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专题07 抛体运动模型
目录
【平抛运动模型的构建及规律】 1
【三类常见的斜面平抛模型】 5
【半圆模型的平抛运动】 12
【平抛与圆相切模型】 14
【台阶平抛运动模型】 16
【体育生活中平抛运动的临界模型】 17
【对着竖直墙壁的平抛模型】 20
【斜抛运动模型】 25

【平抛运动模型的构建及规律】
1、平抛运动的条件和性质
（1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。
（2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。
2、平抛运动的规律
规律：（按水平和竖直两个方向分解可得）
水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动，
竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，
平抛运动的轨迹：是一条抛物线
合速度：大小：即，
方向：v与水平方向夹角为，即
合位移：大小：即，
方向：S与水平方向夹角为，即
一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。如图所示:

3、对平抛运动的研究
（1）平抛运动在空中的飞行时间
由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间
可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。
（2）平抛运动的射程
由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程
可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。
（3）平抛运动轨迹的研究
平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。
【模型演练1】.(2020·全国名校11月大联考)如图所示，xOy是平面直角坐标系，Ox水平、Oy竖直，一质点从O点开始做平抛运动，P点是轨迹上的一点．质点在P点的速度大小为v，方向沿该点所在轨迹的切线．M点为P点在Ox轴上的投影，P点速度方向的反向延长线与Ox轴相交于Q点．已知平抛的初速度为20 m/s，MP＝20 m，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)

A．QM的长度为10 m
B．质点从O到P的运动时间为1 s
C．质点在P点的速度大小为40 m/s
D．质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°
【答案】　D
【解析】　根据平拋运动在竖直方向做自由落体运动有：h＝gt2，可得t＝2 s；质点在水平方向的位移为：x＝v0t＝40 m，即OM＝40 m，根据平抛运动的推论可知Q是OM的中点，所以QM＝20 m，故A、B错误；质点在P点的竖直速度：vy＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，所以质点在P点的速度为：v＝＝ m/s＝20 m/s，故C错误；因为tan θ＝＝1，所以质点在P点的速度与水平方向的夹角为45°，故D正确．
【模型演练2】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于(　　)

A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
【答案】　B
【解析】　摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt12，可解得v1＝，动能E1＝mv12＝；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝gt22，解得v2＝3，动能E2＝mv22＝mgh，故＝18，B正确．
【模型演练3】(2020·山东滨州二模)如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)

A.(3 m，3 m) B.(2 m，4 m)
C.(1 m，1 m) D.(1 m，2 m)
【答案】　C
【解析】　设小球经过时间t打在曲面上M(x，y)点，则水平方向：x＝v0t，竖直方向上：6－y＝gt2，又因为y＝x2，可解得x＝1 m，y＝1 m，故C正确，A、B、D错误。
【模型演练4】（2021届辽宁省营口市高三模拟）如图所示，轴在水平地面上，轴在竖直方向，图中画出了从轴上不同位置沿轴正向水平抛出的三个小球、和的运动轨迹。小球从抛出，落在处；小球、均从抛出，分别落在和处。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．和的初速度相同 B．和的运动时间相同
C．的初速度是的2倍 D．的运动时间是的2倍
【答案】BC
【解析】BD．a、b和c小球竖直方向下落高度分别为2L、L、L，由
可得它们运动时间分别为 故B正确，D错误；AC．a、b和c小球水平方向位移分别为2L、2L、L，由可得它们初速度分别为
故A错误，C正确。故选BC。
【模型演练5】(2021·云南保山一模)如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 (　　)

A．小球通过B点的速度为12 m/s
B．小球的抛出速度为5 m/s
C．小球从A点运动到B点的时间为1 s
D．A、B之间的距离为6 m
【答案】　C
【解析】　由平抛运动规律知v0＝vAsin 60°，v0＝vBsin 30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，选项A、B错误；竖直速度vAy＝vAcos 60°，vBy＝vBcos 30°，vBy＝vAy＋gt，解得t＝1 s，选项C正确；由v－v＝2gy，x＝v0t，s＝，解得s＝5 m，选项D错误。
【三类常见的斜面平抛模型】
类型一：沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
x＝v0t ，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.与斜面的最大距离问题
两种分解方法：


【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．

法一：(1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示

vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcos θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝.
(2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，
A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
法二：(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P，

则tan θ＝＝，
t＝.
(2) ＝y＝gt2＝，而∶＝1∶3，所以＝4y＝，A、B间距离s＝＝.
法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时