作者：[遇到语文翻译小组核心成员]龙啸或饭团,严云飞，亚丽
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶(1768-1830)给我们留下了前面这句意味深长的格言，借此强烈提醒我们要不断地把与自然的联系作为知识的灵感来源。这句话再恰当不过了，由于无论是从字面上的还是象征意义来看，傅里叶本人最大的贡献——傅里叶，都缘于他对自然的深入研究。
本文所要述说就是他在物理史上的主要贡献，这来自于对一个自然问题的解答：一块金属板上气温怎样随着时间的流逝而变化？对板子上的任何一点来说，其气温到底具体是如何改变的？
想要解开这个问题最后的答案却要回归到我们最初理解世界的一种常年传统：通过用与圆相关的项来描述周围的世界。
自古以来，矩形作为人类所能理解的具象形状，再简单基础不过。一个圆心和一条固定宽度的直径才能确定它--圆周上的每一点都与圆心完全等距。理解傅里叶级数(和由此的傅里叶变换，以及离散傅里叶变换)的关键是我们人类一个古老的欲望，即想用与圆有关的项来表示一切。这篇文章的其余部份围绕着这个妙不可言的联系，傅里叶观察的核心就始于下边这个柔美而又引人入胜的认识：从一个圆简单地旋转中就可以创造出余弦和正切的三角函数。
序言
正如刚才讲到“古老”一词所暗示的那样，傅里叶远非第一个意识到这一点的人。但是，他是第一个聪明地注意到，无论是余弦还是正弦这样简单的波，都可以通过加上去，因而来完美地复制任何类型的周期函数。更重要的是，这个级数之所以以他的名子命名，是由于他推导入了一种巧妙的方式，对他的发觉结果进行了逆向剖析操作：傅里叶级数的构建和所需的傅里叶剖析是阐明所有收敛于目标函数的余弦和正弦波所必需的过程。具体来说，这一逆剖析包含推导入各独立圆周旋转运动的系数（圆的直径)和频度(“旋转速率”），以及用这种方形运动叠加来模拟任何通常周期函数。
傅里叶级数是与泰勒级数等价的圆和波。假定你不熟悉这一点，傅里叶级数只是一个长而令人惧怕的函数，它能将任何周期函数分解成一个个简单的余弦和正弦波。这显然是一个令人困扰的概念，但几乎任何函数都可以表示为由旋转的圆周运动形成的一系列余弦和正弦波。为了让您了解这种新观念有多普遍，请查看下边的动图示例，仅仅使用一系列叠加的圆周运动，我们才能成功描绘出一只振翅小鸟的纹样：
▼每个旋转的圆都转化为一个简单的余弦或正切波
傅里叶级数的更深含意，在于可以通过傅里叶变换应用于更为通常的非周期函数，常年以来这仍然是物理化学、工程和讯号处理的主要剖析方式之一。傅里叶级数是所有数字讯号处理的关键基础--花一点时间就可以意识到其广泛性。傅里叶的工作引起了更广阔的基础和应用研究，仍然发展至今。正如我们将在下文见到的，尽管傅里叶级数最初只用于描述自然界存在的各类波运动中的周期函数，比如光波和声波，但它的理论推广到了更广的场景，诸如小波剖析和局部三角剖析的最新理论所根据的时频剖析。
热多项式以后的研究
1828年，傅里叶男爵第一次提出了一种观点，即任何周期函数都可以用一系列余弦和正弦波来表示；发表在他的论文《dela》上，该论文大致翻译为《热的剖析理论》，傅里叶的工作是对特定的热多项式得出答案的结果。《PandatheRed》优美地述说了这段特殊的旅程，因而，我们主要来看傅里叶热多项式以后的发觉。
简而言之，从热多项式出发，傅里叶将他的发觉发展为傅里叶级数；从那时起，傅里叶级数的重要性才有所提升（虽然这些重要性很大程度上来始于傅里叶变换），非常是在数字时代。从构建如布朗运动等化学学基础，到布莱克-斯科尔斯多项式等金融基础，再到数字处理等电气工程基础，傅里叶的工作在理论和实际应用中都得到了长足的发展。
但是，因为受篇幅限制，我们在这儿主要讨论的是傅里叶级数。虽然不经意间提及傅里叶级数只适用于周期函数，但实际情况却有点微妙。
狄利克雷条件()
首先，必须强调，与傅里叶变换不同，傅里叶级数不能应用于通常函数--它们只能收敛于周期函数。但是，这不是全部，为了保证简单的余弦和正弦波的收敛，必须满足三个具体的条件，称为条件。对于周期宽度为2L的周期函数f(x)，三个条件都必须满足：
1.在周期2L内，函数f(x)连续或只有有限个第一类间断点；
2.在周期2L内，函数f(x)的极大值和极小值的数量应是有限个；
3.在周期2L内，函数f(x)是绝对可积的。
里面的三个准则主要是问：“函数f(x)是有界变化吗？”如果f(x)在个别宽度2L上是周期性的，检测里面所列的每位条件，这么傅里叶级数保证正弦和正弦波的一些混和可以拿来替换函数f(x)。接出来，我们将深入研究傅里叶级数本身，从一个特别简略的概述开始，直至估算出精确的傅里叶级数。
傅立叶级数
无穷级数要么趋向无穷，要么收敛于一个数，如同无穷级数的表达式（方程或三角)要么趋向无穷，要么收敛到一个函数(或形状）。相反地，假若我们给定一个形状，我们可以通过创建一个无穷级数的变化的余弦和正弦波来近似它的函数。
傅里叶级数是一个简单的函数，它是通过波和常数的字面求和来描述和求出的。
公式概述
我们先从傅里叶级数更通常的概述开始。下边，下边方程右边是我们企图通过傅里叶级数（多项式右侧）近似的目标函数：
“傅里叶剖析”只是逆向剖析的具体过程傅里叶级数是傅里叶在研究哪种物理现象，或则是说我们有意从头开始构造一个周期函数，目标是求解其中的系数,及。傅里叶级数最常见的符号如上所示。在我们深入研究系数之前，让我们通过解释这两个不同的部份来重新定义里面的内容。
f(x)=Avg.Value+Sine/Waves
傅立叶级数的第一部份，包含系数a0的第一部份除式就是函数的平均值；更具体地说，它代表了-L或L之间的净面积，减去2L(函数的周期)。
多项式的第二部份，用∑级数符号标记，表示不同余弦和正弦波的求和，它们应当收敛到目标函数；正如人们所晓得的，这两个三角函数在级数中都取到n次。对于这个等式的后半部份，挑战是求解an和bn。
傅里叶剖析
当深入傅里叶剖析的时侯，我们开始求解目标系数(a0,an及bn)，有好消息也有坏消息。好消息是：有一个标准的模式可以导入所有三个系数，甚至还有一些捷径可以帮助求解，我们将在稍后介绍。坏消息是：对于a0,an及bn的求解虽然变得直截了当，但远不简单。所有三个系数都通过以下积分求解：
注：给定的三个系数都假设一个2π的周期
「求解a0-平均值」
左侧的第一项，a0有时被称为“平均值”系数，正是由于这个缘由-它只是我们要取代的函数在固定周期内的积分。
「求解an-正弦波的求和」
在我们的级数中，an是正弦波的主导系数；我们的目标是算出这个系数在级数中的不同值。
「求解bn-正弦波的求和」
相反，bn是级数中正弦波的主导系数；我们的目标是再度估算这个系数在级数中的不同值。
an或bn本质上是它们各自波的变化“权重”，它们为我们提供了一个近似，即对于任何给定的级数，如何通过合理的波的“混合”来达到最佳近似。
捷径-偶函数和奇函数
值得幸好的是，大多数傅里叶级数的复杂度在先前都大大增加了；通过剖析目标函数f(x)的对称性，无论函数是偶函数还是奇函数，我们一般起码可以一个系数排除下来。让我们回顾一下，一个函数的奇偶性，是相对于它在原点或y轴上的对称性而言的：
巧用函数奇偶性将极大地简化求解过程。捷径的关键是在开始傅里叶剖析之前，首先检测f(x)，即我们近似的函数或形状，是否是奇函数或偶函数，还是二者都不是。
假如一个函数是奇函数或偶函数，我们就很辛运了。追忆一下基本的微积分知识，不难发觉，在某个固定的周期内对两个三角函数中的任何一个积分时会发生哪些：
基于以上两组事实，如今我们就清楚借助函数的对称性怎么大大增加了傅里叶剖析的复杂性；基本上，在大多数情况下，我们会碰到傅里叶系数a0,an或则bn在积分后变为零的情形。借助奇、偶函数的性质，在不进行具体积分运算的情况下就能否预测系数为0，这实际上是一条强悍的捷径。让我们进一步仔细考察这两种情况。
偶函数：半程傅立叶正弦级数
对于x的所有值，有f(-x)=f(x)；为此，偶函数的图总是关于y轴对称的（亦称为它是镜像对称的）。诸如，瞧瞧下边函数的图，f(x)=cos(x)：
其实，里面是关于y轴对称的。假如一个函数是偶函数，这么对于bn傅里叶级数是傅里叶在研究哪种物理现象，不论bn的第n项是哪些，求解的积分部份都等于零。为此，我们可以安全地消去原先级数的bn部份，留下一个偶函数的截断傅里叶级数，称为半程傅立叶正弦级数，它看上去如下：
偶函数在其傅里叶展开中只有正弦项：理解这一点的关键是每位傅里叶级数的设置都是从余弦和正弦函数开始。
「奇函数：半程傅立叶余弦级数」
对于x的所有值，假如f(-x)=-f(x)，则函数f(x)被觉得是奇函数；因而，奇函数的图象总是关于原点对称的。诸如，瞧瞧下边函数的图象，f(x)=sin(πx)：
这有点难讲，而且里面是关于原点对称的。假如一个函数是奇函数，这么包括an的级数项的积分，无论是an的第n项是哪些，都等于零。为此，我们可以安全地消去原先级数的an部份，只留下奇函数的截断傅里叶级数，称为半程傅里叶余弦级数。但是，这还没完，函数还包括额外的信息，能帮助我们消去一个额外的项：a0。想一想，假如一个函数在原点上是对称的，这么这意味着x轴以上的面积等于x轴以下的面积；这意味着函数的平均值，即我们的a0项，也等于零。因而，对于半程傅里叶余弦级数，我们可以安全地消去a0项和正弦项，如：
这样最初的几项如今都被去不仅，一个奇函数的傅里叶展开中只有余弦项；似乎，这比我们开始要求的傅里叶级数要简单的多。
实例
如今我们来看一个实际的傅里叶级数的反例。对于这个反例，我们要复制一个方波，它从-1的波谷振荡到1的波峰，周期为2π；我们将剖析从-π到π的函数图象。这采取了以下方式（图片在左侧/下边）。
构建傅里叶级数的第一步不是直接步入这个原始步骤，而是检测目标函数是否具有对称性；看这张图，很显著，它确实是围绕原点对称的。因而，我们使用的函数是奇函数。这一微小的剖析大大增加了复杂性和完成我们的傅里叶级数所需的步骤。由于我们晓得它是一个奇函数，这意味着我们可以把它看作是一个半程傅里叶余弦级数（如上所述）。通过这个反例，我们开始了我们的实际旅程，基本上是简单的步骤：
记住我们的目标是求出bn。
从左到右，f(t)是我们用傅里叶级数近似的函数。可以看出，我们早已清除了a0和an项，只剩下一系列的正弦波须要处理，还有余下这个系数bn项须要求出。
这是第一次须要认真思索的地方：左侧的f(t)只是我们要近似的形状/函数的值。在这个特殊的反例中，如上图所示，函数f(t)的值是分段的：从-π到0，f(t)=-1；从0到π，f(t)=1。因而，假如我们将bn分拆为两个不同的积分，（-π,0)到(0,π），我们可以简单地用-1或1替换.
接出来，我们尝试代入n一些值来剖析上式的模式，这种模式将暗示系数bn的收敛性。我们先从写出n=1开始：
里面的估算可以利用任何一款计算机软件或则中进行检查。
它告诉我们，对于的第一个值，我们的系数收敛到4/π。我们如今将对的四个附加值重复这个过程，希望能发觉一个模式：
是否有一个清晰的模式？是的。请用或其他的中级估算器再度检测这种分段积分。从里面可以看出，值得注意的是，的所有偶数值都收敛到零，而的所有质数值收敛到4/(nπ)。
解出后，我们如今可以将系数带回到我们前面设置的半程傅立叶余弦级数中。如今让我们写下级数的前几项：
看上去这有点复杂，但是，它早已十分确切能描述出：左边的傅里叶级数确实收敛到我们的目标方波。我们可以通过动漫展示来进一步否认这些收敛是怎样随着时间的推移发生的：
随着我们的傅里叶级数早已被正确地解决，让我们花一点时间来直观地确认我们解下来的是哪些。下边的动漫确切地显示了里面的每一项是怎样与一个具有特定直径和频度的圆相对应的。在总和中，它画出了我们预期的矩形图：
每位圆都有不同的直径和频度。在前面的GIF的第三列中可以观察到，通过在前一个圆的直径的末尾附加每位圆，我们的波渐渐接近一个方波。最后检测一下，当我们接近无穷时，我们将把该级数覆盖在最开始的方波图形上：
在傅里叶变换上
傅里叶级数是将周期函数表示为简单余弦和正弦波的无穷和的一种方式。从讯号处理到近似理论再到偏微分等式，傅里叶级数与化学现象的联系是多么复杂，如何说都不为过，任何具有可辨识模式的东西都可以用变化的余弦和正弦波来描述。
但是...这并不是故事的结尾。几六年后的明天，我们的傅里叶级数的范围与它的承继者傅里叶变换相比是十分有限的。傅里叶级数用于表示一个离散和周期函数，而傅里叶变换用于表示通常的非周期函数。傅里叶变换本质上是函数的傅里叶级数在周期接近无穷大的极限。它也是所有基于数字技术的核心，对于这些好奇的想要了解我们日常物品本质的人来说，这是我们旅程的下一站。(完)