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专题强化四　动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题
目标要求 　1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问题.
题型一　动态平衡问题
1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态.
2.常用方法
(1)解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化.
(2)图解法
此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况.一般按照以下流程分析：
受力分析―――――――→化“动”为“静”画不同状态下的平衡图――――――→“静”中求“动”确定力的变化
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例求解(构建三角形时可能需要画辅助线).

图解法

例1 　(多选)如图1所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中(　　)

图1
A.斜面对球的支持力逐渐增大
B.斜面对球的支持力逐渐减小
C.挡板对小球的弹力先减小后增大
D.挡板对小球的弹力先增大后减小
答案　BC
解析　对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误.


解析法

例2 　(2020·广东中山市月考)如图2，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为FN1，木板对球的压力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计一切摩擦，在此过程中(　　)

图2
A.FN1先增大后减小，FN2始终减小
B.FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
C.FN1始终减小，FN2始终减小
D.FN1始终减小，FN2始终增大
答案　C
解析　以小球为研究对象，分析受力情况，受重力G、墙面的支持力FN1和木板的支持力FN2.

根据平衡条件得FN1＝Gtan θ，FN2＝Gsin θ，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，θ增大，tan θ增大，sin θ增大，则FN1和FN2都始终减小，选项C正确.


相似三角形法

例3 　(2020·山西大同市开学考试)如图3所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°.此过程中，轻杆BC所受的力(　　)

图3
A.逐渐减小 B.逐渐增大
C.大小不变 D.先减小后增大
答案　C
解析　以结点B为研究对象，分析受力情况，如图所示，根据平衡条件可知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反.根据相似三角形得F合FN＝ACBC，且F合＝G，则有FN＝BCACG，现使∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，即FN不变，则轻杆BC所受的力大小不变，C正确，A、B、D错误.


1.(单个物体的动态平衡问题)(多选)(2020·广东惠州一中质检)如图4所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态.设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是(　　)

图4
A.F1减小 B.F1增大
C.F2增大 D.F2减小
答案　AD
解析　法一：解析法
以球B为研究对象，受力分析如图甲所示，可得出F1＝Gtan θ，F2＝Gcos θ，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，故A、D正确.

法二：图解法
先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在θ角减小的过程中，从图中可直观地看出，F1、F2都减小，故A、D正确.
2.(多个物体的动态平衡问题)(多选)(2019·全国卷Ⅰ·19)如图5所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮.一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态.现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则在此过程中(　　)

图5
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
答案　BD
解析　对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力FT是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg
题型二　平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.
例4 　(2020·广东茂名市测试)如图6所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b均处于静止状态，且Oa细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，Oa细线对小球a的拉力大小为(　　)

图6
A.2.4mg B.3mg
C.3.2mg D.4mg
答案　C
解析　以两个小球组成的整体为研究对象，作出F在三个方向时整体的受力图.根据平衡条件得知F与FT的合力与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可以知道当F与绳子Oa垂直时F有最小值，即图中2位置，此时Oa细线对小球a的拉力大小为FT＝4mgcos 37°＝3.2mg，故C正确，A、B、D错误.

例5 　如图7所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：

图7
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小.
答案　(1)33　(2)60°
解析　(1)如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝33
　　
(2)设斜面倾角为α，受力情况如图乙所示，由平衡条件得：
Fcos α＝mgsin α＋Ff′
FN′＝mgcos α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
解得F＝mgsin α＋μmgcos αcos α－μsin α
当cos α－μsin α＝0，即tan α＝3时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°.
课时精练

1.(2020·河南驻马店市第一学期期终)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图1所示.设绳OA段拉力的大小为FT，若保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中(　　)

图1
A.F先变大后变小，FT逐渐变小
B.F先变大后变小，FT逐渐变大
C.F先变小后变大，FT逐渐变小
D.F先变小后变大，FT逐渐变大
答案　C
解析　对结点O受力分析如图所示，当保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中，由图可知F先减小后增大，FT一直减小，故选C.

2.(多选)如图2所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2＞k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.则下列关于FT1与FT2、F1与F2大小的比较，正确的是(　　)

图2
A.FT1＞FT2 B.FT1＝FT2
C.F1＜F2 D.F1＝F2
答案　BC
解析　以B为研究对象，分析受力情况，如图所示.由平衡条件可知，弹簧的弹力F和细绳的拉力FT的合力F合与其重力mg大小相等、方向相反，即F合＝mg，由三角形相似得mgOA＝FAB＝FTOB.当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB的长度增加，而OB、OA的长度不变，故FT1＝FT2，F2>F1，故A、D错误，B、C正确.

3.(多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图3，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

图3
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案　BD
解析　由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变.滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示.由平衡条件得：FTcos β＋Ff＝
Fcos α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确.

4.(2020·安徽黄山市高三期末)如图4所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环.现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是(　　)

图4
A.F1和F2都变大
B.F1变大，F2变小
C.F1和F2都变小
D.F1变小，F2变大
答案　C
解析　由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等.木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力等于重力，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误.
5.(2020·广东高三模拟)如图5所示，竖直墙上连有细绳AB，轻弹簧的一端与B相连，另一端固定在墙上的C点.细绳BD与弹簧拴接在B点，现给BD一水平向左的拉力F，使弹簧处于伸长状态，且AB、CB与墙的夹角均为45°.若保持B点不动，将BD绳绕B点沿顺时针方向缓慢转动，则在转动过程中BD绳的拉力F的变化情况是(　　)

图5
A.变小 B.变大
C.先变小后变大 D.先变大后变小
答案　A
解析　要保持B点的位置不变，BD绳顺时针转动的角度最大为45°，由于B点的位置不变，因此弹簧的弹力不变，由图解可知，AB绳的拉力减小，BD绳的拉力也减小，故A正确，B、C、D错误.

6.(2020·河南信阳市高三上学期期末)如图6所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体O放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g.在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是(　　)

图6
A.平板AP受到的压力先减小后增大
B.平板AP受到的压力先增大后减小
C.平板BP受到的最小压力为0.6mg
D.平板BP受到的最大压力为43mg
答案　D
解析　圆柱体受重力、斜面AP的弹力F1和挡板BP的弹力F2，将F1与F2合成为F＝mg，如图

圆柱体一直处于平衡状态，故F1和F2的合力F一定与重力等值、反向、共线.从图中可以看出，当挡板PB由水平位置缓慢地转向竖直位置的过程中，F1越来越大，F2先变小后变大，选项A、B错误；由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值：F2min＝mgsin 53°＝0.8mg，选项C错误；当挡板BP竖直时，F2最大，为：F2max＝mg·tan 53°＝43mg，选项D正确.
7.(2020·黑龙江哈尔滨市三中高三模拟)如图7所示，斜面固定，平行于斜面处于压缩状态的轻弹簧一端连接物块A，另一端固定，最初A静止.在A上施加与斜面成30°角的恒力F，A仍静止，下列说法正确的是(　　)

图7
A.A对斜面的压力一定变小
B.A对斜面的压力可能不变
C.A对斜面的摩擦力一定变大
D.A对斜面的摩擦力可能变为零
答案　D
解析　设斜面倾角为θ，对物块进行受力分析，垂直于斜面方向，最初支持力等于mgcos θ，施加恒力F后，支持力等于mgcos θ＋Fsin 30°，支持力一定增大.根据牛顿第三定律，A对斜面的压力一定变大，故A、B错误；平行于斜面处于压缩状态的轻弹簧，最初摩擦力方向可能向上，可能向下，也可能为0，施加恒力F后，F沿斜面向上的分力为Fcos 30°，由于F大小未知，摩擦力可能仍向上，可能等于0，也可能沿斜面向下，摩擦力的大小可能增大，也可能减小，故C错误，D正确.

8.(多选)如图8所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜劈的斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的定滑轮1固定在c点，滑轮2下悬挂物体b，系统处于静止状态.若将固定点c向右移动少许，而物体a与斜劈始终静止，则(　　)

图8
A.细线对物体a的拉力增大
B.斜劈对地面的压力减小
C.斜劈对物体a的摩擦力减小
D.地面对斜劈的摩擦力增大
答案　AD
解析　对滑轮2和物体b受力分析，受重力和两个拉力作用，如图甲所示.根据平衡条件有mbg＝2FTcos θ，解得FT＝mbg2cos θ，若将固定点c向右移动少许，则θ增大，拉力FT增大，A项正确；对斜劈、物体a、物体b整体受力分析，受重力、细线的拉力、地面的静摩擦力和支持力作用，如图乙所示，根据平衡条件有FN＝G总－FTcos θ＝G总－mbg2，恒定不变，根据牛顿第三定律可知，斜劈对地面的压力不变，B项错误；地面对斜劈的静摩擦力Ff＝FTsin θ＝mbg2tan θ，随着θ的增大，摩擦力增大，D项正确；对物体a受力分析，受重力、支持力、拉力和静摩擦力作用，由于不知道拉力与重力沿斜面向下的分力的大小关系，故无法判断斜劈对物体a的静摩擦力的方向，即不能判断静摩擦力的变化情况，C项错误.

9.(多选)(2019·河北唐山一中综合测试)如图9所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行.现给小滑块施加一竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有(　　)

图9
A.轻绳对小球的拉力逐渐增大
B.小球对斜劈的压力先减小后增大
C.竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小
D.对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大
答案　AD
解析　对小球受力分析，受重力、支持力和轻绳的拉力，如图甲所示：

根据平衡条件，轻绳的拉力FT增大，支持力FN减小，根据牛顿第三定律，球对斜劈的压力也减小，A正确，B错误；对球和滑块整体分析，受重力、斜劈的支持力FN、杆的支持力FN′和拉力F，如图乙所示，根据平衡条件，有：水平方向FN′＝FNsin θ，竖直方向：F＋FNcos θ＝G，由于FN减小，故FN′减小，F增大，C错误，D正确.
10.(多选)如图10所示装置，两根细绳拴住一小球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力F1、CB绳的拉力F2的大小变化情况是(　　)

图10
A.F1先变小后变大 B.F1先变大后变小
C.F2一直变小 D.F2最终变为零
答案　BCD
解析　如图所示，画出小球的受力分析图，构建力的矢量三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力间的夹角(180°－θ)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，作初始三角形的外接圆(任意两边的中垂线交点即外接圆圆心)，然后让另两个力的交点在圆周上按F1、F2的方向变化规律滑动，力的矢量三角形的外接圆正好是以初态时的F2为直径的圆周，知F1先变大后变小，F2一直变小，最终CA沿竖直方向，此时F1＝mg，F2变为零，故选B、C、D.

11.倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.现给A施加一水平力F，如图11所示.设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是(　　)

图11
A.3 B.2
C.1 D.0.5
答案　A
解析　设物体刚好不下滑时F＝F1，则F1cos θ＋μFN＝Gsin θ，FN＝F1sin θ＋Gcos θ，得F1G＝sin θ－μcos θcos θ＋μsin θ＝211；设物体刚好不上滑时F＝F2，则F2cos θ＝μFN＋Gsin θ，FN＝F2sin θ＋Gcos θ，得F2G＝sin θ＋μcos θcos θ－μsin θ＝2，即211≤FG≤2，故F与G的比值不可能为3，故选A.
12.(2020·山西“六校”高三联考)跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，与A相连的轻绳和斜面平行，如图12所示.已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ
图12
答案　m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcos θ)
解析　先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力FT′的作用，根据平衡条件有FT′＝mBg，再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面的支持力FN、轻绳的拉力FT(FT＝FT′)和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受到的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图所示.根据平衡条件有FN－mgcos θ＝0，FT＝Ffm＋mgsin θ＝mBg，又知Ffm＝μFN，解得mB＝m(sin θ＋μcos θ)，再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受到的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有FN－mgcos θ＝0，FT＋Ffm－mgsin θ＝0，又知Ffm＝μFN，解得mB＝m(sin θ－μcos θ)，综上所述，物体B的质量的取值范围是m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcos θ).