为L，磁场垂直纸面向里、磁感应强度为B、有理想边界。求：
(1)带电粒子离开B板时速度v0的大小；
(2)带电粒子离开偏转电场时速度v的大小；
(3)要使带电粒子最终垂直磁场右边界射出磁场，磁场的宽度d多大？

【答案】(1)； (2)； (3)
【解析】(1)带电粒子在加速电场中，由动能定理得

得带电粒子离开B板的速度

(2)粒子进入偏转电场后，有

竖直速度

由牛顿第二定律，有

解得

则带电粒子离开偏转电场时速度v的大小

(3)带电粒子离开偏转电场时，有

根据洛伦兹力提供向心力，则有

由几何关系，有

联立以上各式，可得磁场宽度