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专题1 应用动力学和功能观点分析电场内的问题
一、单项选择题
1．如题图所示，真空中竖直平面内的三点A、B、C构成直角三角形，其中AC竖直，长度为L，∠ABC=30°。匀强电场在A、B、C所决定的平面内，电场强度为E，电场方向与AB平行。现将质量为m的带电小球以初动能Ek沿CA方向从C点射出，小球通过B点时速度恰好沿AB方向，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

A．小球所受电场力为所受重力的3倍
B．经过时间，小球电势能和重力势能之和最大
C．从C到B，小球做匀变速直线运动
D．从C到B，小球克服重力做功与电场力做功之比为1：
【答案】B
【解析】A．设小球在C点的速度为vy，在B点速度为vx，AB的长度

设从C到B的时间为t，有


解得

根据速度—时间关系v=at可得

解得

故A错误；
B．设电场力和重力的合力与水平方向的夹角为θ，则有


则合加速度为

将小球的初速度分解为沿合外力的方向和与合外力垂直的方向，小球电势能和重力势能之和最大时，小球动能最小，合外力方向的分速度减为零，该过程所用时间

解得

故B正确；
C．从C到B，小球加速度恒定，但与小球速度不共线，故小球做匀变速曲线运动，故C错误；
D．从C到B，小球克服重力做的功为

电场力所做的功为

则小球克服重力做的功与电场力做的功的比值为

故D错误。
故选B。
2．如图所示，匀强电场方向平行于斜面向下，在足够长的绝缘斜面上，带正电的物体从底端沿斜面向上做匀变速运动，在斜面底端时，动能为100 J，第一次到A点时动能减少了80J，电势能增加了48J，重力势能增加了12J，物体再次回到斜面底端时的动能为（　　）


A．50 J B．40J C．20J D．60J
【答案】A
【解析】设斜面底端电势能和重力势能为零，经过斜面底端时动能为100J，到A点时动能减少了80J，电势能增加了48J，重力势能增加了12J，则到达B点时，， ， ，根据能量守恒，则从底端到A点时，克服摩擦力做的功为20J，从A点到达最高点，与从斜面底端到A能量分配相同， 则从A点到最高点的克服摩擦力做的功为

物体再次回到斜面底端时的动能为

故选A。
3．如图所示，竖直向上的匀强电场中，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上，上端连接一带正电小球，小球静止时位于N点，弹簧恰好处于原长状态。保持小球的带电量不变，现将小球提高到M点由静止释放。则释放后小球从M点向下运动的过程中（　　）

A．小球向下运动的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能减小
B．从M到N运动过程中，小球重力势能和弹簧弹性势能的减少量等于小球电势能的增加量
C．向下运动的过程中，在重力与电场力等大反向的位置处，小球有最大速度
D．小球动能的增加量等于电场力和重力做功的代数和
【答案】A
【解析】A．根据功能关系

小球向下运动的过程中，电场力做负功，电势能增加，则小球和弹簧组成的系统机械能减小，所以A正确；
B．从M到N运动过程中，小球重力势能和弹簧弹性势能的减少量等于小球电势能和动能的增加量，所以B错误；
C．向下运动的过程中，重力与电场力总是等大反向，在N点弹簧处于原长时，合外力为0，加速度为0，则小球才有最大速度，所以C错误；
D．由动能定理可知，小球动能的增加量等于电场力、弹簧弹力和重力做功的代数和，所以D错误；
故选A。
4．如图所示，xOy坐标系内存在平行于坐标平面的匀强电场。一个质量为m，电荷量为的带电粒子，以的速度沿AB方向入射，粒子恰好以最小的速度垂直于y轴击中C点。已知A、B、C三个点的坐标分别为、、。若不计重力与空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）

A．带电粒子由A到C过程中最小速度一定为
B．带电粒子由A到C过程中电势能先减小后增大
C．匀强电场的场强大小为
D．若匀强电场的大小和方向可调节，粒子恰好能沿AB直线方向到达B点，则此状态下电场强度大小为
【答案】D
【解析】A．根据题意可知

由于粒子恰好以最小的速度垂直于y轴击中C点，则C点的速度最小且沿水平方向，故带电粒子受到的电场力方向一定沿-y方向，将初速度沿竖直方向和水平方向分解，水平方向粒子做匀速直线运动，其速度为

竖直方向速度减为零时速度最小等于水平分速度，所以带电粒子由A到C过程中最小速度一定为，A错误；
B．带电粒子由A到C过程中电场力一定做负功，电势能增大，B错误；
C．根据几何关系可知OC=L，从A到C根据动能定理可得

解得匀强电场的大小为

C错误；
D．若匀强电场的大小和方向可调节，粒子恰好能沿AB方向到达B点，则电场线方向沿BA方向，根据动能定理可得

解得此状态下电场强度大小为

D正确。
故选D。
5．如图所示，某一正点电荷固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面底端C点，斜面上有A、B、D三点，A和C相距为L，B为中点，D为A、B的中点。现将一质量为m、带电量为q的小球从A点由静止释放，运动到B点时的速度恰好为零。已知重力加速度为g，带电小球在A点处的加速度大小为，静电力常量为k。则（　　）

A．小球从A到B的过程中，速度最大的位置在之间
B．小球运动到B点时的加速度大小为
C．之间的电势差等于之间的电势差
D．之间的电势差大于
【答案】B
【解析】A．带电小球在点时受到的库仑力大小为

在点处根据牛顿第二定律得

解得

带电小球在点时受到的库仑力大小为

小球在点时合力方向沿斜面向下，加速度不等于零，速度不是最大，A错误；
B．带电小球在点时受到的库仑力大小为

根据牛顿第二定律得

解得

B正确；
C．点电荷的电场是非匀强电场，由点电荷电场特点可知，之间的电场强度大于之间的电场强度，由

可知之间的电势差大于之间的电势差，C错误；
D．到根据动能定理可得

解得

则

D错误。
故选B。
6．如图所示，在光滑绝缘水平面上，A、B两个小球质量分别为2m和m，两球均带正电，某时刻A有指向B的初速度v0，B的速度为0，之后两球在运动中始终未相碰，当两球从此刻开始到相距最近的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．两球系统动量守恒，机械能守恒 B．两球系统电势能增加了
C．电场力对A球做的功为 D．电场力对B球做的功为
【答案】C
【解析】A．两球系统所受合力为0，则系统动量守恒，但两球相互靠近过程中电场力做负功，机械能减小，故A错误；
B．当两球速度相等时，两球相距最近，由动量守恒有

得

由能量守恒可知，两球系统电势能增加

故B错误；
C．由动能定理可知，电场力对A球做的功为

故C正确；
D．由动能定理得，电场力对B球做的功为

故D错误。
故选C。
7．如图所示，在光滑绝缘水平面上的P点正上方O点固定了一电荷量为＋Q的正点电荷，在水平面上的N点，由静止释放一质量为m．电荷量为-q的负检验电荷，该检验电荷经过P点时速度为v，图中θ＝60°，规定电场中 P点的电势为零，则在＋Q形成的电场中，下列判断正确的是（ ）

A．P点电场强度大小是N点的2倍
B．N点电势高于P点电势
C．N点电势为
D．检验电荷在N点具有的电势能为
【答案】C
【解析】B ．根据顺着电场线方向电势降低可知，M点的电势高于N点的电势，而M．P两点的电势相等，则N点电势低于P点电势．故A错误；
A ．P点电场强度大小是，N点电场强度大小是，则，故B错误；
C．根据动能定理得：检验电荷由N到P的过程，，由题，P点的电势为零，即φP=0，解得，N点的电势，故C正确；
D．检验电荷在N点具有的电势能为，故D错误。
故选C。
8．如图所示，在竖直放置的光滑半圆形绝缘细管的圆心O处放一点电荷。现将质量为m、电荷量为q的小球从半圆形管的水平直径端点A静止释放，小球沿细管滑到最低点B时，对管壁恰好无压力。若小球所带电量很小，不影响O点处的点电荷的电场，则置于圆心处的点电荷在B点处的电场强度的大小为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设细管的半径为R，小球到达B点时速度大小为v，小球从A滑到B的过程，恰好沿着圆心O处点电荷的等势线运动，静电力不做功，机械能守恒定律，所以有

小球经过B点时，由牛顿第二定律得

联立以上两式解得

故选C。

二、多项选择题
9．如图所示，不带电物体A和带电量为q（）的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，物体B静止在倾角为且足够长的斜面上，A、B的质量分别为m和，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，整个系统不计一切摩擦。某时刻，施加一场强大小为，方向沿斜面向下的匀强电场，如图所示，在物体B获得最大速度的过程中弹簧未超过弹性限度，下列说法正确的是（　　）

A．施加电场的初始时刻，物体B的加速度为
B．物体B的速度最大时，弹簧的伸长量为
C．物体B从开始运动到最大速度的过程中，系统电势能的减少量为
D．物体B从开始运动到最大速度的过程中，物体A和物体B机械能的增加之和为
【答案】AC
【解析】A．施加电场的初始时刻，A和B系统的合外力大小等于电场力的大小，即

由牛顿第二定律知

选项A正确；
B．物体B的速度最大时，A和B系统的合外力大小为0，此时弹簧弹力

由胡克定律得弹簧的伸长量

选项B错误；
C．没有施加电场的时候弹簧的弹力

弹簧的伸长量

此过程中物块B的位移大小

电势能的减少量

选项C正确；
D．此过程中，弹簧、物块A和物块B三者组成的系统机械能的增加量为，选项D错误。
故选AC。
10．一小球从A点竖直抛出，在空中同时受到水平向右的恒力，运动轨迹如图，两点在同一水平线上，为轨迹的最高点，小球抛出时动能为，在点的动能为，不计空气阻力。则（　　）

A．小球水平位移，与的比值为 B．小球水平位移与的比值为
C．小球落到点时的动能为 D．小球从A点运动到点过程中最小动能为
【答案】BC
【解析】AB．小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性得知，从A 点至点和从点至点的时间相等，小球在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为，根据位移时间公式


联立可得

A错误B正确；
C．小球从A到，由功能关系知在水平方向上恒力做功为

则从A到水平方向上恒力做功为

根据能量守恒可知，小球运动到点时的动能为

C正确；
D．据运动轨迹，小球的运动方向与加速度的方向垂直时，小球的速度最小，则小球从A到过程最小速度一定与等效垂直，在之间，最小动能小于，D错误。
故选BC。
11．有三个质量相等、分别带有正电与负电及不带电的微粒，从极板左侧中央以相同的水平初速度v先后垂直场强射入，分别落到极板A、B、C处，如图所示．则下列说法正确的有 （　　）

A．粒子A带负电，B不带电，C带正电
B．三个粒子在电场中运动的时间不相等
C．三个粒子在电场中运动的加速度aA D．三个粒子到达极板时的动能EA>EB>EC
【答案】BC
【解析】ABC．三个微粒的初速度相等，水平位移，根据水平方向上做匀速直线运动，所以由公式

得

三个微粒在竖直方向上的位移相等，根据

得

从而得知B仅受重力作用，A受电场力向上，C所受的电场力向下，所以B不带电，A带正电，C带负电，A错误，BC正确；
D．根据动能定理，三个微粒重力做功相等，A电场力做负功，C电场力做正功，所以C的动能变化量最大，A的动能变化量最小，初动能相等，所以三个微粒到达极板时的动能为

D错误。
故选BC。
12．如图甲所示，绝缘水平传送带与竖直放置的半圆形轨道底部平滑相接。半圆形轨道绝缘、光滑，半径为R=0.45m，处在水平向右的匀强电场中，半圆形轨道的竖直直径是电场的左边界，电场的场强大小为×103N/C。一质量为0.1kg，电荷量为＋q=1.0×10-3C的小物块自半圆形轨道某位置自由滑下，滑至底端并冲上传送带，在传送带上运动的速度—时间图象如图乙所示（以向右为正方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力），下面说法正确的是（g取10m/s2）（　　）

A．传送带至少长4.5m，传送带速度最小为3m/s
B．小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1
C．小物块开始滑下的位置与半圆形轨道底端的高度差为0.45m
D．小物块在半圆形轨道上滑动时对轨道的最大压力为2N
【答案】ABD
【解析】B．由题图乙可知小物块在传送带上运动的加速度大小

根据

可知

B正确；
A．小物块向左运动的最大位移

因为小物块滑上和离开传送带的速度均为3m/s，所以传送带的速度至少为3m/s，A正确；
C．设小物块开始滑下的位置在圆心上方，小物块与圆心的连线跟水平方向的夹角为θ，对小物块，从开始到半圆轨道底端，根据动能定理有

解得

小物块开始滑下的位置P到传送带的高度

C错误；
D．物块受到的电场力qE和重力mg的合力

与竖直方向夹角

成30°角斜向右下方，设小物块到达等效重力场的最低点Q（由几何关系可知OQ与OP垂直）时的速度为v，根据动能定理有

对小物块有

解得

D正确。
故选ABD。
三、非选择题
13．如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。
(1)若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，滑块到达与圆心O等高的C点时速度为多大？
(2)在(1)的情况下，求滑块到达C点时受到轨道的作用力的大小。
(3)改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出轨道，求滑块在圆轨道上滑行过程中的最小速度的大小。

【答案】(1)；(2)mg；(3)
【解析】(1)设滑块到达C点时的速度为v，由动能定理得

而

解得

(2)设滑块到达C点时受到轨道的作用力大小为F，则

解得

(3)要使滑块恰好始终沿轨道滑行，则滑至圆轨道DG间某点时，由电场力和重力的合力提供向心力，此时的速度最小（设为vn），则有

解得

14．如图所示，空间有水平向右的匀强电场。在电场中用一根长为L的不可伸长的绝缘细线吊着一个质量为m，电荷量为q的小球，小球保持静止时细线与竖直方向成角。现突然将均强电场的方向变为水平向左，其他条件不变。已知，，重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球运动过程中经过最低点时细线对小球拉力的大小。


【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由平衡知识知

解得

（2）小球由静止运动至最低点的过程中，由动能定理知

解得

在最低点时，由牛顿第二定律知

解得

15．如图所示，空间存在一匀强电场，其电场强度大小，该电场中有A、B两点，相距，且A、B连线与电场线的夹角。
(1)求A、B两点间的电势差；
(2)若将一电荷量的带正电粒子从A点移到B点，只考虑带电粒子所受的电场力，求该过程中带电粒子动能的变化。


【答案】(1)；(2)
【解析】(1)A、B两点间沿电场方向的距离为

由电场强度与电势差之间的关系可知

解得。
(2)在将带正电粒子从A点移到B点的过程中，由动能定理有：

解得

为正值，说明该过程中带电粒子的动能增大。
16．某种金属板受到一束紫外线照射时会不停地发射电子，射出的电子具有不同的方向，速度大小也不相同。在旁放置一个金属网。如果用导线将、连起来，从射出的电子落到上便会沿导线返回，从而形成电流。现在不把、直接相连，而按图那样在、之间加电压，发现当时电流表中就没有电流。
问：被这束紫外线照射出的电子，最大速度是多少？

【答案】
【解析】加上电压后，会在电子运动区域产生阻碍电子射向N板的运动，当电流表中无电流通过时，说明即使垂直射向N板的电子都会在到达N板前减速到零，假设电子最大速度是v，由动能定理得

电子质量m=0.91×10-30kg，e取，U0=12.5V，代入数值解得

17．竖直平面内的一个光滑绝缘轨道由相切于B点的两段组成，直段与水平面夹角为60°，弯段为一个圆弧，半径为r，在同一高度。在圆心处固定一个负点电荷。将一带正电小环（可看作质点）套在轨道上从A点静止释放，下滑经B、C后滑上右边圆弧。已知小环刚从A点下滑时，恰好不受轨道的作用力；到C点时，小球的速度。问：
(1)小环在A点时所受的库仑力FA的大小和方向；
(2)小环在C点时所受的轨道作用力FN的大小；
(3)定量说明小环从A到D过程中电势能的变化情况。

【答案】(1)，由A指向O ；(2)；(3)从A到B变小了，B到D不变
【解析】(1)小环在A点，小环受力分析有只受重力和电场力。恰好不受轨道的作用力的条件为

解得
，由A指向O
(2)小环在C点设库仑力大小为FC，由牛顿第二定律有

库仑力公式有

由几何关系可得：OA=2OC=2r
则有

小环在C点时所受的轨道作用力FN的大小

(3) 右边圆弧为圆心处固定的负点电荷的等势面，所以小环从B到D过程中电势能保持不变；
小环从B到C过程有

小环从A到B过程有

由功能关系有

由上几式解得

小环从A到B过程中电势能变小了。
18．如图所示，真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。现将一个质量为m，所带电荷量为-q的带电小球从A点以初速度v0竖直向上抛出，过最高点B时的速度大小仍为v0，取A点电势为0，小球在A点的重力势能也为0，重力加速度为g。求：
（1）电场场强的大小；
（2）B点的电势；
（3）小球运动过程中所具有的重力势能和电势能之和最大时的速度大小。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据牛顿第二定律，在沿着电场方向


垂直于电场方向

联立解得

（2）从A点到B点，根据动能定理

且

解得

即

（3）从A点到B点，小球做抛体运动，根据能量守恒，可得小球所具有的重力势能和电势能之和最大时，即动能最小为最小速率，此时电场力和重力的合力方向与速度方向垂直，此时



解得

根据运动合成和分解，任何时刻的速度为

解得最小速率

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