商伟
黑龙江省牡丹江市第一高级中学
摘要 ：本文针对质点与弹簧系统模型展开研究，进而得出简谐运动方程 ，接着依据常微分方程教材里的理论知识求解该方程 ，其得出的解的形式是我们所熟悉的三角函数形式 ，如此便有力地验证了高中数学新教材人教A版 、（ 2019 ） 必修第一册第五章第七节的部分内容 ，还解决了教师以及学生对于简谐运动方程求解过程的困惑。
关键词：简谐运动方程；二阶线性常微分方程；解
高中数学进行新课程改革，目的在于克服应试教育存在的弊端，激发学生对于学习的兴趣，培养具有创新性的人才，使得学生可以对所学知识拥有更深刻的理解，进而达成学以致用这样的效果。于是，高中数学新教材人教A版（2019）必修第一册第五章第七节里，特意设置了“三角函数的应用”这项学习内容，其目的是强化用三角函数模型描绘周期变化现象，这部分内容在素材挑选方面考量了真实性与广泛性，致力于培育学生综合运用数学以及其他学科知识解决问题的能力，其中教材242至243页借助介绍弹簧振子的振动引出物理学里的“简谐运动”概念，并且表明在恰当的直角坐标系下，简谐运动可用我们数学熟知的函数来表示，描述简谐运动的物理量，像振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关，这些内容在以往的数学教学里关注度并不高，而教材解决这个问题的方式是经由对数据表、散点图的观察得出简谐运动解的形式，这实际上对于大部分学生而言是比较容易理解的，可仍会有部分学生以及很多教师在这方面存在困惑：教材中若是通过解析方法求解简谐运动方程的解，那又该怎么求解呢？我们能不能通过专业的数学知识解决出来呢？
那么，下述内容很好地解决了学生以及教师对此方面的困惑，首先，我们针对具有物理背景的“质点——弹簧系统模型”展开研究，进而得出简谐运动方程，接着，应用大学期间我们所学的常微分方程相关理论知识去求解这个方程，随后计算出该简谐运动方程的解，凭借以上种种，最终解决了我们对于高中数学教材里这部分内容的困惑。
首先，我们来知晓一下简谐运动的定义，物体于某一中心位置附近，做着循环往复的运动，这般的运动，就被称作“简谐运动” 。
然后研究简谐运动的一个典型实例（质点——弹簧系统模型）
我们思考一个和弹簧相连的质点，它在没有摩擦的光滑桌面上滑动，处于相应时刻时，存在两个关键数量，一个数量是质点从弹簧静止位置到达当前位置的位移，另一个数量是弹簧施于质点的弹性力。假定时刻质点的位移是这样规定的，当其在弹簧静止的位置时，记做如那般情况，而当其在弹簧伸长的位置时，是如那个样子规定；而当其在压缩位置时，又是另外的如这般的规定；（见上图）。
究其缘由，鉴于此乃时刻质点的位移情况，故而在该时刻质点的瞬时加速度呈现这般态势，倘若将其记为质点的质量状态，依据牛顿第二定律而言则会出现如此情形这般状况 。
方程（1.1），它又被称作简谐运动方程，要注意物理高中必修一2-1 简谐运动》（教案），此方程在大学常微分方程教材里呢，被叫做二阶线性齐次自治常微分方程。
通过对一个有着物理背景的实际例子展开研究所得出简谐运动方程，当中方程解的形式又是什么样的呢？ ，但 ，那么 。
求解方法：
1.我们首先研究一阶线性常微分方程的解
借着观察，我们能够发觉一个函数在经历一阶求导以来获得的结果跟其函数自身的形式相像，如此我们便想到了指数函数，此时我们进行设定，其中，为并非零的常数，那么代入到里面物理高中必修一2-1 简谐运动》（教案），得到，所以，因而，而这个并非零的常数的数值需要依照方程的初始条件去加以确定。
接下来，我们针对二阶常微分方程的解展开研究，我们通过降阶操作，从而得到与之对应的一阶二维线性常微分方程组，设某一情况，那么会出现相应结果，类比一阶线性常微分方程解的形式的情况，能够看出一种形式和一阶微分方程解的那种形式是相同的样子，在此情形下我们设另外一种情况，当中有非零常数，把这种设的情况代入到相关式子中（要注意，一种情况适用于求解，另一种情况适用于对解进行定性分析，所以本文选取前者这种情况）得到相应式子，也就是另外一些式子，从而又得出一些结果，而依据欧拉公式得出相关结论 。
其实在大学常微分方程教材中我们了解到有这样一个定理：
倘若线性无关，那么（此为非零常数）便是方程的通解（此处证明线性无关的进程予以省略），而在此处鉴于为复值函数，其相应的实部与虚部是线性无关的，所以对于复值函数我们规定其通解是其实部跟虚部的线性组合，那么我们能够得出。
而这里的值，是由初始条件来决定的，进行代入求解就行，如此，我们就解出了简谐运动方程的解，进而也就得出了我们教材里的内容。
在本文的结尾部位，为了给读者在阅读与理解道理方面提供便利，进行了一番简单的归纳总结：借助对一个具备着物理背景的质点，也就是弹簧系统模型展开研究，从而得出了简谐运动方程，之后凭借大学所学过的知识，得出了该方程的解，具体计算出简谐运动方程的解呈现出来的形式，正是我们所熟知的三角函数形式，如此一来，便强有力地证实了新教材在关于这部分内容上的设计，像这样的知识储备，我感觉会促使我们身为教师去讲授这一节内容之前理解得更为深入，并且在这一整个过程当中，展现出数学在其他学科里具备实用性价值起步网校，能够进一步提升我们教师对于专业知识的理解以及掌握能力句号。