阿基米德原理推导和相关例题如下：
推导：
物体在液体中受到的浮力等于物体排开液体的重力。这一原理可以用阿基米德的原理解释：物体在液体中受到的浮力等于物体在空气中受到的浮力（物体静止时所受的力），而空气中的浮力与物体的体积和密度有关，液体中的浮力则与物体排开的液体的体积和密度有关。因此，当一个物体完全浸没在液体中时，它所受到的浮力大小等于它所排开的液体的重力。
例题：
一个边长为10cm的正方体铁块，质量为7.8kg，把它完全浸没在水中，受到的浮力是多少？
根据阿基米德原理，物体受到的浮力等于它排开的液体的重力。在这个问题中，铁块完全浸没在水中，排开的水的质量也是7.8kg。由于铁块的密度大于水的密度，所以铁块在水中受到的浮力等于它排开的水的重力，即F=G=mg=7.8kg×9.8N/kg=76.44N。
阿基米德原理推导：
浮力的大小等于物体排开的液体的重力，这个原理可以用数学公式表达为F浮=ρ液gV排，其中ρ液是液体的密度，V排是物体在液体中所排开的体积。这个原理可以用来解释许多不同的现象，例如为什么铁块在水中会下沉，而木块却可以浮在水面上。
相关例题：
题目：一个边长为10cm的正方体，密度为0.6g/cm³，放在密度为1.0g/cm³的液体中，求该物体静止时所受的浮力。
答案：根据阿基米德原理，物体所受的浮力等于它排开的液体的重力。因此，要计算浮力，需要知道正方体在液体中的体积。已知正方体的边长和密度，可以求出它的体积。再根据液体的密度和正方体在液体中的体积，可以求出它排开的液体的体积。最后，将排开的液体的重力（即浮力）用公式F=ρgV排计算出来。
解：正方体的体积为：$V = 10 \times 10 \times 10 = 10^{3}cm^{3}$
正方体排开的液体的体积为：$V_{排} = V - V_{物} = 10^{3} - 10^{3} = 0$
因此，正方体受到的浮力为：F = ρgV_{排} = 1.0 × 9.8 × 0 = 0N。
阿基米德原理推导
阿基米德原理是浮力原理，它指出物体在液体中所受到的浮力等于它所排开的液体所受到的重力。这个原理是由古希腊科学家阿基米德在研究浮力问题时发现的。
推导过程可以如下：
假设有一个物体A，它浸在液体B中。根据牛顿第三定律，物体A会给液体B一个向上的力，同时物体A也会受到液体B给它的向下的力，这个力等于物体A排开的液体的重力。
具体来说，假设物体A的体积为V，密度为ρA，液体的密度为ρB，高度为h。根据浮力公式，物体A受到的浮力F = ρBgV，其中g是重力加速度。同时，物体A排开的液体的体积V排 = V，因此浮力大小也可以表示为V排g。由于浮力等于排开的液体所受的重力，所以有ρBgV = ρBgV排，化简后得到F = G排。
这就是阿基米德原理的推导过程。
相关例题和常见问题
例题：一个边长为10cm的正方体铁块，密度为7.9g/cm³，放在密度为1g/cm³的液体中，求它受到的浮力。
解析：根据阿基米德原理，物体受到的浮力等于它排开的液体所受的重力。因此，我们需要先算出铁块的体积，再算出它排开的液体的体积，最后算出浮力。
常见问题：
1. 什么是阿基米德原理？
2. 阿基米德原理的推导过程是什么？
3. 如何应用阿基米德原理计算浮力？
4. 如何根据浮力计算排开的液体体积？
5. 不同密度的液体对物体浮力的影响是什么？
6. 如何根据阿基米德原理判断物体是否上浮或下沉？