前言
在量子理论里, 有个概念叫整体相位变换, 它看上去简单, 实际上相当深刻。它的意思是, 将一个量子态整个儿乘以同一个相位因子, 且不改变该相位在空间以及时间里的相对分布。就单个量子态来说, 这样的变换通常不会让任何可观测到的结果发生改变。而对于量子场来讲，整体相位变换又和连续对称性、守恒荷还有粒子数守恒等问题存在关联。它出现在初等量子力学的波函数解释里, 它还出现在量子场论的对称性结构中之中, 它是理解“什么才是物理可观测量”的重要入口, 它也是理解“什么仅仅是数学表述冗余”的重要入口。
已经存在于经典波动里的是相位, 像水波、声波、电磁波都具备相位, 两个波的相对相位会对干涉强度起到影响作用。量子力学承接了波动描述, 不过量子态的相位含义更为特殊。波函数本身通常无法直接进行观测, 能够被观测的是概率、平均值、跃迁率以及干涉条纹等这类量。整体相位变换并不改变这些结果, 所以人们讲量子态中整体相位没有直接物理意义。然而, 这一说法不能被以简单的方式理解成“相位没有意义”。真切具备物理意义的在于那相对相位, 还有路径相位差以及和规范结构有所关联的相位变化。整体相位虽说不能够直接进行观测, 然而却揭示出了量子态空间的几何性质, 并且在更为高级的理论之中通向守恒律。
本文会就整体相位变换来展开论述, 首先, 阐述其于波函数层面的定义以及可观测量不变性, 接着, 剖析它同相对相位、干涉实验、态矢量空间以及概率解释的关系, 随后, 探讨整体相位变换在薛定谔方程、量子场论、诺特定理以及规范思想里的作用, 同时说明整体相位变换跟局域相位变换的差别。最后讨论一些易于混淆的问题。尤其是“整体相位不可观测”与“相位现象很重要”互相之间并不矛盾。透过这些剖析能够发觉, 整体相位变换尽管在形式方面仅仅是乘上一个复数因子, 然而在量子理论的逻辑架构里占据着关键位置。
1、整体相位变换的基本定义
于量子力学里头, 一个纯态一般是藉由态矢量或者波函数予以表示的。要是借助波函数ψ(x,t)去描绘粒子在位置表象里的状态, 这么说来整个相位变换就是将整个波函数乘上一个模长为1的复数相位因子。它的形式能够写成:
ψ'(x,t) = e^(iα) * ψ(x,t)
此地α乃实常数, i是虚数单位。所谓“整体”, 意即α不依存于位置x, 亦不依存于时间t；其对于整个态的全部部分皆相同。要是α随位置或者时间变动, 那就不再是整体相位变换, 而步入局域相位变换或者更普遍的规范变换问题。
复平面里, 复数相位因子e^(iα)的模长是为1的, 所以它仅仅会对在复平面之中波函数的方向予以变更, 而不会对波函数的模造成改变。量子力学范畴内, 概率密度是会由波函数模平方来给出的:
ρ(x,t) = |ψ(x,t)|^2
经过整体相位变换后高中物理电压电流相位变化，有：
|ψ'(x,t)|的平方等于|e的(iα)次方乘以ψ(x,t)|的平方, 而|e的(iα)次方乘以ψ(x,t)|的平方又等于|ψ(x,t)|的平方。
这表明粒子于空间某点邻近出现的概率密度保持恒定, 若持续核算任意力学量的平均值, 同样会发觉整体相位因子与自身复共轭相位的因子会彼此产生背离, 像某一可观测量所对应的算符A, 它的期望值是:
变换后变为：
= =
由于α属于常数范畴, 并且相位因子仅仅是一般性的复数, 它跟算符A进行交互, 因而期望值维持不变, 这便是整体相位无法被观测的基本数学方面的缘由。
从态矢量的角度来讲, |ψ>以及e^(iα)|ψ>并非意味着两个物理学意义上不一样的纯态, 不过是同一物理态不一样的数学表示。量子态确切的对象并非希尔伯特空间里边某一个特定的矢量, 而是由全部仅仅相差整体相位的矢量所构成的等价类。也就是说, 一个物理态对应着一条复射线, 并非一个单个的矢量。这一点跟经典力学里的状态概念存在差异。在经典力学里头, 要是给定了位置以及动量, 一般情况下就能够确定状态了；然而在量子力学当中呢, 态矢量除了本身之外, 还存在着数学表示方面的相位冗余情况, 这种冗余得要借助等价关系来予以排除。
这种冗余并非理论缺陷, 而是由复数波函数描述所带来的自然结构。波函数能够叠加, 能够干涉, 正因如此, 复相位才成为量子理论的构成部分；整体相位会对所有分量一同进行改变, 所以并不会影响任何相对关系。整体相位变换因而成为区分“表示方式”与“物理内容”的首个典型例子。
2、概率解释中的整体相位不变性
玻恩概率解释表明, 波函数的模的平方给出测量结果的概率分布, 此解释让波函数和实验结果产生联系, 同时马上表明整体相位不会对单次位置测量的统计规律具有影响, 可是, 量子力学并非仅仅研究位置概率, 还会研究动量、能量、自旋以及任意可观测量的概率分布, 整体相位不变性对所有这些测量均成立。
按照一般态矢量作为例子来讲, 要是对某个可观测量展开测量, 其本征态被标记成|a_n> , 当系统处于|ψ> 的时候获取到结果a_n 的概率是:
P(a_n) = ||^2
倘若态矢量出现整体状况下的相位变换情形, 那么跃迁振幅会转变成为等于e的（指数幂为iα）次方, 然而概率依旧是:
P撇在a下标n处的值, 等于e的iα次方的模的平方, 等于P在a下标n处的值。
故而不管测量基底怎样去做选择, 整体相位都绝不会对测量概率产生改变, 这里展现出了一个关键事实, 量子理论里的直接可观测量通常并非振幅自身, 而是振幅之间借助模平方或者内积组合以后所获取的实数结局, 整体相位在这样的组合当中会被消除。
不过, 不能够因为这样就认为波函数的相位通通都没有意义, 设置一个态是两个本征态的叠加。
|ψ> = c_1|1> + c_2|2>
若把整个态乘上e^(iα), 所得到的依旧是同一个物理态, 然而要是仅仅改变c_1与c_2之间的相对相位, 那么通常会使测量结果发生改变。比如说c_1和c_2的模长保持不变不过相位差出现变化, 在某些测量基底下的干涉项就会产生改变。所以, 概率解释真正排除掉的是共同相位, 而非所有的相位信息。
整体相位保持不变的特性, 亦表明归一化的条件, 和物理态的表示之间, 是存在着某种关系的。一般而言, 会有这样的要求:
= 1
就整体相位因子而言, 它不会使归一化发生改变, 原因在于它的模长是1。要是乘以一个模长并非1的复数, 那么归一化便会出现变化, 不过重新进行归一化之后, 依旧有可能对应同一个物理态。确切来讲, 纯态是由非零态矢量的等价类来予以表示的, 任意非零复数倍借助归一化以及相位选择都能够归化为同一射线。为了达到便利的目的, 人们普遍会先开展归一化操作, 随后再探讨只剩下整体相位的自由度的情况。
于实际计算之时, 挑选某个整体相位, 常常是为了将表达予以简化。比如说, 能够把某个非零系数选定为实数正值, 又或者是让某个初始时刻的波函数具备较为简单的形式。这般的选择类似于坐标系选择, 并不会改变物理内容, 然而却能够使推导变得更为清楚。要是计算结果依赖于这种经人为挑选的整体相位, 通常而言就表明在计算当中混入了不应该出现的表示依赖。
3、整体相位与相对相位的区别
如果要理解整体相位变换, 那就必须并且一定要将其清楚明确地同相对相位鉴别区分开来。整体相位指的那种情况是, 对整个态都一视同仁地同时施加一模一样的同一个相位 , 其所涉及 的对象当中所有的分量都一起同步地进行旋转。相对相位讲述的却是另外一种状况 , 这是不同分量彼此之间构成形成的 的相位差。前者是不能够直接进行观测的 , 而与之形成鲜明对比的后者往往常常会决定干涉以及测量概率。
考虑一个二能级系统钓鱼网，态矢量可写为：
|ψ> = a|0> + b * e^(iφ)|1>
假设将整个态乘上e^(iα)之后, 得到了这样二者之和, 其一为e^(iα)a|0>, 其二是e^(i(α+φ))b|1>, 两个分量的相位皆增添了α, 只是它们之间的差值依旧是φ。所以整体相位不会改变态原本具备的可观测性质。反之, 要是φ产生变化, 而a、b的模维持不变, 那么系统在某些测量基底当中的概率就会出现改变。比如在由(|0> + |1>)以及(|0> - |1>)所构成的方向上去进行测量的时候, 概率里涵盖了两个分量的干涉项, 而干涉项确切地依赖着φ。
这一情况借由双缝干涉能够予以说明, 粒子经由两条路径抵达屏幕, 要是两条路径的振幅分别是ψ_1与ψ_2, 那么总振幅为ψ_1加上ψ_2, 概率里面含有交叉项。
P等于, |ψ_1 + ψ_2|的平方, 它等于, |ψ_1|的平方加上, |ψ_2|的平方再加上, 2乘以实部括号内, ψ_1的共轭与ψ_2相乘。
若将两个路径振幅一同乘以同一个整体相位, 交叉项不会改变, 这是由于ψ_1^* * ψ_2里的相位能够相互抵消。然而要是仅给其中的一路增添相位, ψ_1^* * ψ_2就会产生变化, 干涉条纹的位置同样会发生移动。这表明实验测量的并非某一路振幅的“绝 对相位”, 而是两路之间存在的相位差。
在量子信息里头, 相对相位同样有着关键的地位。一个量子比特的态能借助两个基态叠加构成。整体相位不会使得量子比特所代表的物理状況产生变化, 并不过是相对相位确定它于布洛赫球上的方位。要是把态从|0> + |1>转变为|0> - |1>, 这二者并非仅仅相差整体相位, 却是在相干叠加关系里存在差异, 经由恰当测量能够予以区分。要是将|0> + |1>整个乘以-1, 那仅仅是同一物理态的另外一种表达方式。
非稳定固定的相对动态相位会随着具有相关特性动态化且产生改变有所演化生成, 不同的能量本征态会随着时间的持续有着不同程度的相位积累, 能量之间所呈现的差值致使相对之相位会根据时间不同情况地产生不停变化, 进而由这种动态性变化使得振荡现象得以引发出现并导致相关变化；倘若系统处于单一的能量本征态状况下, 那么其随着时间产生的演化活动所带来的只是围绕完整全面性方面的相位变化, 众多的可观测量并不会依附相关联系跟随时间进行变化；要是系统的能量体现为多方面能量本征态叠加的综合性状况, 不同呈现状态的分量相位在变化进程方面速度是不一样的, 存在可观性的测量数值就有可能跟随时间产生振荡活动；从以上这些现象可以清晰明了地看出, 要判断相位是否具有物理方面所蕴含的意义, 其关键的衡量标准并不在于相位自身是否存在, 而是在于它是否能够进入到具备相互比较性质的相对关系当中。
4、整体相位变换与薛定谔方程
整体相位变换不但让概率以及期望值维持不变, 还跟薛定谔方程的线性结构相契合。非相对论量子力学里的薛定谔方程能够写成:
iħ * ∂ψ/∂t = Hψ
若ψ是那个方程的解, 且α作为常数, 那么ψ' = e^(iα)ψ同样是解。因为时间微分作用于ψ'时, 常数相位因子能够直接被提出；哈密顿算符作用的时候也以同样方式提出。于是方程两边一同乘以e^(iα), 等式依旧成立。这表明整体相位变换是薛定谔方程的一个对称变换。
要是α并非是常数, 而是作为时间函数α(t)存在, 那么情况就会不一样。在这个时候, ∂ψ'/∂t就会额外多出一项和dα/dt产生关联的贡献。要是不同时去改变哈密顿量或者引入对应的补偿的项目, 原来的方程通常就不再维持那种相同的形式。要是α还对外太空位置有依赖, 动量算符在施展作用的时候也会生成额外的项目。这恰恰就是整体相位变换和局域相位变换的根本差异的其中一个。整体相位因为不随着时间和空间而发生变化, 所以不会引入额外的导数项目；局域相位却会让导数的结构发生改变, 必须引入规范的场才能够让形式维持不变。
能量本征态在时间方面的演化同样能够表明整体相位所处的地位, 要是系统处于能量本征态H|E> = E|E>, 那么它随着时间的演化情况是这样的:
|ψ(t)> = e^(-iEt/ħ)|E>
单一能量本征态下, 这个时间因子属于整体相位, 故而任意不含时间的可观测量期望值未有改变。这便诠释了能量本征态为何被称作定态。这里的“定”, 并非讲态矢量全然不变, 而是说物理可观测性质保持不变。态矢量于希尔伯特空间沿着相位方向旋转, 然而这种转动不会产生可观测的效果。
若态是两个能量本征态叠加：
|ψ(t)>等于, c_1乘以, e的负iE_1t除以ħ次方乘以|E_1>, 加上, c_2乘以, e的负iE_2t除以ħ次方乘以|E_2>。
这时候能够提取出一个共同因子e^(-iE_1t/ħ), 它属于整体相位, 不存在物理方面的影响, 留下来的相对相位e^(-i(E_2-E_1)t/ħ)才会致使出现可观测的振荡, 好多譬如量子拍频、拉比振荡、味振荡之类的现象, 都能够借助这种相对相位的演化得以理解。
整体的相位, 是和能量零点的选择存在关联的。要是将哈密顿量加上一个常数E_0, 那么所有态的时间演化, 都会额外出现共同的因子e^(-iE_0t/ħ)。对于封闭系统来讲, 这一般不会改变能够观测到的结果, 原因在于它仅仅是跟时间相关的共同相位。唯有能量的差值, 才决定相对相位的变化, 所以能量零点能够任意去进行选择。这样的一种情况, 在原子能级、分子光谱以及凝聚态能带理论当中, 都是极为常见的。人们所关心的跃迁频率, 实际上关注的是能级的差值, 并非绝对的能量数值。
5、态空间中的射线结构
人们重新理解量子态空间, 是受到整体相位不可观测这一事实的促使。态矢量在复希尔伯特空间中, 从数学角度来看；在物理意义上, 相差一个非零复数倍的归一化代表对应同一纯态。若仅仅考虑归一化态, 那么相差整体相位的矢量属于同一物理点。于是乎, 量子纯态空间并非普通球面, 而是由复射线构成的空间。
有这样一种射线结构, 它对于量子理论的解释而言十分关键。首先一点, 乃是表明态矢量它并不是直接意义上的物理实体, 而是物理态所进行的一种坐标化的呈现方式。与之相类似的是, 在经典力学领域里面, 运用不同的坐标去描述同在一处地方位置之时, 各个不同坐标所代表的值有可能是不一样的, 然而其物理点却是相同的。整体相位的选取同样具有这样一种表示方面的自由度。其次, 射线的这款结构能够阐释清楚为何在干涉当中相对相位会具备物理层面的实际意义。尽管每一个态的整体相位并没有什么实质意义, 但是两个分量于同一叠加状态当中存在着相对应的关系, 这种关系没办法被单一的整体相位予以消除掉。
态空间的几何关联着几何相位, 一个在参数空间里遭逢缓慢演化, 最终回归原本物理态的量子系统, 其态矢量或许会获取一个总相位, 此总相位里面, 一部分源自动力学演化, 另一部分和路径几何存在关联, 单独瞧最终态跟初态之间的整体相位, 好像难以被观测到, 然而, 如果使该态跟另一条参考路径生成干涉, 几何相位便能呈现为相对相位, 因而, 整体相位难以被观测并不意味着相位积累在干涉安排里没法显现, 关键在于, 唯有相位差方才能够进入实验。
态空间当中的射线观念, 对理解量子测量也是有着帮助作用的。测量概率是由态跟测量本征态之间的投影来进行决定的, 然而投影模平方是不会受到整体相位的影响的。所以, 量子测量理论于射线空间之上是被天然定义的。要是有一个理论预言是依赖态矢量所代表的整体相位的, 那么这就不符合量子测量的基本结构了。与之相反的是, 密度矩阵形式能够自动把这种冗余给消除掉。纯态密度矩阵是这样的:
ρ变成了e的（iα）次方乘以|ψ>, 等于根号二分之一乘以（|0>的A态乘以|1>的B态 加上 |1>的A态乘以|0>的B态）。
倘若将整个|Ψ>乘上e^(iα), 那么物理态不会发生改变。然而要是仅仅使第二项额外出现相位e^(iφ), 所得到的纠缠态在某些联合测量的情形下会展现出不一样的关联。在这里可以进行观测的是两个分支相互之间的相对相位, 并非整个纠缠态共同拥有的相位。
于多体理论里头, 粒子数表象常常会把态给写成不同粒子数分量的叠加形式。要是理论具备粒子数守恒这种情况, 那么不同粒子数扇区其间的相对相位有时候是没办法通过平常观测直接测量出来的状态, 这跟超选择规则是有着关联的。超选择规则所意味的表示某些相干叠加, 尽管在数学层面能够书写, 然而却不存在能够测量其相对相位的物理操作举措。在这个时候, 相位的可观测性不仅是由数学表达来决定的情形, 而且还会受到允许的的物理操作的限制约束。
凝聚态物理里的超导现象, 常涉及宏观相位。其中超导序参量能写成有幅度与相位的复量, 可其整体相位自身不可直接测量。不过, 两个超导体之间的相位差会致使约瑟夫森电流。此例子再次展现了一项普遍原则, 即单个系统的整体相位并非可观测量。只有在两个系统构建相干参照后, 相位差方才会进入实验范畴。约瑟夫森效应里的电流是与相位差有关系, 并非和某单个超导体的绝对相位相关。
与之相类似, 玻色凝聚体的宏观波函数是有着相位的。对于单个孤立的凝聚体而言, 其整体相位能够任意去进行选择；而当两个凝聚体出现重叠情况的时候, 要是存在相干关系, 那么便会出现干涉条纹。在实验当中所看到的条纹反映的是相位差, 并非绝对相位。多体系统如此一来并没有推翻整体相位不可观测这一原则, 相反是以更为丰富的方式展现出了相对相位的物理作用。
9、常见误解与概念澄清
就整体相位变换而言, 常见误区当中的一个是, 将“整体相位没办法观测”理解成“量子相位全都不可观测”。这种讲法毫无疑问是不正确的。干涉, 能级跃迁, 几何相位, 阿哈罗诺夫—玻姆效应, 约瑟夫森效应等等, 都显示出, 相位差能够带来清晰的实验成果。不可观测的是对整个态一块儿施加的共同相位, 而并非各部分相互之间、各路径相互之间或者各系统相互之间的相位差。
第二个误解在于, 觉得整体相位压根就没有理论方面的意义。尽管其并不对应能够直接进行观测的量, 可它却有助于去确定量子态的等价关系, 进而致使原子状态集合具备射线结构。再者, 场变量的整体相位对称性还能够借助诺特定理推算出守恒荷因子, 因而, 整体相位变换在不同的层次当中有着不一样的意味, 在态矢量代表这个层级, 它展现出描述存在冗余的情况, 在场论内部对称这个层级, 它有可能对应着真实的守恒定律。
第三个误解在于将整体相位和能量零点弄混淆, 给哈密顿量加上一个常数, 会致使所有态随着时间额外出现共同相位, 在封闭系统里边, 通常而言是没有可观测方面的影响的, 然而要是探讨引力范畴内的能量、含时外场或者不同系统相互之间的相位参照, 问题或许会更为复杂, 在一般的量子力学当中, 能量差对频率起着决定作用, 并且绝对能量零点能够自由进行选择, 这与整体相位不可被观测紧密关联, 但是绝不能把所有跟能量基准有关的问题通通简单归结为一句“没有意义”。
第四个误解在于认定局域相位同样是仅仅无意义而作的变换, 实际上, 局域相位变换需导入规范场方可令理论形式维持不变, 其结构径直关联电磁相互作用以及更为普遍的规范理论, 局域相位自身也许是规范冗余, 然而跟其相关的场强、闭合路径相位、规范不变量皆能够产生物理后果, 整体相位是最为简单的对称操作, 局域相位却引出相互作用的深层结构。
第五个误解成了, 将数学里的相位选择视作实验里能够随意变动的物理操作。给一个孤立态乘上整体相位, 仅仅是改写表示, 而非实际施加了某种能够测量的操作。真正的物理操作得能改变相对相位、能级差、路径相位或者系统间的相干关系。要是实验装置宣称“测量绝对相位”, 实际上肯定引入了某个参考系统, 测到的依旧是相对于参考的相位差。
确保这些问题得以澄清, 对精准判定整个相位转变所处的准确位置会有所助益。它并非是毫无价值的数学方面细枝末节, 也并非是能够直接进行测量的物理量；它属于一种能够揭示量子描述存在冗余情况、相位具有相对性以及对称性结构等内容的基本概念。
10、整体相位变换的物理图像
对于整体相位变换, 能够依靠一个简单图像予以理解。将量子态看成复矢量空间当中的方向, 整体相位如同沿着那与物理态等价的圆周去旋转。这般旋转使得矢量于数学空间里的代表产生了改变, 然而却并未促使它所对应的射线实现改变。可观测量仅仅依赖射线, 并非对圆周上面的具体点产生依赖。所以, 整体相位有着类似一种“看不见的指针角度”的情况: 要是所有相关指针均同时转动相同角度, 那么任何比较的结果都不会发生变化；唯有不同指针之间出现了角度之差, 才会展现出效果。
这种图像还能够解说为何相位于干涉里是重要的, 干涉实验从本质上来说是将两个亦或是多个振幅予以重新合并, 使得它们的相对方向对合成结果产生影响, 要是每个振幅都转动相同的角度, 那么合成强度不会发生改变, 要是其中的一个振幅相对于另外一个进行转动, 合成强度便将会出现改变, 整体相位不存在可观测性, 这是由于它没有给出可供比较的差异, 相对相位具备可观测性, 这是因为它改变了振幅相加时的几何关系。
于理论建构里, 整体相位变换给出一种不变性检验, 任意合理的量子预言均应于整体相位变换下维持不变。概率、期望值、密度矩阵、散射截面以及关联函数之类的物理量皆应合乎这种要求。倘若某一量随态的整体相位转变而发生变化, 那它通常并非物理可观测量, 或者其表达方式尚未被构造成相位不变量。
于更高层级之上, 整体相位变换彰显出对称性之力量, 对称性并非仅为几何旋转、平移, 亦可为内部空间里的相位旋转。空间平移跟动量守恒相对应, 时间平移与能量守恒相对应, 场的整体相位对称性或许对应电荷守恒。此种联系令相位变换从波函数解释步入基本相互作用理论, 成为理解守恒律的一部分。
整体相位的概念高中物理电压电流相位变化，还会提醒人们, 物理实在跟数学表示之间, 并非总是一一对应的联系。一个物理状态, 有多个数学代表；理论里的某些自由度, 可能仅为描述方式, 并非额外实体。现代物理里, 许多深刻思想, 都和这种区分存在关联。整体相位变换, 是最早、最清楚, 且最容易借助计算验证的例子之一。
总结
能够用于去区分物理内容以及数学表示的重要概念, 那是整个量子理论里面的整体相位变换了。对于只是单个的量子态来讲, 把波函数或者态矢量整个去乘上同一个模长为1的相位因子, 这样做并不会改变概率密度, 以及测量概率等等, 包括了不会影响期望值, 以及不会影响密度矩阵, 所以相差整体相位的态是代表同一物理态的。真正有着可观测意义的其实是相对相位, 它在干涉, 对叠加态演化, 还有几何相位, 以及阿哈罗诺夫—玻姆效应, 还有多体相干现象之中发挥着作用。整体相位变换把量子态空间的射线结构给揭示出来了, 并且在量子场论里进一步呈现为整体U(1)相位对称性, 依据诺特定理, 这类连续对称性能够对应守恒荷。对比局域相位变换来看, 整体相位变换不会引入额外导数项, 但局域相位不变性却需要规范场参与, 进而通向电磁相互作用等规范理论。由此能够明白, 整体相位尽管自身没办法被直接测量, 可并非是无关紧要的。它确定了量子态数学表示与物理内容的边界, 提示我们哪些自由度是本质的, 哪些是冗余的。恰巧是这种称得上是“冗余”的形态, 给构建规范原理以及相互作用理论供应了逻辑起始点, 进而致使整个所谓的相位变成了衔接量子力学基础和场论前沿地段的一座桥梁。