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第1讲　万有引力定律及应用
目标要求 　1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法．
考点一　开普勒定律
基础回扣
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量


技巧点拨
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．由开普勒第二定律可得12v1·Δt·r1＝12v2·Δt·r2，解得v1v2＝r2r1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．


例1 　(多选)如图1所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　)

图1
A．TA>TB B．EkA>EkB
C．SA＝SB D.RA3TA2＝RB3TB2
答案　AD
解析　根据开普勒第三定律知，A、D正确；由GMmR2＝mv2R和Ek＝12mv2可得Ek＝GMm2R，因RA>RB，则EkA
1．(对开普勒三定律的理解)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案　C
解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误．
2．(对开普勒第二定律的理解和应用)(多选)如图2，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)

图2
A．从P到M所用的时间等于T04
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
答案　CD
解析　根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以从P到M所用的时间小于从M到Q所用的时间，而从P到Q所用的时间为T02，所以从P到M所用的时间小于T04，选项A错误；从Q到N阶段，只有万有引力对海王星做功，机械能保持不变，选项B错误；从P到Q阶段，海王星从近日点运动至远日点，速率逐渐减小，选项C正确；从M到Q阶段，万有引力做负功，从Q到N阶段，万有引力做正功，选项D正确．
考点二　万有引力定律
基础回扣
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝Gm1m2r2，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪许测定．
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
技巧点拨
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg；提供物体随地球自转的向心力F向．
(1)在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：GMmR2＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg.
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GMmR＋h2，得g′＝GMR＋h2.所以gg′＝R＋h2R2.
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝GM′mr2.

　　　　　 万有引力定律的理解

例2 　(2019·全国卷Ⅱ·14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　)

答案　D
解析　在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.



　　　　　 万有引力定律的应用

例3 　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A．1－dR B．1＋dR C.R－dR2 D.RR－d2
答案　A
解析　如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝GMmR2，又M＝ρ43πR3，故g＝ρ43πGR；设矿井底部的重力加速度为g′，其半径r＝R－d，则g′＝ρ43πG(R－d)，联立解得g′g＝1－dR，A正确．


3．(万有引力公式的应用)(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
答案　B
解析　万有引力表达式为F＝GMmr2，则同一物体在火星表面与地球表面受到的引力的比值为F火引F地引＝M火r地2M地r火2＝0.4，选项B正确．
4.(割补法在计算万有引力中的应用)如图3所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为R2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　)

图3
A．GMmR2 B．0
C．4GMmR2 D．GMm2R2
答案　D
解析　若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力与挖去的小球体对质点的万有引力之差，挖去的小球体球心与质点重合，对质点的万有引力为零，则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力．以完整大球体球心为中心分离出半径为R2的球，易知其质量为18M，则分离后的均匀球壳对质点的万有引力为零．综上可知，剩余部分对质点的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G18Mm(R2)2＝GMm2R2，故D正确．
考点三　天体质量和密度的计算
应用万有引力定律估算天体的质量、密度
(1)利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由GMmR2＝mg，得天体质量M＝gR2G.
②天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.
(2)利用运行天体
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
①由GMmr2＝m4π2T2r，得M＝4π2r3GT2.
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．

　　　　　 利用运行天体计算中心天体质量

例4 　(2020·山东临沂市质检)2018年7月25日消息称，科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为(　　)
A.4π2R13MgR22T2 B.gR22T2M4π2R13
C.gR12G D.gR22G
答案　A
解析　绕地球表面运动的物体由牛顿第二定律可知：
GMmR22＝mg
同理，对绕火星表面运动的物体有：
GM火mR12＝m(2πT)2R1
结合两个公式可解得：M火＝4π2R13MgR22T2，故A对．

　　　　　 利用重力加速度g求中心天体质量

例5 　(2020·广东广雅中学模拟)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
答案　(1)2ht2　(2)2hR2Gt2　(3)3h2πRGt2
解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝12g月t2
月球表面的自由落体加速度大小g月＝2ht2
(2)不考虑月球自转的影响，有GMmR2＝mg月
得月球的质量M＝2hR2Gt2
(3)月球的密度ρ＝MV＝2hR2Gt24π3R3＝3h2πRGt2

　　　　　 天体密度的计算

例6 　(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案　C
解析　脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有GMmr2＝mr4π2T2，
又知M＝ρ·43πr3
整理得密度ρ＝3πGT2＝3×3.146.67×10－11×5.19×10－32 kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
课时精练

1．(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案　B
解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律．

2．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现首颗系外“宜居”行星，假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍，那么一个在地球表面能举起64 kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A．40 kg B．50 kg
C．60 kg D．30 kg
答案　A
解析　在地球表面，万有引力近似等于重力即GMmR2＝mg，得g＝GMR2，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径约为地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力可认为是不变的，则人在行星表面所举起的物体的质量为m＝m01.6＝641.6 kg＝40 kg，故A正确．
3．为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，同样遵从平方反比规律的猜想，牛顿做了著名的“月—地检验”，并把引力规律做了合理的外推，完成了物理学的第一次大统一．已知月球绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍．下列说法中正确的是(　　)
A．物体在月球轨道上运动的加速度大小大约是在地面附近下落时的加速度大小的1602
B．物体在月球表面下落时的加速度大小是在地球表面下落时的加速度大小的1602
C．月球绕地球运行的周期是近地卫星绕地球运行周期的60倍
D．月球绕地球运行的线速度大小是近地卫星绕地球运行线速度大小的1603
答案　A
解析　由GMmr2＝ma可知，a＝GMr2，所以加速度大小之比为1∶602，故A正确；由于不知道月球半径及质量，故B错误；由开普勒第三定律有(T1T2)2＝(r1r2)3可知T1T2＝ ＝ ，故C错误；由GMmr2＝mv2r可知，v1v2＝r2r1＝160，故D错误．
4．(2017·北京卷·17)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案　D
解析　因为不考虑地球的自转，所以地球表面物体所受的万有引力等于重力，即GM地mR2＝mg，得M地＝gR2G，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据GM地m卫R2＝m卫v2R和T＝2πRv，得M地＝v3T2πG，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据GM地m月r2＝m月4π2T2r，得M地＝4π2r3GT2，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据GM太m地r2＝m地4π2T2r，得M太＝4π2r3GT2，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，故选D.
5．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则(　　)
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
答案　AD
解析　设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝2v0g，因此得g′g＝t5t＝15，选项A正确，B错误；由GMmR2＝mg得M＝gR2G，则M星M地＝g′R星2gR地2＝15×142＝180，选项C错误，D正确．
6．我国实施“嫦娥三号”卫星的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是(　　)
A.t2Gs3 B.s3Gt2 C.Gt2s3 D.Gs3t2
答案　B
解析　由题意可知，该卫星的线速度大小v＝st，角速度ω＝1t，转动半径R＝vω＝s，由万有引力提供向心力得GMmR2＝mv2R，解得M＝s3Gt2，选项B正确．
7．(2020·全国卷Ⅱ·15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)
A.3πGρ B.4πGρ
C.13πGρ D.14πGρ
答案　A
解析　根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得GMmR2＝m(2πT)2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·43πR3，由以上两式可得：T＝3πGρ，A正确．
8．(2020·陕西省黄陵县中学期中)有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)(　　)
A.14 B．4倍 C．16倍 D．64倍
答案　D
解析　设在星球表面处有一质量为m的物体，由GMmR2＝mg，可得g＝GMR2＝Gρ·43πR3R2＝4πGρR3，由于星球表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，密度跟地球密度相同，因此该星球的半径是地球半径的4倍，又M＝ρ·43πR3，可推得，该星球质量是地球质量的64倍．

9.(2018·浙江4月选考·9)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图1)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)

图1
A．5×1017 kg
B．5×1026 kg
C．7×1033 kg
D．4×1036 kg
答案　B
解析　根据“泰坦”的运动情况，由万有引力提供向心力，
则GMmr2＝m2πT2r，化简得到M＝4π2r3GT2，代入数据得M≈5×1026 kg，故选B.
10．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为(　　)
A.12R B.72R
C．2R D.72R
答案　C
解析　由平抛运动规律：x＝v0t，h＝12gt2，得x＝v02hg，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，故g行g地＝74；由GMmR2＝mg，可得g＝GMR2，故g行g地＝M行R行2M地R2＝74，解得R行＝2R，选项C正确．
11．(2020·山东卷·7改编)质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)
A．m0.4g－v0t0 B．m0.4g＋v0t0
C．m0.2g－v0t0 D．m0.2g＋v0t0
答案　B
解析　着陆器向下做匀减速直线运动时的加速度大小a＝v0t0.在天体表面附近，有mg＝GmMR2，则g火g＝M火M地·(R地R火)2，整理得g火＝0.4g，由牛顿第二定律知，着陆器减速运动时有F－mg火＝ma，则制动力F＝m(0.4g＋v0t0)，选项B正确．
12．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)
A.3πg0－gGT2g0 B.3πg0GT2g0－g
C.3πGT2 D.3πg0GT2g
答案　B
解析　物体在地球的两极时，有mg0＝GMmR2，物体在赤道上时，有mg＋m(2πT)2R＝GMmR2，又M＝43πR3ρ，联立以上三式解得地球的密度ρ＝3πg0GT2g0－g，故选项B正确，A、C、D错误．



13．(2019·江西抚州市模拟)由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神舟九号”载人飞船与“天宫一号”(如图2)成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)(　　)

图2
A.R－dR＋h B.R－d2R＋h2
C.R－dR＋h2R3 D.R－dR＋hR2
答案　C
解析　设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有g＝GMR2.由于地球的质量为M＝ρ·43πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝GMR2＝G·ρ43πR3R2＝43πGρR.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝43πGρ(R－d)，所以有g′g＝R－dR.根据万有引力提供向心力有GMmR＋h2＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝GMR＋h2，所以ag＝R2R＋h2，g′a＝R－dR＋h2R3，故C正确，A、B、D错误．

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