大家喜欢图片，一眼就能瞧见它们，我们的大脑并非用于识字母、写数字、做复式记账，编排乐谱或解数学方程，这些不过是人类故事的小插曲，人类生存与进化的环境实则更恰当被诠释和记成图像，我们认为图片充满趣味，能传递知识、利于记忆、予人启发。
在最为早期的人类学文化遗址里头，蕴含着极为复杂的图像，就像拉斯科洞窟壁画那样。即便在如今这个时候，这些图像依旧称得上是艺术品。图片是以生活作为根基的，将原始社会里的关系拼凑在一起，凭借各种各样的风格以及主题描绘出人类历史的各个阶段，并且跨越漫长岁月留存下了传统以及社会的记忆。图片曾经还集中体现了宗教情感与宗教思考，促使人们把自身单纯当作主体展开内在的思维活动。在全部呈现模式以内，画面费尽心思努力要重现并总结实实在在的事物，从而缔造出刹那间的强烈冲击力——用不着记性留存，然而却不容易忘却。
曾身处往昔的30年里，人类所拥有的极为伟大的成就当中的一项，便是存在着一些特别简单浅显的规则，这些规则能够从根本就不存在丝毫随机性以及不确定性的状况起始，最终致使出现从任意现实层面来讲根本完全没办法进行预测的情形。下文是经过出版社给予授权而摘编自《科学的画廊：图片里的科学史》，其中讲述了分享了三个源自经典图片当中的数学发现方面的故事。
一部名为《科学的画廊：图片里的科学史》的书籍作品出于约翰·D.巴罗之手，由唐静等人进行翻译，交由人民邮电出版社在2022年6月出版，此书。
五个大明星
柏拉图多面体
数学史上最美妙、最独特的发现之一。
——赫尔曼·外尔
你在一张平整纸张上面画的，由直边围成的图形就是多边形。正多边形边长相等，其内角也相等。虽说存在这些限制，可正多边形还是有无穷多种。最简单的例子是有三条边的正三角形以及四条边的正方形，当然边数还能更多。说出任意一个确定数字，不管它多大，只要你铅笔够用，就肯定能画出一个有相同数量边的正多边形。随着边数增大，你用肉眼越来越难分辨多边形和圆形。我们能够把圆形想象成由无限多条边构成的多边形。总之，正多边形的数量是无限的。
倘若咱们将关注的焦点从平面多边形转移至其于三维空间里相对应的概念，那从而获得的便是凸多面体，也就是朝着外部凸出的多平面立体图形。要是对于平面并无特别的要求，那么它们便会衍生出无数种可能性。然而，假定我们把所涉及的对象限定于正凸多面体上，也就是各个面全都相同的多面体，那么会存在多少种可能性呢？
这些图形源自莱昂纳多·迪·皮耶罗·达·芬奇的绘画作品，被收录于意大利数学家卢卡·帕西奥利在1509年出版的《 神圣比例 》这本书里。图中的正多面体就是那5个柏拉图多面体，它们也在九大正多面体的范畴之中。其每一个面都是同样的正多边形。正十二面体是由12个五边形构成的。正二十面体是由20个等边三角形组成的。正八面体是由8个等边三角形组成的。正四面体是由4个等边三角形组成的。立方体也就是正六面体是由6个正方形组成的。
十分奇怪的是，正多面体总共仅仅只有五种，其中一种是正四面体，这般正四面体有着4个三角形面，还有立方体，此立方体有着6个正方形面，和正八面体情况不同，这正八面体有着8个三角形面，另外还有正十二面体，该正十二面体有着12个五边形面，最后一种是正二十面体，此正二十面体有着20个三角形面。人们已然证实，从二维向三维的变化存在着局限性。在《几何原本》的结尾处时，欧几里得证明了这上述五种多面体是唯一有可能的立体图形。但在很早以前，希腊人就已经知晓此事了 ，他们将这些称作“柏拉图多面体” ，由于柏拉图曾在公元前约350年出版的《蒂迈欧篇》一书中描绘过这些立体。在这部著作当中 ，柏拉图开创了把这五种对称形状和宇宙的意义关联起来的先河 ，他把正四面体与火元素等同起来 ，把立方体和土联系起来 ，而正二十面体对应的乃是水 ，正八面体对应的是空气 ，正十二面体对应的是一种很轻的物质 （以太）——这种物质构成了星群与天空。
被称作“开普勒–潘索多面体”的，是四种星形多面体，其中包含大十二面体，它在左上位置，还有小星形十二面体，处于右上位置，以及大星形十二面体数学家物理学家头像，在左下的地方，另外还有大二十面体，位于右下之处。
想要搞清楚究竟是哪一个人最早发现了正多面体，这有点类似于去试着找出是哪个人发明了火。然而，柏拉图将正多面体的发现归到了雅典的泰阿泰德身上，泰阿泰德他有可能是柏拉图在雅典学院的一名学生。历史学家坚信，《几何原本》后面几卷里的某些内容完全是从泰阿泰德的发现演变而来的，另外还有一些被记载在欧多克索斯以及帕普斯的著作之中。有一个较早的说法是：“那所谓的五种柏拉图多面体实际上并不归属于柏拉图。”。其中三个是被毕达哥拉斯发现的，它们被称作立方体，它们被称作角锥体，它们被称作正十二面体。而正二十面体是由特埃特图斯发现的，正八面体也是由特埃特图斯发现的。
雅姆尼策所绘制的，由约斯特·安曼 （Jost Amman）进行雕刻的，十分美丽的那样一幅版画。
西方思想家始终被柏拉图那神秘的立体占星学联想所吸引，开普勒尝试于《宇宙的奥秘》这部著作里，把柏拉图多面体的五重和谐同天空关联起来，开普勒构建的太阳系模型运用了全部五种柏拉图多面体，用以描绘16世纪时人们所知晓的六大行星的轨道，他借助柏拉图多面体内切球与外接球的直径之比，来表明行星在自身轨道中距离太阳的最大距离，以及紧挨着的外层行星距离太阳的最短距离之比，如此便产生了六个已知星球的五种比例。每个柏拉图多面体都被安排在两个相邻的行星之间。
在内层行星离太阳距离达最远之际，行星处于柏拉图多面体的内切球之上；于外层行星离太阳距离为最近之时，行星位于相应的外接球之上。在早期古希腊人最初着手列举构成柏拉图多面体的五种正多面体之际，他们将目标限定于凸多面体之上，也就是那种向外凸出的多面体。倘若我们允许多面体向内凹陷的话，两个共用一条边的面能够形成小于180°的角，那么便会产生四个新成员，它们被称作正星形多面体，即大星形十二面体、小星形十二面体、大十二面体以及大二十面体。
于文艺复兴阶段，工匠们意图借助柏拉图多面体图形用作装饰，遂逐个发觉了这些新型多面体。开普勒亦留意到，能够把具备固定高度的角锥体增添至正八面体、正十二面体以及正二十面体的面上，如此一来，角锥体的侧面便会连接成一个平面。他据此引出将多面体进行组合的概念，所以它们就拥有了交叉面，酷似三维版本的“大卫之星”（犹太教的标记，是由两个正三角形叠成的六角星。——译者注）。这些可能性并未如同凸多面体那般被系统地认知。
1810年法国那时，有路易·普安索这名数学家为一篇文章把对其解说呈上了表在其中，所以这些立体图形就有了“开普勒–普安索多面体”这样的叫法。实际上，纽伦堡有名的金匠文策尔·雅姆尼策在1568年将《几何美学》这本书出版了出来，书中图形对这些图形有所预兆的效果显示出来了。1812年，奥古斯丁·柯西对普安索推测的四种立体图形作出了证明结果，证明它们是三维空间里所有可能出现的星形多面体。这些英文名字，略显奇怪，是在更久之后，也就是1859年，由英国数学家亚瑟·凯莱命名的。
如今，这些多面体，对数学家而言，依旧有着美学方面的吸引力，以及几何层面的魅力。一直以来，由这些立体图形构成的模型，都使人们因它们的美丽、对称性与简洁，而感到惊艳。由此，我们好像能够明白，为何人类始终执着于探寻身边有限事物与永恒几何和谐之间潜藏的超自然联系。这种几何和谐数学家物理学家头像，对人类来说，意味着来自宇宙的暗示。
上帝踢足球吗？
巴基球
上帝或许不掷骰子，但可能会踢足球。
——哈里·克罗托
研究柏拉图多面体后，阿基米德立刻发觉能够创造出13种半正多面体，只要对称地截掉立方体的顶点，就能创造出对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”，只要对称地截掉角锥体的顶点，就能创造出对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”，只要对称地截掉正十二面体的顶点，就能创造出对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”，只要对称地截掉正二十面体的顶点，就能创造出对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”，只要对称地截掉正八面体的顶点，就能创造出对应的多面体，这就是“阿基米德多面体”，这些多面体的面依旧是正多边形，然而这些多边形并不完全一样，它们的顶点都比较相似，但是面却并非完全相同，依照此法，也能够构建出另外八个阿基米德多面体。它们能够被我们视为 在柏拉图多面体以及星型多面体之后的 第二对称多面体。
达·芬奇绘制了截角二十面体，这是用于给帕乔利的书《神圣比例》所作的插图。
人们发觉，有一个阿基米德多面体，在宇宙里具备极其特殊的关键意义，而且在近20年以来的化学发展进程中占据着至关重要的位置。这个特别的多面体便是阿基米德截角二十面体。它拥有60个顶点，还有32个面，每三个面相交于一处顶点，除此之外还有90条边。32个面当中包含20个六边形以及12个五边形，所以，每两个六边形跟一个五边形相交于一个顶点。这是一种漂亮的结构，然而对于读者而言，相较于上述事实，大家立刻能够想到的恐怕是另外一样事物。足球在近代的时候，转变而成了是由那种黑色的五边形予以构成，以及白色的六边形进行组合的这种典型形状。
自学者结构工程师理查德·巴克敏斯特·富勒，在1949年设的网球格顶里，大量用了二十面体几何结构。他一直借数学对称达多重优化，像减用料、降组装难度、强结构稳固性。他欣赏妙用材料法，一种材料在某情况极脆弱，按适当几何构型组织利用，可达很大强度。蛋壳是大家熟悉例子。
阿基米德多面体，都由两种或两种以上多边形的面构成
富勒在1954年的专利文件（专利号：）中的画作
在1967年之际，富勒为蒙特利尔世界博览会所设计的美国馆乃是这样一个建筑，它乃是由网格状球顶构成的，球顶上的面是凭借五边形与六边形相互交织才构成的截角二十面体。整个建筑着实令人叹为观止。这是一份关乎对称以及功能的伟大宣言，建筑的规模以及形态引发了众多科学家和设计师的注意，其中就涵盖了哈里·克罗托（Harry Kroto）。克罗托是一位化学家，他毕生都对建筑和平面设计满怀兴趣。实际上，存在这样一个情况，哈里往昔是我于英国萨塞克斯大学的共事之人，在我头一回被委任为讲师之际，他居然还坐到了评审者的席位之上。哈里长久以来始终对一种状况下的问题怀有兴趣，此问题是，碳分子于特殊情形之下能不能在空间分子云当中形成长链。
为了验证这样一个问题所需做到如下两个步骤，其一，于严格加以控制的实验室的环境当中去创造出与之相类似的链；其二，去查看空间里是否存在分子以及这些依靠人工制造以生成的链在光谱的特征方面能够相互匹配。1985年，哈里加入了由理查德·斯莫利和罗伯特·柯尔在美国得克萨斯引领的莱斯大学的研究团队，这个团队里还有研究生詹姆斯·希思以及肖恩·奥布赖恩。他们计划运用激光束去击碎碳原子团，接下来观察遗留物在汽化之后是不是会凝聚成某些有趣的全新碳聚合物，团队发觉，所形成的新团皆有偶数个原子，在略微调整了实验以后，他们能够创造出几乎一直囊括60个碳原子的原子团，团队尝试为实验结果寻觅一个合理的解释。
1985年11月14日，《自然》杂志的封面，是在庆贺罗伯特·柯尔、哈里·克罗托以及理查德·斯莫利发现了碳 - 60。
哈里满心疑惑，为何碳更倾向于呈现碳 - 60的形态呢？此时，他脑际浮现为孩子们用硬纸板制作的小截角二十面体，还有富勒的穹顶。紧接着，他拨打越洋电话给英国的家人，以此确认自己所制模型的几何结构。他坚信，碳所形成的正是截角二十面体，且碳原子处于该构型的60个顶点位置。随后，哈里动手制作了一个由五边形与六边形构成的纸质模子，而后以疯狂的状态工作十一天。从1985年9月1日起始，直至9月12日，他完成论文并将其投递给《自然》杂志。其稿件，于9月13日为由该杂志予以收纳，在11月14日时，此杂志把那稿件作出刊出的行为，且在封面上，有着相应图片的刊登情况。
那些碳原子，人们给它们起过好些名字。一开始，它们被叫做“富勒烯”，这主要是为了去纪念“富勒顶”结构在化学方面曾经做出的贡献；完了之后呢，又有了个更不怎么正式的名字，叫“巴基球”，就连有的时候，它们还偶尔会被称作“足球烯”。
这般富勒顶的原始模型成为一个属于斜方截半九面体的事物，照片是利用相机拍出来的，拍摄的具体地点处于1954年的圣路易斯华盛顿大学那里。
化学界有一次伟大革命，是发现了新的碳结构，它将无机化学与有机化学联合起来，还提供了在分子层面构建物质的新方法。1996年的诺贝尔化学奖，由柯尔、斯莫利和克罗托分享。巴基球的对称造型，顺理成章地成了化学的象征，许多科学杂志都用这一形象作封面，来庆贺碳分子的新发现。这样的盛况，恐怕只有当年发现脱氧核糖核酸的情形方能与之相比。
一面之词
默比乌斯带
“小鸡为什么要穿过默比乌斯带？”“为了到另外一……呃……”
——无名氏
把一张长条纸，首先将两端粘在一起，使之形成一个圆柱体。诸位还在上小学的时候，应该都曾做过这样的事，而且做了无数遍。这个圆柱体存在内侧，同时也存在外侧。然而，若你在把两端粘在一起之前，就先将纸带扭一下，那么就会创造出一个不一样的东西。这个环看上去好像是一个立体的阿拉伯数字8，并且拥有一个令人感到震惊的特性，此特性为——它并没有内侧，同样也没有外侧，仅仅只有一个表面。假如你用一根蜡笔来为这个环染色，那么蜡笔在不离开纸带表面的情况下，就能够染遍整个环。这一特性居然会带来商业价值钓鱼网，工厂偶尔会借助这种单面属性来使得传送带的使用期限得以延长 在20世纪20年代 有人还为默比乌斯幻灯片以及录音带申请了专利 这种办法让连续环的长度实现了加倍 而其中的窍门仅仅是把带子发生扭曲的部分与滚转机分离开来。
默比乌斯带
注意到这种有趣之物，被如今数学家们称作“不可定向曲面”的“表面现象”的第一个人，是奥古斯特·默比乌斯（Möbius），默比乌斯身为德国数学家与天文学家，其母亲一族的祖先可以追溯到马丁·路德。年轻的默比乌斯在测绘与三角法天文学领域取得一系列成就后，离开了发祥地莱比锡，前往德国数学界的中心哥廷根，于数学巨匠高斯领导下的哥廷根天文台展开研究。他再度自那处转向哈雷，于高斯的老师约翰·普法夫（Pfaff）的指导之下开展工作。历经数次辗转之后，这位热衷于游学的天文学家最终于 1848 年返回莱比锡，成为莱比锡天文台的主管以及天文学教授。
默比乌斯传送带的早期专利，和传统双面传送带作比较，这种单面结构能使传送带的使用寿命翻倍，传统传送带仅仅单面可用于该功能实现此项效果。
默比乌斯于天文学贡献显著，然而其人生后半程于数学领域、尤其几何学方面有诸多新发现，直至如今，我们依旧在钻研源自他的默比乌斯函数与默比乌斯变换。能够想象得出，身为高斯徒弟的默比乌斯，在自身工作成果里设立众多标准，致使他所有工作成果的最终形成及出版都相当滞后。结果，有关默比乌斯带那些论文，是在他离世后遗留的论文里头找来的，而实际发现默比乌斯带的时间为1858年的当时呀，他正为“法兰西科学院年度科学大奖”预备一篇关于多面体什么情况的文章；就在那一年7月，默比乌斯带还让另一名德国数学家所发觉呢，约翰·利斯廷便是高斯在物理学和应用数学研究组的学生4。处于高斯所给出的建议状况下，利斯廷着手展开对空间结构的研究工作，并且，鉴于要跟他往昔的老师在崭新课题方面达成一致，他提出这门学科应当被称作“拓扑学”，此名称持续沿用直至如今这般情况。然而，令人感到不幸的是，利斯廷以及他的妻子二者皆家境处于贫寒状态，常常出现收入难以满足支出的情形，时不时就得面对高利贷债主所带来的骚扰状况。绝大多数同事觉得这对夫妇的品行不太好，对他们很少怀有怜悯之情。所幸的是，有一位老友在关键时候提供帮助，当利斯廷处于濒临破产的状况时，他的老同学萨托里乌斯·冯·瓦尔特斯豪森（von）救赎了他们。挺久之前，二人一块儿读书之际，利斯廷照料过这位那时就得重病的友人，还救了他一条命。30年后，冯·瓦尔特斯豪森能回报恩人，把利斯廷的债务给偿还了。这样的命运反转出现在默比乌斯带的发现者身上，这可算得上是一件美谈。
默比乌斯生前未发表手稿中的原始图画（1858年）
不但默比乌斯带对数学家饱含了强大的吸引力，并且还激发了无数艺术家以及设计师去表达无限和完美的那种急切渴望。当中最为著名的要数毛里兹·埃舍尔，它所画出的那个活灵活现的默比乌斯带已然成为了20世纪制图术的富有标志性的作品。在埃舍尔于默比乌斯带启发之下所创作的作品里头，刻画了9只呈现出红铜色的蚂蚁在那永无尽头的带子之上爬行。
埃舍尔画廊里，有以《不可能三角形》、《瀑布》等为主题的作品，默比乌斯带也在该画廊之中，它的外观时常致使参观者陷入这样一种错觉，即默比乌斯带是一种不可能存在之图形，但默比乌斯带实实在在是存在的，只是有那么点出乎人们的意料罢了。
由红、黑、灰绿色构成的三组木版画，是埃舍尔在1963年创作的《默比乌斯带Ⅱ：红蚂蚁》，也就是《Möbius StripⅡ: Red Ants》。
埃舍尔不是唯一挖掘默比乌斯带特性的杰出艺术家，在20世纪30年代，瑞士雕刻家马克斯·比尔（Marx Bill）觉得，拓扑学的发展为艺术家们拓展了一片未知的领域，他用金属或花岗岩做材质，创作了一系列以“无穷丝带”为主题的雕刻作品。
20世纪70年代时，美国有个既是高能物理学家又是雕塑家的，名叫罗伯特·威尔逊的人用不锈钢和铜做出了类似的默比乌斯带，比尔做出了实实在在的三维默比乌斯带。英国有个叫约翰·罗宾森（John）的，其作品《永恒》（）是个用抛光铜制成的、被扭成默比乌斯带形状的三叶草结。在尼克·米的数码艺术作品里，能够看到闪闪发光的三叶草结悬浮在一片并不真实存在的海上（见下图）。很多人将默比乌斯带结构运用到建筑方面，从而创造出令人赞叹不已的建筑物以及生动且趣味十足能够用来供儿童玩耍放松的活动区。
尼克·米对约翰·罗宾森的雕塑进行了虚拟呈现，该雕塑是被扭成默比乌斯环形状的一种三叶草结。
小说家们同样瞅准了时机，将默比乌斯环构思进了充满奇幻色彩的故事里头，1949年时，亚瑟·C.克拉克（ C.）把整个偌大的广袤宇宙形容表述成“黑暗之墙”。让平凡的生活跟不可思议之物相融合，会更凸显出趣味，就像在阿明·道奇（Armin）所创作的短篇小说《一条名叫默比乌斯的地铁》（A Named Möbius）里头，波士顿的一条地铁线转变成为了默比乌斯带，从那以后，列车时常不见踪影，一位来自哈佛大学的数学教授被牵连到了里头……或许这才是故事的要点所在，这条地铁线说不定就是这位教授设计的！
当下，新材料技术以及各类思想迅猛发展，默比乌斯带却一直对人们的想象力发起挑战。不管是谁，都无无法躲开它的魅力，甚至可能有人会反过来羡慕那些压根没听说过默比乌斯带的小孩子。