题目：
已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c$（$a \neq 0$）的图象经过原点，顶点在$x$轴上，且开口向下，请说明不论$a$取何值时，这个二次函数的图象都经过一个定点，并求出这个定点的坐标。
【分析】
根据二次函数的性质，可知当$x = - \frac{b}{2a}$时，函数取得最值，再根据顶点在$x$轴上，可知当$y = 0$时，函数取得最值，从而可求出定点的坐标。
【解答】
解：∵二次函数的图象开口向下，顶点在$x$轴上，
∴当$x = - \frac{b}{2a}$时，函数取得最值，
∵图象过原点，
∴当$y = 0$时，有$ax^{2} + bx = 0$，
∴当$x = - \frac{b}{a} = - \frac{b}{2a}$时，$y = 0$，
∴不论$a$取何值时，这个二次函数的图象都经过一个定点$( - \frac{b}{2a},0)$。
题目：求解一元二次方程 3x^2 - 5x + 2 = 0
解题思路：
1. 将方程化为标准形式，即二次项系数为1。
2. 利用求根公式求解方程，得到x = ( - b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)。
解：
方程化为 3x^2 - 5x = -2
求根公式得 x = (5 ± sqrt(25 - 48))/6 = (5 ± 7)/6
所以，方程的解为 x1 = 4/3，x2 = 1/3。
题目：求解一元二次方程
已知一元二次方程为：x^2 - 5x + 6 = 0，求该方程的解。
解题思路：
一元二次方程的解法通常有三种：直接开方法、配方法、公式法。对于直接开方法，需要找到方程的二次项系数和一次项系数，然后进行开方运算。
具体步骤如下：
1. 将方程化为标准形式：x^2 - 5x + 6 = 0，即二次项系数和常数项分别为1和6。
2. 将方程移项，使一次项系数成为1，常数项成为常数项：将方程中的5移到右边，得到x^2 - 5x = -6。
3. 提取二次项系数：将方程两边同时乘以-1，得到-x^2 + 5x = 6。
4. 进行开方运算：将方程化为x^2 - 5x + (5/2)^2 = (5/2)^2 - 6，即(x - (5/2))^2 = -6 + (5/2)^2。
5. 解得：x = (5 ± sqrt(13))/2。
所以，该方程的解为x1 = (5 + sqrt(13))/2，x2 = (5 - sqrt(13))/2。
题目解析：
本题是一道初三竞赛题数学中的一元二次方程求解问题。解题的关键在于掌握一元二次方程的基本概念和解题方法，并能够灵活运用。在解题过程中需要注意移项、开方等运算技巧的应用。本题难度适中，适合作为例题来讲解常见问题和解题思路。