但是，不存在那种能在任何地方都适用的“学习方法”，这并不表明就不存在相对来说能够用来回答“怎样学习”这个难题且较为有效的一些行动准则。我会借助我同学的故事，为我所表达的观点给出客观的例证。实际上，下面这些经验之谈或者基本观点，大多源自于我班同学的亲身感受，并且也很能引起我的共鸣。所以，有些标号为“我的”观点，实际上就是“我们的”观点。
认识你自己
翟灿芳是我的大学同学，在小学六年级的时候，他就拿到了全县算术比赛的第一名！后来1963年考入初中，他的数学成绩在学校里可是遥遥领先的！到了学到平面几何的那个学期，好多同学搞不清楚状况，而他却像得了要领似的。后面，他老师解不出的数学题都来问他，他每一道都能解出来。所以同学们都叫他“小华罗庚”。风头正劲的翟灿芳被校长请到全校大会上，讲讲他到底是怎样学好数学的。可不管他怎么费尽心思去想，他都弄不明白自己是如何学好数学的。最终，他只能随意地编造出类似“愚公移山”那般的励志故事，这个故事与舆论一致称赞的“笨鸟先飞”的说法，其基调全然是相同的。
几十年之后，当翟灿芳同我谈及这段往事的时候，他以“胡说”两个字，对他在初中大会之上传授“愚公移山”的学习法宝这一历史事件做出了定性。随后他得出了这样的结论。“其实兴趣和天资是最为重要的。”。
提问“怎样学习”这件事，翟灿芳已为我们给出了回答的先决条件，其一，兴趣大于一切，其二，天资也是成功的关键因素，学习的动力源于对所学科目的热爱，而这种因兴趣而生的热爱，常常会被自身天赋之才所点燃。
杨振宁先生天赋所在是理论探讨且与生俱来；动手实验则是他的弱项。他初到芝加哥大学物理系攻读博士学位之时、做实验常常遭遇挫折；实验室里甚至流传出一则笑话，即“哪里出现爆炸，哪里就会有杨振宁”。所以，把杨振宁培育成像丁肇中那般的实验物理学家只会是犹如天方夜谭般的美梦；然而强大的数理分析能力、超越常人的科学想象力铸就了他作为当代伟大理论物理学家的一生。
几十年前，处于那个特别时辰，人们所信奉的乃是激励众人的一则励志成语，即“笨鸟先飞”。这句话的确存有激励进取努力去做的正面作用，然而，无法否认的这一简单情形是：会飞的平常白鹅，不管怎样鼓足力气往上飞，却始终都没办法如白天鹅那般在天空中自由自在地飞翔。所以，往昔的四字豪情话语，以及现今这句更加响声响亮传得很远的口号“不让孩子输在起跑线上”，从某种层面来讲，在读书求学这件事上皆为迷惑误导民众的“罪魁祸首”。在关于怎样展开学习这事上面，我们仍旧需要去聆听苏格拉底“认识你自己”的诚挚劝告。对于姿态而言，正确的呈现应为这般：无论自身是“生而知之”又或者是“天生愚钝”，你都要充分认识自己，做到扬长避短，进而培养起对于你真正所喜爱的某门学科带有兴趣，寻觅得出适合自己的方法来，依靠勤奋去读书学习，最终最大限度地飞翔至与你的才华以及能力相匹配的某一高度。
告别“多动症”
好了，就如同在数学领域常常会做的那般，我们先给出一组假设：学生已然建立起了对于数学的兴趣，而且心甘情愿地勤奋去学习。无论他或者她是天赋极为出众还是智力处于平常水平，我们在此处都丝毫不会在意。在这样理想的一种状态之下，究竟要怎样才能够事半功倍地学好这门学科，进而无需获得来自家长、辅导员、心理学家或者校方专门负责学生工作的相关部门等等诸多非数学因素的配合呢？
首先我要着重表明的是，学习最为关键的首要因素是专注。实在难以想象，一个患有“多动症”，注意力极其不集中的学生能够把书念好，特别是在学好数学方面。要知道，深奥的极限理论倘若不是全神贯注、一字一句地钻研，就无法深刻领悟其中的精神内涵，最多也就是处于云雾之中，似懂非懂，仅有一知半解。我想要点明的是，专注的人看书一小时所产生的效果，等同于精神涣散的人五个小时的智力付出。真正想着要学好数学的话，注意力欠佳的人一定得下定决心，排除重重困难，首先学会专注这一如同童子功般的本领。
该如何去掌握此门功夫呢，京剧大师梅兰芳先生小时候两眼略微近视，致使眼神无法外露，眼珠转动也不灵活，这对一个演员而言是个致命伤，恰似学数学者先患上了“多动症”，拜师之际，老师厌恶他的一双“死鱼眼睛”而不愿教他，然而他不灰心，借助驯养鸽子来练眼功，久而久之练就了后来在舞台上顾盼神采四溢、明亮闪耀的双眼。
反过来思考，我们能够得出治疗“专注缺失症”的绝妙法子：前往人员众多且喧闹嘈杂的地方去读书。要是你不乐意走到室外，那也可以摁开电视机，并挑选一则极为 的节目，而且要让它发出声音，接着安坐在电视面前看书用功，竭力促使自身不抬头去看电视。起初的时候，你估摸会被身旁摇摆晃动的人群以及高音量的“组合演唱”，又或者电视里扣人心弦的演出扰乱得心烦意乱，无法迈入书的意境。然而，倘若你迫使自己目光锐利地凝视眼前的铅字，不去理会他人与他物，直至达到即便天塌下来也毫不惧怕的程度，那么你的注意力便会逐步提升。
次数不多之后，你专注能力冲向90分高度。那时，看书你或许像我大学同学王雪平一动不动——班级同学里他最早任海外大学正教授。如此，祝贺你具备学好数学必备条件。然而，这并非充分条件。所以你要继续读下去。
王雪平在南京大学本科生宿舍，1980年左右。本图由作者提供
理解概念而不是背诵它
在长久的读书历程当中，得出学好数学极关键的诀窍是对概念的透彻了解。数学把公理与公设当作前提，把定义当作引领，拿逻辑当作工具，渐渐推导开紧紧环绕在被定义的概念四周周围的繁多命题中。于这个环节里，推理的艺术弥漫包揽一切，所关联关涉其中的概念到处都是。因而，一旦碰到某个概念，就应当于脑海之内泛起显现有关此它的清晰状如实物的形象画面。
为啥概念如此关键，好多学生却不将其当回事呢？其中一个缘由可能是，背诵定义相较于理解定义来讲，更为容易、更加轻松。优秀教科书中的数学定义，表述得极为清晰，还很精简，就是没有任何多余的话，每个字都具备作用。然而要彻底领会复杂定义的内在涵义，实在不是一件简单的事，它需要持续不断地苦思冥想、费尽心思。
看自己是不是真的弄明白一个定义，有个巧妙的办法，那就是让自己去写出当这个定义不成立时的一句话表述。要是写不出来，那可能距离真正理解这个定义还有一定差距。
在此列举一个例子，假定读者学过“ε - δ”语言的极限定义，让我们先来回忆一下这个定义，即我们表述函数f当x趋向于a时的极限是L，倘若任意给定正数ε，存在正数δ，致使当处于f的定义域内的x满足不等式0 < |x - a| < δ时，不等式|f(x) - L| < ε就会成立，那么，“函数在a点的极限并非L”这种现象该如何进行陈述呢？
这是一种有关性质不具备成立状况的表述。当该性质相对简易时，否定的那种表述同样简易。举例来讲，“我是一名学生”的否定陈述便是“我不是一名学生”。然而，对于囊括“任给”、“存在”、“当...就”等词汇与短语的繁杂界定而言，其否定句子并非那么易于应对。这得动用我们头脑里全部的逻辑机制，挥动分析的利刃，才能够达成。
追求只是记忆，而不愿意去思考，这是好多人在学习数学的时候存在的一个很大的阻碍。有一些同学，早就已经把上述所说的极限定义背得特别熟练了初中数学物理怎么学，然而就是没办法赢得对方的喜爱，一旦做起稍微有点挑战性的极限题目，就陷入困惑当中了。特别是在需要去证明极限不存在的那种情形下，就更加不知道该怎么办才好了。
费恩曼读书法
的确，存在渴望展开思考之人，只不过，或许是因某些难以把控的内在以及外来源头因素，致使面对复杂定义或者具备深度的证明时，瞬间便会觉得难以领会，在这样的时刻，耐心便发挥出了关键的效用。
于此不妨借取美国物理学家费恩曼，在其23岁之际给予14岁妹妹的读书指引，即“你由起始处读起，尽可能地持续往下读，直至你全然不明所以时，再自起始点重新开始。如此坚持着往下读，直至你能够完全读懂为止。”这般方法是切实可行且有效的，极为适合那些期望不借助他人进行自学的自学者予以采用。
美国理论物理学家理查德·费恩曼。图片来源：
在校学习的时候，鉴于我的理解能力并非特别差劲，再加上念书之际相当专注，学习的效率并非很低，所以有精力大量去阅读参考书籍或者和课程不相关的课外书籍。我的读书方式实际上遵循的便是费恩曼的读书法——尽管那个时候我并不知晓他是什么样的人。一旦我阅读到某个地方被难住了，就明白我对之前书中所引入的新的概念存在问题，于是我就返回到前面应该读的地方再次阅读一遍。这种反复进行阅读的来回作战，我不但不会感觉到枯燥乏味，反而越读越兴致勃勃啦，是因为每读一次都会有全新的理解、全新的收获。
我于大学阶段所读过的那些参考书或者课外书籍，像匈牙利人黎茨 ( Riesz) 以及塞可佛尔维 - 纳吉 (Béla Szö - Nagy) 的名著《泛函分析讲义》( )，皆是如此缓缓地往下啃读的。到了研究生阶段，自由可支配的时间更为众多，我亦是乐意广泛地翻阅专业基础书籍以及研究用参考书。在南大攻读硕士研究生时期，我们几个一同求学的友人阅读了颇具深厚内涵的《凸分析》( )。
我坚信，我大学同学里头，存在那样一些针对分析数学，钻研程度深入且稳固的人，必然和费恩曼有着相同的见解：当读书之际，遭遇弄不明白的地方之时，即刻从起始之处重新开始，依照顺序逐步推进，最终达成将整章整节全部攻克的成果。
看懂定理的证明
倘若数学可被称作是一门“证明的科学”，那么在某种层面来讲，学会了证明便等同于学好了数学，要是不懂命题的证明，对于数学生而言近乎就是“耻辱”，故而约克教授曾着重强调道：“理解重要定理证明的每一步比理解定理本身还要重要。”。
但是如何看懂定理的证明呢？前文提到的约克教授是这么说的：
学生，甚至教授，得尝试去领会证明里的关键思想，并且最好找出两个关键的想法，这些关键观念不一定非得是以“引理”的样子呈现，因为书中可能指明了太多看似正确但实则不然的关键线索初中数学物理怎么学，话说回来，关键思想常常是会让学生大为吃惊的那个，所以不同人会挑出一个证明当中不一样的关键思想，实际上，它们乃是提升我们理解力的关键要素，一个关键的点子或许会有复杂的证明，于是乎学生们理应从这个进程里发现两个关键的思想句号。
约克教授提及了初等微积分当中的那个“介值定理”，这儿的它，其几何意义就连小学生都能够看得明白，那就是，连接处于一条直线两侧各一点的，一根不会间断的曲线必然得穿过这根直线，该定理正式的数学陈述是，要是f是一个定义在区间之上的取实数值的连续函数，那么对于处在函数值f(a)以及f(b)之间的任何一个数d，存在当中的某一点c，使得f(c)=d，证明它的首个思想是，借助区间的中点将区间一分为二，进而得到两个子区间，其长度都是原来区间的一半。在所给定的函数里，存在着这样一位数d，它必然处于函数于两个子区间当中某一个的两个端点之上的值的区间范围之内。经由这样的性质而被确定下来的那个子区间，将会替代原本的区间。第二个重要思想是，持续不断地运用上面已然提及那个用来平分区间的思想，而且始终维持数d一直处于区间两端点的函数值之间这样一种性质，如此便能获得每一次长度均缩小到一半、前面的区间套住后面的区间的一个无穷无尽的闭区间序列。这些区间最终会朝着一个点c趋近。基于假设f是一个呈现出连续特性的函数，所以这个点c肯定会满足等式f(c)=d。上述的这两个思想，就是在证明介值定理时所必需的关键步骤。
按照从左边起始一直到右端的顺序依次是，James Yorke，李天岩，丁玖，年份为2015年。此外，这张图片是由作者那边提供而来的。
我处于读博士的那几年当中，导师是李天岩教授，他的博士生始终坚持每周一次的讨论班。其对我们报告别人论文的基本要求是，不要听我们一般性的证明，要给其证明特殊的情形。通常情况下，一般结论背后的思想往往在特殊情形里表现得更为生动形象。任何一个抽象数学定理的原始想法常常是源自某个具体的数学对象，往后进一步的思考便能够激起对有用性质的抽象化进程，最终致使一个定理诞生。这最后七个字正好是菲尔兹奖获得者维拉尼所著的一本数学畅销书的书名。那种阅读定理证明直奔思想腹地的探索行为，让我们终生受益。
塞德里克·维拉尼著《一个定理的诞生》
科学地做题
深入钻研数学领域，其中相当关键的一个环节便是去做习题，可这绝不是意味着做得越多就越有成效。我在大学时期的同班同学，也就是中科院院士田刚，他在本科阶段做了将近两万道习题，然而即便如此，当他如今接受采访的时候，也并不倡导那些学习数学的大学生去效仿他往昔的那些做法。
实际上，当下在中国，做数学题数量最多的乃是中小学生，其唯一目的不过是为了高考。学习简单的初等数学却耗费了如此巨大的精力，恰似杀一只鸡动用了宰牛的大刀。中国的高中生所做的数学题数量大约是美国高中生的几十倍，然而不可否认的事实是，最终成为杰出数学家的美国人数量远远多于中国人。原因究竟何在呢？答案就在于中国学生做题是为了提高高考数学题目的命中率，而美国学生做题则是为了巩固概念并助力“推陈出新”。
那么，究竟怎样做题才能够算得上是“科学地做题”呢？首先，鉴于学好数学最为根本的要旨在于掌握概念，所以当概念不清楚的时候，就不要急急忙忙地忙着去做题。我班里那些擅长于做题的人，下课后可不是忙忙碌碌的，而是不慌不忙地先把定义、定理去弄得明明白白清清楚楚，之后方才开始去做题，如此一来又加深了对于概念的理解。
好的教科书中所列的习题，除去一部分是围绕着概念或者应用定理的“常规题目”之外，还有一批属于锦上添花极具挑战性的上等题目，有的书索性把带有提高性的某些重要命题置于此处向读者叫板吁请证明，要勇于尝试这类题目，而不是去做太多几乎无需动脑子的“概念题”，这乃提高数学品味的最佳路径，苏联人吉米多维奇经典的《数学分析习题集》的5000道题目里面大概有四分之一左右是难题。田刚、何炳生、张砚凝、钱迈建、魏木生，这些我的大学同窗，是通过攻克那些难题，从而一步步练就分析数学的真功夫的。
正确对待考试
事情看起来好像是，“学生对考试怀有惧怕心理”这一状况宛如稳定不变、难以撼动的实在情形。在我于美国进行教书的班级之中，存在这样的情况起步网校，部分学生每当临近考试之际，总是会想尽各种各样的办法去打探考试所涉及的范围，内心急切地期望我能够将考试题目预先告知他们。每当处于这样的时刻，我就会不由自主地回想起往昔读大学的时候所出现的场景画面：讲授我们《数学分析》课程的倪进老师在考试之前常常会这般表述：“我由衷地确实不清楚该以怎样的方式为你们开展复习工作，我根本没有办法做到依原样从起始至结束重新讲述一回，你们自行去进行复习吧。”所以我们只能够依靠自己去开展复习从而应对考试。
该如何进行复习运作呢？若要形象恰当描述恰似“八仙过海各凭所能展现特需神通”那般。存在这样一部分人把已经做过的习题再次去做一遍，那些已然忘掉掉的证明或者解法在这会儿能够重新在脑海之中还原呈现。而对于我自身加以考察判断剖析获得认知来讲，最为适宜的复习途径方式是，将身姿端正坐定，双手虔诚恭敬捧着教材，逐字逐句地从起始一直到末尾把教材完完全全读上一遍——如此这般就重温了相关定义，巩固了相应概念，清晰了疑难所在，完成了既定任务。然而我心里明白清楚知晓，总归总是会有比我考试成绩考得更为优异出色的，总归总是会有比我提交试卷交卷时候更早的。这其实并没有什么值得奇怪诧异惊诧之处意外之感，毕竟一份付出耕耘就会有一份收获成果。就考试来讲，只要不是智商处于低下水平，只要肯在工夫上多投入些，只要复习呈现出恰当合理的状态，考出令人满意的分数对于任何一个特定的人而言，都绝不可能成为一个出现阻碍的棘手问题。
考试成绩固然是要紧的，一份出色的成绩单作为留存于档案的学术过往，亦能够使自身一生都满怀荣光。然而就像大学排名榜单，依照身为数学家的芝加哥大学校长博士的观点，只要在构成排名依据的那些特定指标层面多投入精力，学校的排名便会得以提升，所以美国的众多知名大学对于排名大体上并不怎么在意，仅仅依循着自身的教育理念以及既定策略，着重加强学校的教学与科研。相同的道理，要是一个正在读书的学生把考试所取得的成绩看得过分重要，进而轻视广泛阅读书籍的自我成长，那么基于考试成绩的第一名和第二名仅仅只会是在时间范畴之内的局部函数而已。而一个怀有远大理想的学子，所应该思考的却是十年之后能够冒露出锋芒或者二十年画达到辉煌成就。
我有那么一点儿庆幸于自身在大学时期未曾始终如一地朝着成绩优异的同学去看齐，反而是顺着自己的感触来前行。“失之东隅收之桑榆”，这个成语阐释了我的一段经历。在报考硕士研究生之前，好些同学不再修习第二外语了，而我仍旧坚持修完了第二外语德语，如此一来必然会削减为了迎接考试去复习英文的时间。等到读了研究生以后，我通过了免修德语的考试，随后又修了俄语。到了美国之后，密歇根州立大学数学系有个条件，这个条件是拿博士学位必需的，此条件为通过两门外语，外语从德语、法语、西班牙语以及俄语之中选，中文当然没被选上。好在我在南大修过德语跟俄语，关键时候这两门派上了用场。我迅速通过了这两门考试，躲开了再去修课及格通过的小麻烦，还拿到了最高级别的助教奖学金。由于通过了博士学位要求的所有考试，就只差一篇博士论文交上去了。
总而言之一句话，学习跟婚姻是一样的，二者都是终身大事。在青少年这个阶段，要养成喜好读书的习惯，还要培养读好书的品味。在课堂求学的那数年时间里，要学会怎样去学习，要寻找到适合自己的读书方法。如此一来，就能把被动转化为主动，能唤起书中铅字的活力，能让它们读得如同翩翩起舞一般。这样你的思维就会活动起来，你的阅读快感也会不断地升腾，你的人生经历也会变得越来越滋润有味了。
美国哈蒂斯堡
本文内容主要源自，北京大学于2019年5月出版的，作者的新书《南大数学七七级》，其中的第12章《怎样学习》。