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实验十　测定电源的电动势和内阻
目标要求 　1.掌握用电流表和电压表测定电源的电动势和内阻的方法.2.掌握用图象处理实验数据的方法.3.掌握实物图连接的技巧．
考点一　伏安法测电源的电动势和内阻
基础回扣
1．实验原理
闭合电路欧姆定律．
2．实验器材
电池、电压表、电流表、滑动变阻器、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．实验步骤
(1)电流表用0.6 A的量程，电压表用3 V的量程，按图1连接好电路．

图1
(2)把滑动变阻器的滑片移到接入电路阻值最大的一端．
(3)闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表有明显示数并记录一组数据(I1，U1)．用同样的方法再测量几组I、U值，填入表格中．
(4)断开开关，拆除电路，整理好器材．
4．实验数据处理
(1)列方程组E＝U1＋I1rE＝U2＋I2r，解出E、r，并多次测量求平均值．
(2)用作图法处理数据，如图2所示．

图2
①图线与纵轴交点为电源电动势E；
②图线斜率的绝对值为内阻r.
5．误差分析
(1)偶然误差：主要来源于电压表和电流表的读数以及作U－I图象时描点不准确．
(2)系统误差
①若采用图3所示电路

图3
本实验的误差来源于电压表的分流，通过电流表的电流小于干路电流，由E＝U＋Ir得知，电动势E测 因RV≫r，故E测≈E真，r测≈r真．
②若采用图4所示电路，将电源与 串联等效为电源，如图虚线所示， 示数为等效电源的电压， 为干路电流，由闭合电路欧姆定律E＝U＋I(r＋RA)，E测＝E真，r测＝r＋RA，若RA未知，由于RA与r很接近，所以r测误差较大，故一般不采用此种接法；但若RA已知，此法可测r的准确值．

图4
6．注意事项
(1)为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池．
(2)电流不要过大，应小于0.5 A，读数要快．
(3)要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些．
(4)若U－I图线纵轴刻度不从零开始，则图线和横轴的交点不再是短路电流，内阻应根据r＝|ΔUΔI|确定．
例1 　(2020·山东卷·14)实验方案对实验测量的精度有直接的影响，某学习小组对“测量电源的电动势和内阻”的实验方案进行了探究．实验室提供的器材有：
干电池一节(电动势约1.5 V，内阻小于1 Ω)；
电压表V(量程3 V，内阻约3 kΩ)；
电流表A(量程0.6 A，内阻约1 Ω)；
滑动变阻器R(最大阻值为20 Ω)；
定值电阻R1(阻值2 Ω)；
定值电阻R2(阻值5 Ω)；
开关一个，导线若干．
(1)该小组按照图5甲所示的电路进行实验，通过调节滑动变阻器阻值使电流表示数逐渐接近满偏，记录此过程中电压表和电流表的示数，利用实验数据在U－I坐标纸上描点，如图乙所示，结果发现电压表示数的变化范围比较小，出现该现象的主要原因是________．(单选，填正确答案标号)
A．电压表分流
B．干电池内阻较小
C．滑动变阻器最大阻值较小
D．电流表内阻较小

图5
(2)针对电压表示数的变化范围比较小的问题，该小组利用实验室提供的器材改进了实验方案，重新测量得到的数据如下表所示．
序号 1 2 3 4 5 6 7
I/A 0.08 0.14 0.20 0.26 0.32 0.36 0.40
U/V 1.35 1.20 1.05 0.88 0.73 0.71 0.52

请根据实验数据，回答以下问题：
①图6中已标出后3组数据对应的坐标点，请标出前4组数据对应的坐标点并画出U－I图像．

图6
②根据实验数据可知，所选的定值电阻为________(填“R1”或“R2”)．
③用笔画线代替导线，请按照改进后的方案，将图7所示实物图连接成完整电路．

图7
答案　(1)B　(2)①见解析图(a)　②R1　③见解析图(c)
解析　(1)电压表示数的变化范围小，原因是外电阻的阻值远大于电源内阻，选项B正确．
(2)①根据数据描点并连成一条直线，如图(a)所示．

②由图像可知E＝1.55 V，U＝0时I＝0.59 A，故r′＝EI≈2.63 Ω，
由于2 Ω 又r′＝r＋R(r为电源内阻，R为定值电阻)，
故定值电阻只能是R1.
③先画出原理图，如图(b)，然后依据原理图将各仪器依次连接起来，如图(c)．


例2 　(2020·云南红河哈尼族彝族自治州统一检测)甲同学利用如图8甲所示的电路测定电源的电动势和内阻，提供的器材有：
A．干电池两节，每节电动势约为1.5 V，内阻未知
B．直流电压表V1：量程3 V，内阻约为3 kΩ
C．直流电压表V2：量程15 V，内阻约为6 kΩ
D．直流电流表A：量程0.6 A，内阻RA＝2 Ω
E．滑动变阻器
F．导线和开关
(1)为了尽可能提高实验精度，实验中电压表应选用________(选填“V1”或“V2”)；


图8
(2)某次实验部分数据如下表所示，其中一组数据读数如图乙所示，读出数据，完成下表．则：①处的读数为________ V；②处的读数为________ A.
U/V 2.62 2.48 2.34 ① 2.06 1.92
I/A 0.08 0.12 0.16 ② 0.24 0.28

(3)利用表格中的数据在图9中作出U－I图象；

图9
(4)由图象可知，两节干电池总电动势E＝________ V，总内阻r＝________ Ω.(计算结果保留三位有效数字)
答案　(1)V1　(2)2.20(2.19～2.21均可)　0.20　(3)见解析图　(4)2.90(2.86～2.94均可)　1.50(1.46～1.57均可)
解析　(1)两节干电池的电动势约为3 V，为了尽可能提高实验精度，实验中电压表应选V1；
(2)量程为3 V时，电压表的最小分度值为0.1 V，读数为2.20 V(2.19～2.21均可)
量程为0.6 A时，电流表的最小分度值为0.02 A，读数为0.20 A；
(3)U－I图象如下：

(4)根据闭合电路的欧姆定律有E＝U＋Ir
整理得U＝－Ir＋E
所以纵截距是电源电动势大小，斜率绝对值是电源内阻和电流表的内阻之和，由图计算可得E＝2.90 V(2.86～2.94均可)，r＝k－rA＝1.50 Ω(1.46～1.57均可)

1．实验室中准备了下列器材：
待测干电池(电动势约1.5 V，内阻约1.0 Ω)；
电流表G(满偏电流1.5 mA，内阻rg＝10 Ω)；
电流表A(量程0～0.6 A，内阻约0.10 Ω)；
滑动变阻器R1(最大阻值20 Ω)；
滑动变阻器R2(最大阻值100 Ω)；
定值电阻R3＝990 Ω，开关S和导线若干．
(1)某同学选用上述器材(滑动变阻器只选用了一个)测定一节干电池的电动势和内阻．为了能较为准确地进行测量和操作方便，实验中选用的滑动变阻器应是________．(填代号)
(2)请在如图10甲所示虚线框中画出该同学的实验电路图．

图10
(3)如图乙为该同学根据实验数据作出的I1－I2图线(I1为电流表G的示数，I2为电流表A的示数)，由该图线可得，被测干电池的电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω.
答案　(1)R1　(2)见解析　(3)1.47(1.46～1.48)　0.75(0.73～0.77)
解析　(1)为了易于调节、准确测量，采用限流接法，滑动变阻器最大阻值选20 Ω的即可，即选择R1.
(2)由于没有电压表，所以需要用电流表改装，电流表G的内阻是确定的，所以用G和定值电阻R3串联，改装成电压表，电流表A内接，如图所示．

(3)因为UR＝I1(R3＋Rg)＝1 000I1(mV)＝1×I1(V)，故可将I1－I2图转化为纵轴同数值的U－I2图象，将图线延长交纵轴于(0,1.47)，则E＝1.47 V，斜率绝对值表示内阻r＝0.75 Ω.
考点二　安阻法测电动势和内阻
基础回扣
1．实验原理
闭合电路的欧姆定律E＝IR＋Ir，电路图如图11所示．

图11
2．实验器材
电池、电流表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．数据处理
(1)计算法：由E＝I1R1＋I1rE＝I2R2＋I2r
解方程组求得E，r.
(2)图象法：由E＝I(R＋r)可得
①1I＝1ER＋rE，可作1I－R图象(如图12甲)
1I－R图象的斜率k＝1E，纵轴截距为rE
②R＝E·1I－r，可作R－1I图象(如图乙)
R－1I图象的斜率k＝E，纵轴截距为－r.

图12
4．误差分析
(1)误差来源：电流表有内阻，导致内阻测量不准确；
(2)结论：E测＝E真，r测＞r真(r测＝r真＋rA)．
例3 　(2018·江苏卷·10)一同学测量某干电池的电动势和内阻．
(1)如图13所示是该同学正准备接入最后一根导线(图中虚线所示)时的实验电路．请指出图中在器材操作上存在的两个不妥之处________________；________________.

图13
(2)实验测得的电阻箱阻值R和电流表示数I，以及计算的1I数据见下表：
R/Ω 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0
I/A 0.15 0.17 0.19 0.22 0.26
1I/A－1
6.7 5.9 5.3 4.5 3.8

根据表中数据，在图14的方格纸上作出R－1I关系图像．

图14
由图像可计算出该干电池的电动势为________V；内阻为________Ω.
(3)为了得到更准确的测量结果，在测出上述数据后，该同学将一只量程为100 mV的电压表并联在电流表的两端．调节电阻箱，当电流表的示数为0.33 A时，电压表的指针位置如图15所示，则该干电池的电动势应为________V，内阻应为________Ω.

图15
答案　(1)开关未断开　电阻箱阻值为零
(2)见解析图　1.34(1.30～1.44都算对)　1.2(1.0～1.4都算对)　(3)1.34[结果与(2)问第一个空格一致]　1.0[结果比(2)问第二个空格小0.2]
解析　(1)在电学实验中，连接电路时应将开关断开，电阻箱的阻值调为最大，确保实验仪器、仪表的安全．
(2)根据闭合电路欧姆定律，得
E＝I(R＋r)
即R＝EI－r＝E·1I－r，
即R－1I图像为直线．
描点连线后图像如图所示．

根据图像可知r＝1.2 Ω.
图像的斜率为电动势E，
在R－1I图像上取两点(2,1.59)、(5,5.61)
则E＝5.61－1.595－2 V＝1.34 V.
(3)根据欧姆定律，得电流表的内阻
rA＝UI＝66×10－30.33Ω＝0.2 Ω，
该干电池的内阻应为r′＝r－rA＝1.0 Ω
R－1I图像的斜率仍为电动势E，即E＝1.34 V.

2．利用如图16(a)所示电路，可以测定电源的电动势和内阻，所用的实验器材有：
待测电源，电阻箱R(最大阻值999.9 Ω)，电阻R0(阻值为3.0 Ω)，电阻R1(阻值为3.0 Ω)，电流表 (量程为200 mA，内阻为RA＝6.0 Ω)，开关S.



图16
实验步骤如下：
①将电阻箱阻值调到最大，闭合开关S；
②多次调节电阻箱，记下电流表的示数I和电阻箱相应的阻值R；
③以1I为纵坐标，R为横坐标，作1I－R图线(用直线拟合)；
④求出直线的斜率k和在纵轴上的截距b.
回答下列问题：
(1)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则1I与R的关系式为________________．
(2)实验得到的部分数据如下表所示，其中电阻R＝3.0 Ω时，电流表的示数如图(b)所示，读出数据，完成下表．答：①________，②________.
R/Ω 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
I/A 0.143 0.125 ① 0.100 0.091 0.084
1I/A－1
6.99 8.00 ② 10.0 11.0 11.9

(3)在图(c)的坐标纸上将所缺数据点补充完整并作图，根据图线求得斜率k＝______ A－1Ω－1，截距b＝________ A－1.
(4)根据图线求得电源电动势E＝________ V，内阻r＝________ Ω.
答案　(1)1I＝3RE＋15＋3rE　(2)0.110　9.09　(3)见解析图　1.0(0.96～1.04均可)　6.0(5.9～6.1均可)　(4)3.0(2.7～3.3均可)　1.0(0.6～1.4均可)
解析　(1)根据闭合电路欧姆定律有E＝(IRAR1＋I)(R＋R0＋r)＋IRA，
代入数据，化简得1I＝RA＋R1ER1R＋1E[RA＋R1R1(R0＋r)＋RA]＝3RE＋15＋3rE.
(2)电流表每小格表示4 mA，因此电流表读数是0.110 A，倒数是9.09 A－1.
(3)根据坐标纸上给出的点，画出一条直线，得出斜率k＝1.0，截距b＝6.0 A－1.

(4)斜率k＝RA＋R1ER1，因此E＝3.0 V，截距b＝1E[RA＋RA＋R1R1(r＋R0)]，因此 r＝bE3－5＝1.0 Ω.
考点三　伏阻法测电动势和内阻
基础回扣
1．实验原理
闭合电路欧姆定律E＝U＋URr，电路图如图17所示．

图17

2．实验器材
电池、电压表、电阻箱、开关、导线、坐标纸和刻度尺．
3．数据处理
(1)计算法：由E＝U1＋U1R1rE＝U2＋U2R2r
解方程组可求得E和r.
(2)图象法：由E＝U＋URr得：1U＝1E＋rE·1R.故1U－1R图象的斜率k＝rE，纵轴截距为1E，如图18.

图18
4．误差分析
(1)误差来源：电压表有内阻，干路电流表达式不准确，导致电动势测量不准确；
(2)结论：E测＜E真，r测＜r真．
例4 　某课题研究小组准备测量一个锂电池的电动势和内阻，在操作台上准备了如下实验器材：
A．待测锂电池(电动势E约为3.7 V，内阻r未知)
B．电压表V1(量程0～3 V，内阻约为几千欧)
C．电流表A(量程0.6 A，内阻RA＝2.0 Ω)
D．电阻箱R1(0～99.9 Ω)
E．滑动变阻器R2(最大阻值为10 Ω)
F．定值电阻R0(阻值约为5 Ω)
G．开关S一个，导线若干
(1)在实验操作过程中，该小组成员设计了如图19甲所示电路．多次改变电阻箱R1的阻值R，读出电压U，根据测得的数据作出1U－1R图象，如图乙所示，则电源电动势E＝________ V.
(2)为了测定锂电池的内阻需测出电阻R0的阻值，小组成员设计了如图丙所示的电路，请在图丁中连接对应的实物图．实验过程中，某次测量电流表示数为0.40 A时，电压表示数如图戊所示，由此可求得R0＝________ Ω；结合图乙可求得电池内阻r＝________ Ω.(以上两空结果均保留两位有效数字)




图19
答案　(1)3.6(3.60)　(2)见解析图　4.8　3.0
解析　(1)根据闭合电路的欧姆定律有E＝UR(r＋R0)＋U，两边同时除以EU，整理可得1U＝r＋R0E·1R＋1E，对照1U－1R图象可知，1E＝518，解得E＝3.6 V.
(2)实物连线如图．由电表读数规则可知电压表读数为U＝2.80 V，所以R0＝UI－RA＝4.8 Ω；由斜率k＝r＋R0E＝136，解得r＝3.0 Ω.


3．(2019·安徽合肥市第二次质检)为了同时测量一电源的电动势E和内阻r，以及未知阻值的电阻Rx，某同学设计了一电路．实验室提供的器材如下：待测电源、待测电阻、电阻箱一个、内阻很大的电压表一只、开关两个、导线若干．

图20
(1)为实现上述目的，请完善图20甲实物图连接；
(2)该同学实验的主要步骤有：
①闭合S1、S2，多次调节电阻箱阻值，并记录其阻值及对应的电压表的示数；
②保持S1闭合，断开S2，多次调节电阻箱阻值，并记录其阻值及对应的电压表的示数；
③根据记录的数据，作出两条1U－1R图线如图乙所示．
由图线可得电动势E＝________，内阻r＝________，Rx＝________.(用图中a、b、c表示)
答案　(1)见解析图乙　(2)③1c　1a　1b－1a
解析　(1)通过开关S2控制电路中的电阻Rx是否接入电路，电路原理图如图甲所示：

故实物连线图如图乙所示：

(2)③闭合S1、S2，有E＝U＋URr，故有1U＝1E＋rE·1R；
保持S1闭合，断开S2，有E＝U＋UR(r＋Rx)，
故有1U＝1E＋r＋RxE·1R；
结合1U－1R图象可知，1E＝c，r＋RxE＝cb，rE＝ca，
解得：E＝1c，r＝1a，Rx＝1b－1a.

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