初中几何竞赛的定理和相关例题较多，以下提供一些：
定理：
1. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
2. 三角形（也称欧几里得三角形）基本性质：在三角形中，两边之和大于第三边，两边差小于第三边。
3. 三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
4. 同旁内角互补。
5. 勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
6. 圆的基本性质：圆的直径平等四等分圆周，圆的内接四边形的对角互补。
例题：
例1：在等腰三角形ABC中，AB=AC，角B等于30度，点P在底边上，求作一点P，使得点P到两腰的距离之和等于腰上的高。
例2：在圆中，AB为直径，CD为非直径的弦，AD垂直于BC于D，AD交圆于E，求证BE=CE。
以上题目均是初中几何竞赛的经典题目，需要运用上述定理进行推理和证明。
请注意，以上内容仅供参考，具体的解题方法和答案可能会根据不同的教材和考试要求而有所变化。如有需要，建议您查阅相关教材或咨询老师以获取准确信息。
初中几何竞赛主要涉及一些基本的几何定理和性质，例如：勾股定理、相似三角形的性质、三角形的内角和定理等等。以下是一些相关的例题：
例题1：在等腰三角形中，底边的长度为a，顶角的度数为x，求腰长b的长度。
解：根据等腰三角形的性质，b=a/cos(x/2)。
例题2：在直角三角形中，一个锐角的度数为x，求斜边的长度c。
解：根据直角三角形的性质，c=atan(x/2)。
例题3：证明相似三角形定理：如果两个三角形中有两个角相等，那么它们也相似。
证明：假设有两个三角形△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF，那么根据三角形内角和定理，∠ACB和∠DFE也相等。因此，∠ABC/∠ACB=∠DEF/∠DFE，即两个三角形相似。
这些例题可以帮助你更好地理解和应用几何定理。当然，要取得好的成绩，还需要大量的练习和思考。
初中几何竞赛常见的定理和相关例题包括以下几种：
1. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。这个定理的证明通常需要用到反证法和几何推理。
2. 三角形全等定理：两个三角形全等有AAS（角角边），ASA（边边角），SSS（边边边）等几种判定方法。这些判定方法可以在证明三角形全等的应用中，通过添加辅助线、角平分线、线段中点等工具，来构造全等三角形，进而证明其他线段相等或者角相等。
3. 圆心角、圆周角、弦切角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。这些定理的应用可以涉及到圆的性质和证明，例如在解决圆内接四边形的问题时。
4. 圆的切割线定理：一条动直线AB（动点）与圆O（定圆）有两个交点C和D，那么当AC·CD=AD·CB时，直线就是圆的切线。这个定理的应用可以涉及到切线长度的求解。
例题方面，以下是一道涉及圆周角定理的例题：
一个圆形湖泊，小明和小强分别在湖泊的两端，他们同时相向而行，并且一直沿湖岸行走。他们相遇后，小明继续行走，小强则停止行走。小明行走的路程是湖周长的三分之一。小强行走的路程是湖周长的四分之一。小明和小强相遇后，小强继续行走的路程是湖周长的几分之几？
这个问题可以通过应用圆周角定理和题目中的条件来解答。
以上内容仅供参考，建议查阅专门的教材或者咨询数学老师以获取更全面和准确的信息。