证：同理，对其他份量亦满足。事实上这是预料之中的事，由于但凡满足角动量定义的热学量都满足如下对易关系：证：前面最后一步证明中，使用了如下对易关系：同理可证创立。[证毕]由前面证明过程可以看出，若对易括弧将J12用J1取代，即便有如下关系：这是由于证：同理亦创立。[证毕]所以这四个角动量算符有共同的正交归一完备的本征函数系。记为：综合上述对易关系可知：四个角动量算符两两对易（1）本征函数也两两对易，故也有共同完备的本征函数系，记为：耦合假象基矢非耦合假象基矢（二）耦合假象和无耦合假象因为这两组基矢都是正交归一完备的，所以可以互相表示，即：称为矢量耦合系数或-系数由于所以有于是上式求和只需对m2进行即可。考虑到m1=m-m2，则上式可改写为：或：（2）C-G系数的么正性我们晓得，两个假象之间的么正变换有一个相位不定性，假如取适当的相位规定，就可以使C-G系数为实数。共轭式将上式左乘用耦合假象基矢|j1,j2,j,m>展开：C-G系数实数性共轭式左乘上式，并注意非耦合假象基矢的正交归一性：对m2’=m2情况,得：考虑到上式两个C-G系数中总磁量子数与分量子数之间的关系：m2=m-m’1和m2=m-m1最后得：上式与关系式一起反映了C-G系数的么正性和实数性。
*§1电子的载流子§2电子的载流子算符和载流子波函数§3简单塞曼效应§4两个角动量耦合§5波谱精细结构第六章电子载流子（一）Stern-实验(二）波谱线精细结构（三）电子载流子假定（四）回转磁百分比§1电子的载流子（1）实验描述Z处于S态的氢原子（2）推论I。氢原子有磁矩因在非均匀磁场中发生偏转II。氢原子磁矩只有两种取向即空间量子化的S态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。NS（一）Stern-实验（3）讨论磁矩与磁场之倾角原子Z向受力剖析若原子磁矩可任意取向，则cos?可在（-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带并且实验结果是：出现的两条分立线对应cos?=-1和+1，处于S态的氢原子?=0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即载流子磁矩。3p3s5893?3p3/23p1/23s1/2D1D25896?5890?钠原子波谱中的一条亮黄线??5893?，用高帧率的波谱仪观测，可以看见该谱线似乎是由靠的很近的两条谱线组成。
其他原子波谱中也可以发觉这些谱线由更细的一些线组成的现象，称之为波谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的载流子能够得到解释（二）波谱线精细结构和1925年按照上述现象提出了电子载流子假定（1）每位电子都具有载流子角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：（2）每位电子都具有载流子磁矩，它与载流子角动量的关系为：载流子磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：Bohr磁子（三）电子载流子假定（1）电子回转磁百分比我们晓得，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：（2）轨道回转磁百分比则，轨道回转磁百分比为：可见电子回转磁百分比是轨道回转磁百分比的二倍（四）回转磁百分比§2电子的载流子算符和载流子波函数（一）载流子算符（二）含载流子的状态波函数（三）载流子算符的矩阵表示与Pauli矩阵（四）含载流子波函数的归一化和概率密度（五）载流子波函数（六）热学量平均值载流子角动量是纯量子概念，它不可能用精典热学来解释。载流子角动量也是一个热学量，并且它和其他热学量有着根本的差异一般的热学量都可以表示为座标和动量的函数而载流子角动量则与电子的座标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。
与其他热学量一样，载流子角动量也是用一个算符描写，记为载流子角动量轨道角动量优缺点与座标、动量无关不适用同是角动量满足同样的角动量对易关系（一）载流子算符因为载流子角动量在空间任意方向上的投影只能取±?/2两个值所以的本征值都是±?/2，其平方为[?/2]2算符的本征值是仿造载流子量子数s只有一个数值由于载流子是电子内部运动自由度，所以描写电子运动不仅用(x,y,z)三个座标变量外，还须要一个载流子变量(SZ），于是电子的含载流子的波函数需写为：因为SZ只取±?/2两个值，所以上式可写为两个份量：写成列矩阵规定列矩阵第一行对应于Sz=?/2，第二行对应于Sz=-?/2。若已知电子处于Sz=?/2或Sz=-?/2的载流子态，则波函数可分别写为：（二）含载流子的状态波函数（1）SZ的矩阵方式电子载流子算符（如SZ）是作用与电子载流子波函数上的，既然电子波函数表示成了2×1的列矩阵，那末，电子载流子算符的矩阵表示应当是2×2矩阵。由于Φ1/2描写的态，SZ有确定值?/2，所以Φ1/2是SZ的本征态，本征值为?/2，即有：矩阵方式同理对Φ–1/2处理，有最后得SZ的矩阵方式SZ是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值±?/2。
（三）载流子算符的矩阵表示与Pauli矩阵（2）Pauli算符1.Pauli算符的引进份量方式由于Sx,Sy,Sz的本征值都是±?/2，所以σx,σy,σz的本征值都是±1；σx2,σy2,σZ2的本征值都是。即：2.反对易关系基于σ的对易关系，可以证明σ各份量之间满足反对易关系:证：我们从对易关系:出发左乘σy右乘σy二式相乘同理可证:x,y份量的反对易关系亦创立.[证毕]或由对易关系和反对易关系还可以得到关于Pauli算符的如下十分有用性质：σy2=13.Pauli算符的矩阵方式依照定义求Pauli算符的其他两个份量令借助反对易关系σX简化为：令：c=exp[iα](α为实），则由热学量算符厄密性得：b=c*(或c=b*)σx2=I求σy的矩阵方式这儿有一个相位不定性，习惯上取α=0磁力矩方向，于是得到Pauli算符的矩阵方式为：从载流子算符与Pauli矩阵的关系自然得到载流子算符的矩阵表示：写成矩阵方式（1）归一化电子波函数表示成矩阵方式后，波函数的归一化时必须同时对载流子求和和对空间座标积分，即（2）概率密度表示t时刻在r点附近单位容积内找到电子的机率表示t时刻r点处单位容积内找到载流子Sz=?/2的电子的机率表示t时刻r点处单位容积内找到载流子Sz=–?/2的电子的机率在全空间找到Sz=?/2的电子的机率在全空间找到Sz=–?/2的电子的机率（四）含载流子波函数的归一化和概率密度波函数这是由于，一般载流子和轨道运动之间是有互相作用的，所以电子的载流子状态对轨道运动有影响。
然而磁力矩方向，当这些互相作用很小时，可以将其忽视，则ψ1,ψ2对(x,y,z)的依赖一样，即函数方式是相同的。此时Φ可以写成如下方式：求：载流子波函数χ(Sz)SZ的本征多项式令通常情况下，ψ1≠ψ2，两者对(x,y,z)的依赖是不一样的。（五）载流子波函数由于Sz是2×2矩阵，所以在S2,Sz为对角矩阵的假象内，χ1/2,χ-1/2都应是2×1的列矩阵。代入本征多项式得：由归一化条件确定a1所以两者是属于不同本征值的本征函数，彼此应当正交引进载流子后，任一载流子算符的函数G在Sz假象表示为2×2矩阵算符G在任笔力Φ中对载流子求平均的平均值算符G在Φ态中对座标和载流子同时求平均的平均值是：（六）热学量平均值§3简单塞曼效应（一）实验现象（二）氢、类氢原子在外场中的附加能（三）求解多项式（四）简单塞曼效应塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其波谱线发生分裂的现象。该现象在1896年被首先观察到（1）简单塞曼效应：在强磁场作用下，波谱线的分裂现象。（2）复杂塞曼效应：当外磁场较弱，轨道-载流子互相作用不能忽视时，将形成复杂塞曼效应。
（一）实验现象取外磁场方向沿Z向，则磁场造成的附加能（CGS制）为：磁场沿Z向（二）等式考虑强磁场忽视载流子-轨道互相作用，体系多项式：（二）氢、类氢原子在外场中的附加能按照上节剖析，没有载流子-轨道互相作用的波函数可写成：代入S—方程最后得?1满足的等式同理得?2满足的等式（1）当B=0时（无外场），是有心力场问题，等式退化为不考虑载流子时的情况。其解为：I。对氢原子情况II。对类氢原子情况如Li，Na，……等碱金属原子，核外电子对核库仑场有屏蔽作用，此时基态除了与n有关，并且与?有关，记为En?则有心力场等式可写为：（三）求解多项式因为（2）当B?0时（有外场）时所以在外磁场下，?n?m仍为等式的解，此时同理（1）剖析基态公式可知：在外磁场下，基态与n,l,m有关。原先m不同能量相同的简并现象被外磁场清除了。（2）外磁场存在时，能量与载流子状态有关。当原子处于S态时，l=0,m=0的原基态Enl分裂为二。
这正是Stern—实验所观察到的现象。（四）简单塞曼效应（3）波谱线分裂2p1sSz=?/2Sz=-?/2m+10-1m+10-100(a)无外磁场(b)有外磁场I。B=0无外磁场时电子从En?到En’?’的跃迁的谱线频度为：II。B?0有外磁场时依据上一章选择定则可知，所以谱线角频度可取三值：无磁场时的一条谱线被分裂成三条谱线Sz=?/2时，取+；Sz=??/2时，取?。我们已分别讨论过了只有L和只有S的情况，忽视了两者之间的互相作用，实际上，在两者都存在的情况下，就必须同时考虑轨道角动量和载流子，也就是说，须要研究L与S的耦合问题。下边我们普遍讨论一下两个角动量的耦合问题。（一）弱冠动量（二）耦合假象和无耦合假象§4两个角动量耦合设有J1,J2两个角动量，分别满足如下角动量对易关系：由于两者是互相独立的角动量，所以互相对易，即其份量对易关系可写为证：同理，对其他份量创立。[证毕]（1）二角动量之和构成弱冠动量（一）弱冠动量*