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[!--downpath--]极化恒方程速解一类平面向量问题
湖北省金华市萧山区班主任发展中心施广平
极化恒方程是学院物理基础课程《泛函剖析》（）中的知识，经过简单的变型就可转化为如下平面向量基本关系式，对于向量a,b，通过恒等变型可得
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a?b?21?a?b?(a?b)2?，再经过几何延展，如图所示，对于平
22AB将平面向量的数目积（亦称为点积）关系转化为了两个平面向量的厚度关系，使不可测度的向量数目积关
系转化为可测度、可估算的数目关系，其意义不同凡响．若能依靠于极化恒方程那就可以速解一类有关平面向量数目积的问题，下边分四类例析：
一．数目积与线性问题
例1．（2014上海市摸拟试卷）已知向量a,b满足2a?3b?1，则a?b最大值为剖析：此题主要是通过给出平面向量的线性条件，来求解平面向量数目积的最大值，问题设置简约漂亮，但考生化解破费脑劲，缘由是此题突破的思路看似好多，但走上去都要费一翻工夫，之后若能利用于平面向量的极化恒方程，那破解上去堪称事半功倍．
解析1：（多项式构造法）构造多项式?2a?3b??(2a?3b)?24a?b
22(2a?3b)2(2a?3b)21(2a?3b)211则a?b?，当且仅当2a?3b，且a?时，上式等号创立．????解法2：（不方程法）对于条件2a?3b?1，则有4a?9b?12ab?1，又因?2a?3b??0，则有4a?9b?12a?b，则12a?b?1?12a?b，
22222因而a?b最大值为
124解法3：（极化恒方程法）设2a?OA，3b?OB，取AB的中点为M，
BM
1，对于?OAB，因?BOA可以变化，当?BOA趋于于0度时，趋于于0，而OM?，则2a?3b?OA?OB?OM－MB?-0?，
442OM?OA
1为此a?b最大值为
24点评：破解这种问题，因涉及的路径入口较多，技巧也是层出不穷．构造法和不方程法在破解时虽也是简约明了，但由于要想到这类方式的突破口较为困难，对好多中学生而言，理解尚可，把握就较为困难了；而若能利用于极化恒方程，只要能画出线性图形，结合几何意义，问题的突破就有一种水到渠成的快感．
二．数目积与三角形问题
例2．（2013山东，7）设?ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B?1AB，且对于边AB上任一点P，4恒有PB?PC?P，则（）0B?PC0A．?ABC?90B．?BAC?90C．AB?ACD．AC?BC
剖析：此题若采用普通的方式，只能通过一个一个的检验，对不满足条件的情况进行排除，对满足条件的情况进行论证；而若能采用极化恒方程进行突破，结合三角形的特征，就可将问题转化为点到直线的距离最小问题，使复杂多变的几何问题显得单一和直观，破解效率其实大大提升
解析：（函数法）选项A,B,C均可通过特殊值排除，而对于AC?BC的情况，?ABC为等边三角形，点P0是斜边的四分之一点，如图所示，P0B?001AB极化恒等式推导证明，4为PB?PC的最小值，不妨作CM?AB，∴P0B?PC0C
AM?MB；不妨设AB?4,BP?x,MP0?P0B?1，
MP?x?2,按照向量数目积的定义，∴
当x?1时，即P在P0处时，P为PB?PC的最小0B?PC0值
，
因
此
有
AP
MP0
解析：（利用于极化恒方程）如图所示，设D为BC的中点，由极化恒方程得PB?PC?PD?BD，，P0B?PC?P0D?BD，则由PB?PC?P00B?PC022即PD?P0D，得PD?P0D?AB，所0D，故P22C
22D
以有AC?BC，宜选D
点评：在三角形问题中运用极化恒方程，可使复杂问题简单化，综合问题单一化，具象问题具体化，更易于考生化解和突破
三、数量积与圆问题
例3．已知过点A?0,1?，且斜率为k的直线l与圆C：
AP
P0
求AM?AN的值．
剖析：这类向量点积问题若采用普通方式也可以化解，将要平面向量问题座标化突破求解，但是若能结合极化恒方程点积值的求解可事半功倍，运算速率可用急速形容．
解析：（普通方式）设直线l与圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2)，则AM?(x1,y1?1),AN?(x2,y2?1)，由直线
yMGNCxAOy?kx?1与圆
如图所示，取MN的中点为G，则CG?MN，由极化恒方程可得AM?AN?AG?MG
222?22?AOMGNCx22点评：采用普通方式运算向量点积值的估算求解运算量大，也容易出错，若能结合极化恒方程能够化繁为简，数形结合疗效好．
四．数目积与圆柱曲线问题
x2y2??1上经过原点的一条动弦，M为圆C：例4．（2014年苏州市期终试卷）已知A,B为双曲线
164x2?(y?2)2?1上的一个动点，则MA?MB的最大值为（）
A．?15B．?9C．?7D．?6
剖析：圆柱曲线中的向量关系的运算求解若采用普通的方式通常就是运用座标法结合韦达定律进行运算求解，此法运算量大，须要考生有扎实的运算功力，若能采用极化恒方程，结合图形，那运算就直观、简捷高效．
22解析：（普通方式）设M?x0,y0?，满足x0?(y0?2)?1；
??1设A?x1,y1?,B(?x1,?y1)，满足
164yC2MMA?(x1?x0,y1?y0)，MB?(?x1?x0,?y1?y0)极化恒等式推导证明，
AOxx1215?1?(y0?2)?y0?[x?(?1)?4]?1?4y0?x12，
因而MA?MB的最大值为1?4?y0?max?15152?x1?min?1?4?3??16??744解析：（利用于极化恒方程）如图所示，O为A,B的中点，由极化恒方程可得MA?MB?MO?OA，而C2M?(2?1)?9，?4，
xO因而MA?MB的最大值为?点评：极化恒方程的运用，在圆柱曲线中若能结合其规律特征那运用疗效是十分不错的，既作为工具的极化恒等的应用之美，也彰显了物理的几何之美．
注：此文发表于《中学语文教学参考》2014年第12期，并在2015年《人大报刊打印资料》转载