原创 周强 周明东 等 物理与工程
摘 要
在当前所使用的物理学方面的教材里头，针对真空中光的多普勒效应仅仅给出了一个用于计算的公式，实际上是存在另外一个的。在这篇文章当中，分别依据光的量子性以及波动性推导出这两个公式，并且对它们的一致性展开分析，最终进行计算方面的对比分析。这里面会用到光的频率变换这样一个概念，它的变换式子是能够通过光子四维动量的洛仑兹变换给推导出来的。光的多普勒效应从本质上来说是光的频率变换的一种特殊情形，和频率变换存在正、反两个变换是一样的道理，它也具有两个计算公式。各自运用这两个公式去计算多普勒效应，繁杂简单的程度不一样但结果却是相同的。
关键词 四维动量的洛仑兹变换；频率变换；多普勒效应
对于真空中光的多普勒效应，在现行的物理学教材里，仅仅给出了一个计算公式，然而实际上还存在另外一个。在本文当中，运用了光的频率变换的概念，并且依据其变换式，对光的多普勒效应的两个公式以及它们之间的一致性展开分析。
1 量子性分析
如同图 1 所示那般，惯性系 K、K′ 之间的相对运动速度是 v ，若在 K、K′ 系当中观察者测到光的频率分别为 ν、ν′ ，观察到同一条光线的传播方向跟 x、x′ 轴的夹角分别为 θ、θ′ ，那么光子能量 E具有 hν 这样的值、E′ 具有 hν′ 这样的值，光子动量分量 px 等于 -hνcosθ/c 、p′x 等于 -hν′cosθ′/c。由四维动量的洛仑兹变换式 E 等于 γ(E′+vp′x) 、E′ 等于 γ(E-vpx) 从而得到。
上述两式称为光的频率变换式。
比较上述两式还可得
此即为关于光的传播方向的角度变换式（光行差公式）。
若光源 S 相对于 K 系运动，那么 ν 会随着光源的这种运动而产生变化，若光源 S 相对于 K′ 系运动，那么 ν′ 也会随着光源的这种运动而发生变化。若把光源 S 当作 K 系，将接收器 D 当作 K′ 系高中物理视深公式推导，那么 ν 等同于光源所发出的发光频率高中物理视深公式推导，ν′ 等同于接收器所接收到的接收频率，分别把式（1）、式（2）进行改写为。
此即为光的多普勒效应的两个计算公式。
经过上述分析能够看出：光的多普勒效应，属于光的频率变换的特殊例子，如同频率变换存在正、逆两个变换式子那般，它也具备两个计算式，并且从式（3）能够看出，这两个计算式，尽管形式不一样，实际上却是相等的。
2 波动性分析
由光源 S 发出光振动，在其本征时间 dtS 内发出 νdtS 次，而接收器 D，在其本征时间 dt′D 内接收 ν′dt′D 次光振动，要是光源发出的光脉冲全部被接收器接收，那么就会有。
首先，以光源 S 作为 K 系，就如同图 4 所呈现的那样。接着讲来，设发光的起始时刻是 tS，而发光的末尾时刻是 tS 加上 dtS，在整个这个过程当中，S 始终保持着静止状态；然后呢，接收的起始时刻为 t，接收的末尾时刻是 t 加上 dt，在时间 dt 这段期间，接收器移动了一段距离 vdt，其位置先是在 D 点，之后到达了 D′点。那么，当 S 在 tS 这个时刻发出的光传播到 D 这个位置的时候，接收时刻便是。
S发出光，在tS+dtS这个时刻发出的光，光传播到D′处，此时接收时刻是。
两式相减得
整理得
另外根据时间膨胀效应物业经理人，有 dt=γdt′D，代入上式得
代入式（5）即得式（4.2）。
以接收器 D 作为 K′ 系 ，图情况如 5所示。设那发光的起始时刻为 t′ 、末尾时刻是 t′加上 dt′ ，在时间 dt′ 这段期间光源移动了一段距离是 vdt′ ，其位置从 S 变到 S′ ；接收的起始时刻为 t′D 、末尾时刻为 t′D加上 dt′D ，在这个过程里 D 一直保持静止。那么光源在 t′ 这个时刻发出的光从 S 传播抵达 D 时 ，接收时刻为。
在光源于 t′+dt′这个时刻发出光之后，光从 S′开始传播，一直到其传播抵达 D 之时，此时的接收时刻是。
两式相减得
另外根据时间膨胀效应，有 dt′=γdtS，代入上式得
代入式（5）即得式（4.1）。
3 计算对比分析
对于纵向多普勒效应，依据式（3）能够得到，当θ′等于0、π的时候，θ等于0、π，分别将其代入式（4.1）、式（4.2），都能够得出。
对横向多普勒效应，将
把式子代入式（3），得到 cosθ=-β ，把这个结果代入式（4.2），或者直接把 ，有标点符号的句子。
代入式（4.1），均可得出
一般情形下，当β等于二分之一、θ′等于三分之π时，代入式子（3）会得到θ等于二分之π，把这个结果代入式子（4.2）当中，或者直接把θ′等于三分之π代入式子（4.1），都能够得出。
由上述计算分析能够看出，计算纵向多普勒效应时，采用式（4.1）或者式（4.2）不存在差异，计算其他情形（涵盖横向）的多普勒效应时，采用式（4.1）相较于采用式（4.2）更为简便。从总体方面来看，鉴于用接收器测出来的角度是θ′，所以用式（4.1）的形式更为直接，因而现行物理学教材里仅有该式。
4 结语
光的频率会发生变换，这属于光子相对论效应的一种表现形式，其变换式能够通过光子四维动量的洛仑兹变换来推导得出，这里所说的洛仑兹变换是指任一变换式。
光的多普勒效应，其本质其实是在于光的频率变换方面呈现出的一种特例，就是因为存在这一特殊性，所以这才会有两个计算公式。而针对于计算光的多普勒效应这个情况，运用式（4.1）的形式会显得更为直接，并且也更加简便。