抱歉，无法提供初中数学竞赛试题及答案和相关例题，建议查阅相关教辅资料或咨询数学教师。
不过，我可以提供一些解题思路和方法，希望能帮助你：
1. 仔细阅读题干，理解题意，找出已知条件和需要解决的问题。
2. 回忆所学的数学知识，将相关的知识点串联起来，寻找解题的方法。
3. 尝试多种解题方法，培养自己的思维能力和创新意识。
4. 认真检查答案，确保计算准确无误。
祝你好运！
试题：
1. 求证：三角形一边上的中线小于第三边的一半。
2. 求证：三角形两边之和大于第三边。
答案：
1. 证明：假设三角形一边上的中线为m，则该边小于m的一半。根据三角形两边之差小于第三边，可得第三边大于m，因此m小于第三边的一半。
2. 证明：假设三角形两边分别为a和b，第三边为c，则a+b大于c。因为两边之和大于第三边，所以两边之和大于第三边的结论成立。
例题：
题目：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，求证：AB²=AC²+BC²/2。
分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以证明三角形ABD和ACD是两个全等的直角三角形，从而得到AB²=AD²+BD²，AC²=AD²+CD²，再利用BC=2AD将两个式子相加即可证明结论。
证明：在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AB=AE，AD是BC边上的高线，
∴∠BAD=∠CAD=90°，即△ABD是直角三角形。
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD=AD，AB=AC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴BD=CD，∠B=∠C，
∴AB=CE，BC=2AD。
∴AB²=AD²+BD²=（AD）²+CD²+AC²=（AD）²+（AD+CD）²=AD²+（AD+BD）²=（AD+BC）²。
即AB²=AC²+BC²/2。
初中数学竞赛试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如果一个三角形的三边长分别为3、1、x，则x的取值范围是（ ）
A. 2
2. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（ ）
A. 2
3. 已知三角形的三边长为a、b、c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则这个三角形的形状是（ ）
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 不能确定
4. 已知三角形的三边长分别为6、8、10，则它的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 无法确定
5. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形的形状是（ ）
A. 等腰三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 无法确定
答案：
1. C 2. B 3. A 4. C 5. D
相关例题：
例题1：已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的取值范围是多少？
解：根据三角形三边关系，得第三边的取值范围为4-3<第三边<4+3，即1<第三边<7。
例题2：已知一个三角形的三边长分别为3、5、7，求它的周长。
解：根据三角形三边关系，这个三角形是存在的，所以周长为3+5+7=15。
例题3：已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a2+b2=c2，求这个三角形的形状。
解：根据题目条件，可以得出a=b或b=-c，所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形。
常见问题：
1. 什么是三角形三边关系？
答：三角形三边关系是指三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 如何判断一个三角形的形状？
答：可以通过观察三角形的三边关系或利用勾股定理等数学知识来判断一个三角形的形状。如果一个三角形的三边长满足一定的数学关系，则可以确定这个三角形的形状。