在2025年的时候，有个高中物理知识竞赛，其中出现了模型，还有建模在物理当中的应用测试，这一项是第三项。它有前沿物理模型的拓展，还有深化。其中的粒子物理，会涉及标准模型的守恒律应用。在2025年那次物理竞赛的模型构建里，粒子物理这块的守恒律应用，已经从基础概念朝着深度分析去延伸了。就好比，在重子数与轻子数守恒的考查时，需要建立正负电子对撞产生介子的反应模型，再通过量子数分析，来判断反应的可行性。具体模型构建所要包含的步骤如下：首先，要辨明反应初态粒子的重子数，其均为0 ，还要知道轻子数，电子是 +1 ，正电子是 -1 ，二者总和为0 ；接着，依据末态粒子的量子数组合，像π⁰介子重子数0 、轻子数0这样，去验证守恒性。这类模型常常会结合相对论性能量动量关系，要求借助四维动量不变量来计算反应阈值能量，也就是运用公式(E^2 - p^2c^2 = m_0^2c^4)推导出总能量与静质量的关系，以此展现从粒子物理现象再到数学方程的完整建模过程 。凝聚态物理里，能带理论的初步模型，已跨越了传统晶格振动的范围，引入了能带理论经简化后的模型。有典型问题，像二维方格子的电子能带结构，要构建紧束缚近似模型，把晶体中电子的波函数，表达成原子轨道波函数的线性组合，通过求解久期方程得出能量本征值与波矢的关系。参加竞赛时，常常会被要求去计算特定方向，像沿着k_x轴那般的能带色散关系，借助近邻近似来对哈密顿矩阵予以简化，进而得出(E(k_x)=E_0-2tcos(k_xa))，这里面t是跃迁积分，a是晶格常数的情况。这类模型是需要结合周期性边界条件的，要去分析布里渊区边界的能隙形成机制，以此来体现从晶体结构到量子态密度的建模逻辑。（三）天体物理当中的黑洞热力学模型，黑洞热力学模型于竞赛里呈现为史瓦西黑洞的熵与温度计算。依照霍金辐射理论来讲，黑洞的温度，也就是（T 等于(hbar c^3)除以 8），它和质量 M 呈现出反比的关系，而熵（S 等于(A k_B c^3)除以 4G(hbar)），与视界面积（A 等于 4π乘以((2GM/c^2)^2)）是成正比的关系。实际进行建模时，需要处理两个关键的环节，其一呢，是要借助维度分析去验证温度公式的合理性，进而确定各个物理常数，也就是 h bar、c、G、k 下标 B 的指数组合；其二是要结合热力学第一定律 dU 等于 TdS 来推导黑洞质量随着辐射的变化率，从而建立起微分方程 dM 比 dt 等于负的 CM 的负二次方，（这里的 C 是常数）高中物理典型物理模型，再通过分离变量积分得出质量衰减的时间演化规律，即 M 关于 t 的三次方等于 M 下标 0 的三次方减去 3Ct 。是此类模型将天体物理现象跟热力学定律以及微分方程求解深度予以结合，进而展现宏观与量子效应的交叉建模能力。二、建模能力的核心要素跟考查维度，（一）问题抽象与模型简化能力留学之路，从复杂物理情境中将获取关键要素的能力当做建模核心。依据2025年复赛里头的“磁光陷阱与原子探测”这道题目为例，实际存在的物理系统涵盖着激光场、磁场、原子的多体相互作用，然而在建模的时候需要简化成以下这些关键假设：把原子看作是两能级系统（也就是基态(^1S_0)以及激发态(^1P_1)），将激光场视作沿着三轴往相反方向传播的圆偏振光，把磁场简化为四极场（梯度(/)是常数）。构建原子所受辐射压力与磁场梯度力的平衡方程，是通过忽略原子反冲、光场退相干等次要因素来达成的。这一平衡方程具体为，辐射压力的表达式为(F_{text{辐射}}=hbarkGamma/2cdotI/I_s/(1+I/I_s+(2delta/Gamma)^2)) ，磁场梯度力的表达式为(F_{text{磁场}}=\/) ，其中(delta=-)为失谐量，(Gamma)为自发辐射率 。这种模型简化进程，要求考生拥有清晰的主次因素判别能力，展现科学建模的本质思维。（二）跨领域知识迁移用以构建模型，针对多学科交叉问题的建模能力，着重对知识迁移展开考查。像“约瑟夫森结与超导量子计算”这道题，需要把超导物理跟电路理论相融合：把约瑟夫森结视作非线性电感元件，其电流与电压的关系符合：(I=I_csinphi)（(phi)为相位差）以及(dphi/dt=2eV/hbar)，并与外电路里的电阻R、电容C构成RLC振荡模型。1. 完整建模步骤包含，建立等效电路方程，此方程为V=IR+LdI/dt+V_J 。 2. 接着代入约瑟夫森关系从而得到微分方程，该微分方程是d^2phi/dt^2+(1/RC)dphi/dt+(2eI_c/hbarC)sinphi=2eV_0/ 。 3. 然后在直流偏压的情形下分析相位锁定现象，借助于小信号近似把非线性方程加以线性化，进而求解台阶的电流量子化条件 。 4. 此类问题有着这样的要求，要把量子物理概念转化成电路模型，以此展现出跨学科知识的整合能力 。三、数学工具于建模里的深度运用（一）微扰论去处理非简谐振动，微扰论已然变成处理复杂系统的标准工具，以弱非线性振子当作例子，哈密顿量（H等于p平方除以(2m)加上(1/2)乘m平方乘x平方加上x四次方）（x远小于1担任小参数），需要借助定态微扰论来计算基态能量修正。其建模步骤如下，首先，写出零级波函数，此波函数为(psi_0^{(0)}(x)=(alpha/sqrt{pi})^{1/2}e^{-alpha^2x^2/2})，其中(alpha=sqrt{m/hbar}) ；接着，计算一级能量修正，即(E_0^{(1)}=|^4|0) ，借助积分公式(^4=3/(4alpha^4)) 得出(E_0^{(1)}=3\hbar^2/(4m^2^2)) ；最后，二级修正要考虑中间态求和，借助玻色产生湮灭算符来表示(x^4) ，运用对易关系化简矩阵元 。这种模型需要把控微扰论适用条件的判断，掌握修正项计算的数学技巧，展现出数学工具于物理问题方面那精确无比的描述能力。（二）各类特殊函数包括贝塞尔函数等，在电磁学里的应用，已归入竞赛建模范畴了 。像关于圆柱形电容器的电场分布方面的问题，当内筒呈现螺旋形电荷分布的状况时，电势是符合拉普拉斯方程的（也就是nabla^2Phi=0 ），在柱坐标系里通过分离变量得出径向方程（即 r^2R''+rR'+(k^2r^2-n^2)R=0 ），这个方程的解是贝塞尔函数（也就是 R(r)=J_n(kr)+Y_n(kr) ）。在结合边界条件时，也就是r等于a的地方（此时电势等于V_0乘以cos(n乘以phi)）高中物理典型物理模型，以及r等于b的地方（此时电势等于0），来确定系数，进而得到电势分布（电势分布为(sum_n)），。
(kr)+(kr)
对于(cos(nphi)))，此类问题需要去理解特殊函数所具备的物理意义，要凭借边界条件来确定本征值，进而展露出数学建模所拥有的严谨性。（三）数值估算以及量纲分析技巧，量纲分析作为一种快速建模工具，在复杂问题当中有着重要的应用。比如说估算太阳中微子的穿透深度，需要借助量纲分析来构建表达式：对穿透深度d产生影响的物理量涵盖了中微子能量E、电子数密度n、弱相互作用截面((sigma^2E^2))（其中((G_F))代表费米常数）。经过凭借量纲式(d^{-1}sigma^{-1})，将(sigmasim(10^{-5}GeV^{-2})E^2)代入其中，n取值为10³⁰m⁻³，E为1MeV，进而得出d约为10¹⁸m，此数值远远大于太阳半径（7×10⁸m），借此判定中微子几乎没有阻碍地穿透太阳。这般的量纲分析与数值估算相结合的办法，是用以解决复杂物理问题的高效建模路径。其四、针对典型案例展开的建模整个过程进行分析，其一为案例一：涉及真空激光加速与辐射阻尼模型，问题情境是，电子于超强激光场里加速，要考虑辐射阻尼效应，进而计算电子能量随着时间的变化情况。模型构建方面，物理抽象为，激光场被简化成沿着z轴传播的平面波（{E}=E_0sin(kz - )hat{x}），电子的初始速度是(v_0llc) ，辐射阻尼力运用经典公式（{F}_{text{rad}}=(2e^2/3c^3)dot{{a}}） 。运动方程，是依据牛顿第二定律，也就是(d{p}/dt=e{E}+{F}_{text{rad}})，处于非相对论近似的状况下，这里的非相对论近似是({p}\{v})，此时的加速度要满足({a}=e{E}/m+(2e^2/(3mc^3))ddot{{a}}) 。近似进行这样的处理：即在弱阻尼条件之下，将阻尼力的二阶导数项予以忽略，进而得到这样的式子，((ddot{x}-taudddot{x}=(eE_0/m)sin(kz-))，这里的(tau=2e^2/(3mc^3))就是所谓的特征时间 。求解答以及展开讨论：借助傅里叶变换把微分方程转变为代数方程，进而解得振幅，此振幅为(A(omega)等于eE_0除以m再除以(omega^2加上i乘以omega^3乘以tau))，接着对辐射阻尼致使的振幅衰减以及相位移动予以分析，等到(omegatau远小于1的时候又回到了无阻尼的结果，当(omegatau近似等于1的时候则需要考虑相对论修正。（二）案例二：量子霍尔效应和接触电阻模型问题情境：测量量子霍尔效应之际，针对样品接触电阻对测量结果的影响展开分析。模型构建方面，电路模型是这样的，把霍尔样品视作为四端网络，电流端接触电阻，也就是R_c，它与样品本体电阻，即R_H，也就是霍尔电阻，二者是串联的，而电压测量端存在着寄生电阻，也就是R_p。至于误差分析，实际测量电阻是等于R_H加上2倍的R_c再加上R_p，当R_H等于h除以ne的平方，这里n为整数时，需要通过测量不同电流下的曲线，借助线性拟合外推得出R_H，也就是截距，以及接触电阻，也就是斜率相关项。量子修正，当考虑边缘态输运之际，接触电阻模型要修正为和费米能级有关联的量子电阻，借助公式（R_c=h/(2e^2)·1/T(1-T)），其中T为透射系数，来剖析理想接触（T=1）时，R_c贴近于0的这个极限情形。（三）案例三：自聚焦光纤的几何光学模型，问题情境：针对折射率随着径向距离产生变化的光纤，对其中光线传播轨迹展开分析，(n(r)=n_0sqrt{1-2Delta(r/a)^2})（(Deltall1)，a是纤芯半径）。模型构建：光线方程：在柱坐标系的情形下，光线轨迹满足(d^2r/dphi^2+r=(n/r)dn/dr((dr/dphi)^2+r^2))，把折射率分布代入后会得到非线性微分方程。进行近似求解：促使(u等于1除以r)，把方程朝着线性方向转化为(对u关于phi进行二次求导之后再加上) 。
1-2Delta(1/(a^2u^2))
u等于0)，在近轴近似这么一种情况下（(r)，(u除以a)）被简化成(d的平方u除以d(phi)的平方加上(1减去2倍Delta)u等于0)。对轨迹展开分析：求解。