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第1讲　功、功率　机车启动问题
目标要求 　1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算.3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一　恒力做功的分析和计算
基础回扣
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜π2时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝π2时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当π2＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
技巧点拨
1．判断力做功与否以及做功正负的方法
判断依据 适用情况
根据力与位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功 常用于质点做曲线运动时做功的判断

2.计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
例1 　如图1所示，完全相同的四个木块放于水平地面上，在大小相等的恒力F作用下沿水平地面发生了相同的位移．关于力F做功，下列表述正确的是(　　)


图1
A．图甲中，因为木块与地面间没有摩擦力，所以力F做的功最少
B．图乙中，力F做的功等于摩擦力对木块做的功
C．图丙中，力F做的功等于木块重力所做的功
D．图丁中，力F做的功最少
答案　D
解析　由W＝Flcos α可知，F、l相同，α越大，力F做的功越少，D正确．

1．(做功情况的判断)(2020·广东惠州一中月考)图2甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止．下列关于做功的判断中正确的是(　　)

图2
A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
答案　A
解析　题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误．
2.(恒力做功的计算)(2020·宁夏石嘴山市月考)如图3所示，质量为m的小车在与竖直方向成α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左运动一段距离l.在此过程中，小车受到的阻力大小恒为Ff，则(　　)

图3
A．拉力对小车做功为Flcos α
B．支持力对小车做功为Flsin α
C．阻力对小车做功为－Ffl
D．重力对小车做功为mgl
答案　C
解析　根据力做功的公式：W＝Flcos θ，其中θ为力与位移的夹角，所以拉力做功为：W＝Flsin α，阻力做功为：Wf＝－Ffl，故A错误，C正确．支持力和重力的方向与运动方向垂直，所以不做功，故B、D错误．
考点二　变力做功的分析和计算
方法 以例说法
应用动能定理 　用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
微元法 　质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
图象法 　一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0＋F12x0

平均值法 　当力与位移为线性关系，力可用平均值F＝F1＋F22表示，代入功的公式得W＝kΔx2·Δx

等效转换法 　恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(hsin α－hsin β)



　　　　　 图象法求变力做功

例2 　如图4甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则(　　)

图4
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
答案　B
解析　滑动摩擦力Ff＝μmg＝20 N，物体先加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减速运动，选项A、C错误；F－x图象中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，W＝12×100×4 J＝200 J，选项B正确，D错误．

　　　　　 等效转换法求变力做功

例3 　如图5所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)

图5
A．W1>W2
B．W1 C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
答案　A
解析　轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A正确．

3．(微元法求变力做功)如图6所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为R2和R的两个半圆构成．现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为(　　)

图6
A．0 B．FR C.32πFR D．2πFR
答案　C
解析　虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内F可以看成恒力，小球的路程为πR＋π·R2，则拉力做的功为32πFR，故C正确．
4．(平均值法求变力做功)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为(　　)
A．(3－1)d B．(2－1)d
C.5－1d2 D.22d
答案　B
解析　铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功．由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得
W＝F1d＝kd2d①
W＝F2d′＝kd＋kd＋d′2d′②
联立①②式解得d′＝(2－1)d，故选B.
考点三　功率的分析和计算
基础回扣
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝Wt，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
技巧点拨
1．平均功率的计算方法
(1)利用P＝Wt.
(2)利用P＝F·vcos α，其中v为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
例4 　(多选)(2019·广东汕头中学检测)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时间t，则下列说法中正确的是(　　)
A．t时间内重力对物体做功为12mg2t2
B．t时间内重力的平均功率为mg2t
C．前t2末重力的瞬时功率与后t2末重力的瞬时功率之比为1∶2
D．前t2内重力做功的平均功率与后t2内重力做功的平均功率之比为1∶3
答案　ACD
解析　物体自由下落，t时间内物体下落H＝12gt2，W＝mgH＝12mg2t2，故A正确；P＝Wt＝12mg2t2t＝12mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前t2末与后t2末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有P＝Fv＝mgv∝v，故前t2末与后t2末功率瞬时值之比为P1∶P2＝1∶2，C正确；前t2与后t2下落的位移之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确．

5．(瞬时功率)如图7所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化情况是(　　)

图7
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
答案　A
解析　小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点，对小球受力分析如图，F＝mgtan θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐渐增大，则功率P逐渐增大，A项正确．

6．(平均功率)(2018·天津卷·10)如图8，我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，飞机在水平跑道上的滑跑可视作初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s.已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度g取10 m/s2.求飞机滑跑过程中

图8
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P.
答案　(1)2 m/s2　(2)8.4×106 W
解析　(1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，由：v2＝2ax
解得a＝2 m/s2
(2)设飞机滑跑过程中的平均速度为v′，则v′＝v2；
F－0.1mg＝ma
在滑跑阶段，牵引力的平均功率P＝Fv′
解得P＝8.4×106 W．
考点四　机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图和v－t图


OA段 过程分析 v↑⇒F＝P不变v↓⇒a＝F－F阻m↓
a＝F－F阻m不变⇒F不变⇒v↑P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t0＝v1a

AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝PF阻
v↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F－F阻m↓

运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝P额F阻做匀速直线运动

2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝PFmin＝PF阻(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F阻)．
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝P额F (3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．

　　　　　 机车启动的图象问题

例5 　汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下面四个图象中，哪个图象正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系(　　)


答案　C
解析　功率减小一半时，由于惯性汽车速度来不及变化，根据功率和速度关系公式P＝Fv，此时牵引力减小一半，小于阻力，汽车做减速运动，由公式P＝Fv可知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，则汽车所受合力减小，加速度减小，故汽车做加速度越来越小的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，汽车做匀速运动，C正确．

　　　　　 机车启动的两种方式

例6 　汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为5×103 kg，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，则：
(1)若汽车保持额定功率不变从静止启动，汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2 m/s2时速度是多大？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
答案　(1)12 m/s　4 m/s　(2)16 s
解析　(1)汽车运动中所受阻力大小为Ff＝0.1mg①
当a＝0时速度最大，牵引力F等于Ff的大小，
则最大速度vmax＝PF＝PFf②
联立①②解得vmax＝12 m/s.
设汽车加速度为2 m/s2时牵引力为F1，
由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma③
此时汽车速度v1＝PF1④
联立①③④并代入数据得v1＝4 m/s.
(2)当汽车以加速度a′＝0.5 m/s2匀加速运动时，设牵引力为F2，
由牛顿第二定律得F2－Ff＝ma′⑤
汽车匀加速过程所能达到的最大速度vt＝PF2⑥
t＝vta′⑦
联立①⑤⑥⑦并代入数据解得t＝16 s．
课时精练

1．(2020·广东深圳中学月考)如图1所示，自动卸货车始终静止在水平地面上，车厢在液压机的作用下，θ角逐渐增大且货物相对车厢静止的过程中，下列说法中正确的是(　　)

图1
A．货物受到的支持力对货物不做功
B．货物受到的支持力对货物做正功
C．货物受到的重力对货物不做功
D．货物受到的摩擦力对货物做负功
答案　B
解析　货物受到的支持力的方向与运动方向时刻相同，做正功，故A错误，B正确；摩擦力的方向与其运动方向时刻垂直，不做功，故D错误；货物位置升高，重力做负功，C错误．
2．(2020·江苏卷·1)质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N．此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　)
A．90 W B．30 kW C．36 kW D．300 kW
答案　C
解析　汽车匀速行驶，牵引力F等于阻力Ff，实际功率P＝Fv＝Ffv＝1.8×103×20 W＝3.6×104 W＝36 kW，故选项C正确．
3．(2020·四川棠湖中学高三下学期第四次月考)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图2甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是(　　)

图2
A．W1＝W2＝W3 B．W1 C．W1 答案　B
解析　在第1 s内，滑块的位移大小为x1＝12×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W1＝F1x1＝1×
0.5 J＝0.5 J；第2 s内，滑块的位移大小为x2＝12×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W2＝F2x2＝3×0.5 J＝1.5 J；第3 s内，滑块的位移大小为x3＝1×1 m＝1 m，力F做的功为W3＝F3x3＝2×1 J＝2 J，所以W1 4.(多选)(2019·陕西西安市长安区模拟)如图3所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

图3
A．重力做功为mgl B．绳的拉力做功为零
C．F阻做功为－mgl D．F阻做功为－12F阻πl
答案　ABD
解析　小球下落过程中，重力做功为mgl，A正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为零，B正确；空气阻力F阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故F阻做功为－F阻·12πl，D正确．
5．(多选)(2020·天津卷·8)复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果．如图4所示，一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变．动车在时间t内(　　)

图4
A．做匀加速直线运动
B．加速度逐渐减小
C．牵引力的功率P＝Fvm
D．牵引力做功W＝12mvm2－12mv02
答案　BC
解析　由P＝F牵v知，P不变，v变大，则F牵变小，由F牵－F＝ma知，a变小，故A错误，B正确；当F牵＝F时，动车的速度最大，可得牵引力的功率P＝F牵vm＝Fvm，故C正确；由动能定理可知W－W阻＝12mvm2－12mv02，所以牵引力做功W＝12mvm2－12mv02＋W阻，故D错误．
6．(2019·贵州安顺市适应性监测(三))在一次跳绳体能测试中，一位体重约为50 kg的同学，一分钟内连续跳了140下，若该同学每次跳跃的腾空时间均为0.2 s，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力，则他在这一分钟内克服重力做的功约为(　　)
A．3 500 J B．14 000 J C．1 000 J D．2 500 J
答案　A
解析　G＝mg＝500 N，腾空时间为0.2 s表示每次上升过程用时0.1 s，上升的高度为h＝12gt2＝0.05 m，则起跳一次克服重力做的功W0＝Gh＝500 N×0.05 m＝25 J．一分钟内连续跳了140下，则一分钟内克服重力做功W＝140W0＝140×25 J＝3 500 J，故选A.
7.(多选)(2020·安徽“皖南八校”摸底)如图5所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中(　　)

图5
A．A所受的合力对A做正功
B．B对A的弹力对A做正功
C．B对A的摩擦力对A做正功
D．A对B的作用力对B做正功
答案　AC
解析　A、B作为整体，由牛顿第二定律得(mA＋mB)·gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，由牛顿第二定律知，A所受合力方向沿斜面向下，与速度方向相同，故A所受合力对A做正功，A正确；B对A的弹力竖直向上，与速度方向的夹角大于90°，故B对A的弹力对A做负功，B错误；B对A的摩擦力方向水平向左，与速度方向的夹角小于90°，故B对A的摩擦力对A做正功，C正确；设B对A的摩擦力和支持力沿斜面方向的合力为F，对A，由牛顿第二定律得mAgsin θ＋F＝mAa，解得F＝0，由牛顿第三定律知，A对B的摩擦力和压力沿斜面方向的合力为零，故A对B的作用力对B不做功，D错误．
8.如图6所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前
2 s内重力的平均功率和2 s末的瞬时功率分别为(　　)

图6
A．48 W　24 W B．24 W　48 W
C．24 W　12 W D．12 W　24 W
答案　B
解析　木块所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcos θ
＝mg(sin θ－μcos θ)
＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木块的加速度a＝F合m＝42 m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移x＝12at2＝12×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J
重力在前2 s内的平均功率P＝Wt＝482 W＝24 W.
木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W.
故选项B正确．

9．一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则(　　)
A．WF2>4WF1，Wf2>2Wf1
B．WF2>4WF1，Wf2＝2Wf1
C．WF2<4WF1，Wf2＝2Wf1
D．WF2<4WF1，Wf2<2Wf1
答案　C
解析　根据x＝v＋v02t得，两过程的位移关系x1＝12x2，根据a＝v－v0t，得两过程的加速度关系为a1＝a22.由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即Ff1＝Ff2＝Ff，根据牛顿第二定律得，F1－Ff1＝ma1，F2－Ff2＝ma2，所以F1＝12F2＋12Ff，即F1>F22.根据功的计算公式W＝Fl，可知Wf2＝2Wf1，WF2<4WF1，故选项C正确，A、B、D错误．
10．(多选)(2020·河北邢台市摸底)动车组列车在启动阶段的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动，当速度达到200 km/h时便保持此速度做匀速直线运动．若列车所受机械阻力恒定，所受空气阻力与速度大小成正比．该运动过程中列车发动机的功率没有达到其额定值，则列车的牵引力F和功率P随时间t变化的关系图象可能正确的是(　　)


答案　AC
解析　列车从静止开始做匀加速直线运动阶段，列车所受的空气阻力与速度大小成正比，即Ff空＝kv＝kat，由牛顿第二定律得F－Ff－kat＝ma，解得F＝ma＋Ff＋kat，牵引力F与时间t为线性关系，发动机的输出功率P＝Fv＝Fat＝ka2t2＋(ma＋Ff)at，功率P与时间t为二次函数关系；当速度达到v0＝200 km/h时，突然减小牵引力为F′，使牵引力大小等于机械阻力和空气阻力之和，即F′＝Ff＋Ff空＝Ff＋kv0，列车开始做匀速直线运动，功率P＝(Ff＋kv0)v0，此时功率P突然减小，之后牵引力F和功率P均不随时间t变化，A、C正确，B、D错误．
11.(多选)如图7所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止．则下列关于斜面对m的支持力和摩擦力的说法中正确的是(　　)

图7
A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做负功
答案　ACD
解析　支持力方向垂直斜面向上，与位移夹角小于90°，故支持力一定做正功，而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，此时物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a＝gtan θ.

若a>gtan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；若a 12．质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间．
答案　(1)7 s　(2)8 m/s　(3)22 s
解析　(1)由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1
解得t1＝7 s.
(2)当达到最大速度vm时，加速度为零，
则有P＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s.
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝12at12，在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝12mvm2－12mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2≈15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s.
13．如图8甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v－t图象如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小．求：


图8
(1)汽车在AB路段上运动时所受的阻力Ff1；
(2)汽车刚好到达B点时的加速度a；
(3)BC路段的长度．
答案　(1)2 000 N　(2)－1 m/s2　(3)68.75 m
解析　(1)汽车在AB路段时，有F1＝Ff1，P＝F1v1，Ff1＝Pv1，
联立解得：Ff1＝2 000 N.
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有F2＝Ff2，P＝F2v2，Ff2＝Pv2，
联立解得：Ff2＝4 000 N.
t＝5 s时汽车开始做减速运动，有F1－Ff2＝ma，
解得a＝－1 m/s2.
(3)由动能定理得：PΔt－Ff2x＝12mv22－12mv12，
解得x＝68.75 m.

14.(多选)(2019·江苏苏州市调研)质量为2×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F和车速倒数1v的关系图象如图9所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s，设阻力恒定，则(　　)

图9
A．汽车所受阻力为6×103 N
B．汽车在车速为5 m/s时，加速度为3 m/s2
C．汽车在车速为15 m/s时，加速度为1 m/s2
D．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104 W
答案　CD
解析　当牵引力等于阻力时，速度最大，由题图可知阻力大小Ff＝2 000 N，故A错误；
车速为5 m/s时，汽车的加速度a＝6 000－2 0002 000 m/s2＝2 m/s2，故B错误；
题图中倾斜图线的斜率表示汽车的额定功率，可知P＝Ffv＝2 000×30 W＝6×104 W，汽车的最大功率等于额定功率，等于6×104 W，故D正确；
当车速为15 m/s时，牵引力F＝Pv′＝6×10415 N＝4 000 N，则加速度a′＝F－Ffm＝4 000－2 0002 000 m/s2＝1 m/s2，故C正确．
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