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课时跟踪检测(二十九)　带电粒子在磁场中的运动

1．(多选)用洛伦兹力演示仪可以观察电子在磁场中的运动径迹。图甲是洛伦兹力演示仪的实物图，图乙是结构示意图。励磁线圈通电后可以产生垂直纸面的匀强磁场，励磁线圈中的电流越大，产生的磁场越强。图乙中电子经电子枪中的加速电场加速后水平向左垂直磁感线方向射入磁场。下列关于实验现象和分析正确的是(　　)

A．要使电子形成如图乙中的运动径迹，励磁线圈应通以顺时针方向的电流
B．仅升高电子枪加速电场的电压，运动径迹的半径变大
C．仅增大励磁线圈中的电流，运动径迹的半径变大
D．仅升高电子枪加速电场的电压，电子做匀速圆周运动的周期将变大
解析：选AB　励磁线圈通以顺时针方向的电流，根据右手螺旋定则可得，产生的磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则可知，电子受到的洛伦兹力正好指向运动径迹圆心，故A正确；根据公式r＝mvBq 可知，当升高电子枪加速电场的电压时，电子的速度增大，所以运动半径增大，B正确；若仅增大励磁线圈中的电流，则磁感应强度增大，根据公式r＝mvBq 可知运动半径减小，C错误；根据公式T＝2πmBq 可知，电子做匀速圆周运动的周期和速度大小无关，D错误。
2.(多选)(2020·福建泉州市模拟)如图所示，粗糙木板MN竖直固定在方向垂直纸面向里的匀强磁场中。t＝0时，一个质量为m、电荷量为q的带正电物块沿MN以某一初速度竖直向下滑动，则物块运动的v­t图象可能是(　　)

解析：选ACD　设初速度为v0，则FN＝Bqv0，若满足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μBqv0，物块向下做匀速直线运动，选项A正确；若mg>μBqv0，则物块开始有向下的加速度，由a＝mg－μBqvm 可知，随速度增加，加速度减小，即物块先做加速度减小的加速运动，最后达到匀速状态，选项D正确；若mg<μBqv0，则物块开始有向上的加速度，做减速直线运动，由a＝μBqv－mgm 可知，随速度减小，加速度减小，即物块先做加速度减小的减速运动，最后达到匀速状态，选项C正确。
3．(多选)如图所示，在直角坐标系xOy中x＞0空间内充满方向垂直纸面向里的匀强磁场(其他区域无磁场)，在y轴上有到原点O的距离均为L的C、D两点。带电粒子P(不计重力)从C点以速率v沿x轴正向射入磁场，并恰好从O点射出磁场；与粒子P相同的粒子Q从C点以速率4v沿纸面射入磁场，并恰好从D点射出磁场，则(　　)
A．粒子P带正电
B．粒子P在磁场中运动的时间为πL2v
C．粒子Q在磁场中运动的时间可能为3πL4v
D．粒子Q在磁场中运动的路程可能为2πL3
解析：选ABD　粒子P从C点沿x轴正向进入磁场，受洛伦兹力而向上偏转过O点，由左手定则知带正电，故A正确；据题意可知P粒子在磁场中做半个圆周运动，则半径为R1＝L2 ，运动时间为t1＝πR1v ＝πL2v ，故B正确；Q粒子与P粒子的比荷相同，而速度为4v，由R＝mvqB

可知R2＝4R1＝2L，而CD距离为2L，故Q粒子不可能沿x轴正向进入磁场。设与y轴的夹角为θ，分別有两种情况从C点进过D出，轨迹如图所示：
由几何关系可知θ＝30°，两种轨迹的圆心角为60°和300°，则粒子Q的运动时间t2＝π3·2L4v ＝πL6v 或t2＝5π3·2L4v ＝5πL6v ，而圆周的弧长为s＝π3 ·2L＝2πL3 或s＝5π3 ·2L＝10πL3 ，故C错误，D正确。
4.如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)
A.πkB 　　　　　　　　　　 B．π2kB
C．π3kB D．π4kB
解析：选C　粒子在磁场中运动的半径为R＝mvqB ＝2kBrBk ＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2r，故t＝T6 ＝πm3qB ＝π3kB ，故选项C正确。
5.如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向里，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，粒子重力不计。则粒子以下列哪一速度值发射时不能通过C点(　　)
A．qBLm B．qBL2m
C．2qBL3m D．qBL8m
解析：选C　粒子带正电，临界状态是经过C点，其可能的轨迹如图所示：

所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运动半径：r＝Ln (n＝1，2，3，…)，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝mv2r ，解得v＝Bqrm ＝BqLmn (n＝1，2，3，…)，故选C。
6.如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb。当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则(　　)
A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
解析：选A　如图所示，设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度大小为vb时，其圆心在a点，轨道半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝23 π；当带电粒子的速度大小为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨道半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝π3 ；根据qvB＝mv2r 得v＝qBrm ，故vbvc ＝r1r2 ＝12 。由T＝2πrv 得T＝2πmqB ，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t＝θ2π T，所以tbtc ＝θ1θ2 ＝21 。故选项A正确，选项B、C、D错误。
7．(2020·大庆模拟)如图所示，MN为两个匀强磁场的分界面，两磁场的磁感应强度大小关系为B1＝2B2，一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从O点垂直MN进入B1磁场，则经过多长时间它将向下再一次通过O点(　　)
A．2πmqB1 　　　　　　　　　 B．2πmqB2
C．2πmq（B1＋B2） D．πmq（B1＋B2）
解析：选B　粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由周期公式T＝2πmqB 知，粒子从O点进入磁场到再一次通过O点的时间t＝2πmqB1 ＋πmqB2 ＝2πmqB2 ，所以选项B正确。
8.如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为(　　)
A．qBLm B．2qBLm
C．（2－1）qBLm D．（2＋1）qBLm
解析：选C　粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定过圆心，由于粒子能经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系可知，2 r＋r＝L，则r＝(2 －1)L，根据牛顿第二定律得qv0B＝mv02r ，解得v0＝（2－1）qBLm ，C项正确。

9.(多选)如图所示，直角三角形ABC内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于△ABC平面向里的匀强磁场，O点为AB边的中点，θ＝30°。一对正、负电子(不计重力)自O点沿ABC平面垂直AB边射入磁场，结果均从AB边射出磁场且均恰好不从两直角边射出磁场。下列说法正确的是(　　)
A．正电子从AB边的O、B两点间射出磁场
B．正、负电子在磁场中运动的时间相等
C．正电子在磁场中运动的轨道半径较大
D．正、负电子在磁场中运动的速率之比为(3＋23 )∶9
解析：选ABD　根据左手定则可知，正电子从AB边的O、B两点间射出磁场，故A正确；由题意可知，正、负电子在磁场中运动的圆心角为180°，根据t＝180°360° ×2πmqB 可知正、负电子在磁场中运动的时间相等，故B正确；正、负电子在磁场中做匀速圆周运动，对正电子，根据几何关系可得3r1＝12 lAB，解得正电子在磁场中运动的轨道半径r1＝16 lAB；对负电子，根据几何关系可得r2＋r2cos 30° ＝12 lAB，解得负电子在磁场中运动的轨道半径r2＝23－32 lAB，故C错误；根据qvB＝mv2r 可知v＝qBrm ，正、负电子在磁场中运动的速率之比为v1v2 ＝r1r2 ＝16 ×223－3 ＝3＋239 ，故D正确。
10．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab 为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)

A．7πm6qB B．5πm4qB
C．4πm3qB D．3πm2qB
解析：选C　带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r ，解得r＝mvqB ，运动时间t＝θrv ＝θmqB ，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0.5R(R为ab 的半径)和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R
11.(2020·东北三省三校第二次联合模拟)如图所示，在矩形区域abcO内存在一个垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，Oa边长为3 L，ab边长为L。现从O点沿着Ob方向垂直磁场射入各种速率的带正电粒子，已知粒子的质量为m、带电荷量为q(粒子所受重力及粒子间相互作用忽略不计)，求：
(1)垂直ab边射出磁场的粒子的速率v；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间tm。
解析：(1)粒子垂直ab边射出磁场时的运动轨迹如图线1。
设粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R，运动轨迹圆心角为θ，由几何关系可知：tan θ＝L3L ＝33 ，
则θ＝π6 ，sin θ＝SOaSOO1 ＝3LR ，
故R＝23 L。
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2R
解得v＝23qBLm 。
(2)由粒子做匀速圆周运动可知T＝2πRv ＝2πmBq
因此粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期不变，和速度无关，由几何关系可知最大圆心角α＝2θ＝π3
可知粒子在磁场中运动的最长时间
tm＝α2π T＝πm3Bq 。
答案：(1)23qBLm 　(2)πm3qB
12.(2020·河南郑州市模拟)如图所示，三块挡板围成横截面边长L＝1.2 m的等边三角形区域，C、P、Q分别是MN、AM和AN中点处的小孔，三个小孔处于同一竖直面内，MN水平，MN上方是竖直向下的匀强电场，场强E＝4×10－4 N/C。三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B1；AMN以外区域有垂直纸面向外、 磁感应强度大小为B2＝3B1的匀强磁场。现将一比荷qm ＝108 C/kg的带正电的粒子，从O点由静止释放，粒子从MN小孔C进入内部匀强磁场，经内部磁场偏转后直接垂直AN经过Q点进入外部磁场。已知粒子最终回到了O点，OC相距2 m。设粒子与挡板碰撞过程中没有动能损失，且电荷量不变，不计粒子重力，不计挡板厚度，取π＝3。求：
(1)磁感应强度B1的大小；
(2)粒子从O点出发，到再次回到O点经历的时间。
解析：(1) 粒子在电场中加速，则由动能定理得Eqx＝12 mv2，解得v＝400 m/s。
设粒子进入三角形区域匀强磁场做匀速圆周运动半径为R1，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。

由几何关系可知R1＝L2 ＝0.6 m
由qvB1＝mv2R1
代入数据得B1＝23 ×10－5 T。
(2)设带电粒子进入外部磁场做匀速圆周运动半径为R2，
由题可知B2＝3B1＝2×10－5 T
又qvB2＝mv2R2
则R2＝R13 ＝0.2 m
粒子在由O→C过程中做匀加速直线运动，由x＝12 vt1
得到t1＝0.01 s
粒子在磁场B1中的周期为T1＝2πmqB1 ＝9×10－3 s
则在磁场B1中的运动时间为t2＝13 T1＝3×10－3 s
在磁场B2中的周期为T2＝2πmqB2 ＝3×10－3 s
在磁场B2中的运动时间为t3＝180°＋300°＋180°360° T2＝5.5×10－3 s。
则粒子在复合场中运动的总时间为：t＝2t1＋t2＋t3＝2.85×10－2 s。
答案：(1)23 ×10－5 T　(2)2.85×10－2 s

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