动能定理是否有某个方向的分量方程？
我在知乎上看到这个问题：动能定理可以用在水平方向和垂直方向吗？ 答案是肯定的。 但从知乎上的回答来看，我自己的学生也有类似的疑惑。
那么针对这个问题，我打算详细的讲一下这个过程。 让我们从一个示例问题开始。
例题选自彭占军老师撰写的《中学物理教学参考（高中、初中）》2019年第12期论文《用合成法确定场强时要小心》。
------我先用彭占军老师论文中的观点来解释一下动能定理的分量方程的使用，然后再谈谈论文中的不足之处或者值得讨论的地方---- --
示例 1：将质量为 m 的物体静止放置在光滑的水平桌子上。 在互相成60°角的两个相等的水平恒定力的作用下，经过一段时间后，物体获得速度v，在力的方向上获得的速度为v_{1}，那么多少这段时间做功是由其中一种力量做的吗？
解1：因为v=2v_{1}cos30°，所以v_1=frac{v}{sqrt{3}}，在v_{1}方向，将动能定理应用到物体上，我们有W_{ F1}= frac{1}{2}mv_{1}^{2}=frac{1}{2}m(frac{v}{sqrt{3}})^{2}=frac {1}{ 6}mv^{2} ，因此，W_{F1}= W_{F2}=frac{1}{6}mv^{2} 。
解二：将动能定理应用到物体上动能定理公式，则有W_{F1}+W_{F2}=frac{1}{2}mv^{2}-0，
因为W_{F1}=W_{F2}，所以W_{F1}=W_{F2}=frac{1}{4}mv^{2}。
显然方案2没有问题，那么方案1有什么问题呢？ 它只能由动能定理在不同方向上的应用而产生，因为动能和功都是标量，在某个方向上不存在动能和功。
但根据功w=Flcosα的计算公式，当α=90°时，功w=0，即力在垂直于它的方向上不做功。 在上面的例子中，两个力不垂直。 因此，在v_{1}方向上，不仅F_{1}起作用，而且F_{2}也起作用。 因此，只有当两个力垂直时，我们才能在两个方向上使用动能定理分力方程。
------说到这里，我想引入另一个问题，它也犯了上面的错误。 ------
例2：如下图所示，a、b、c为均匀电场中的三点，其中ab长4cm，ac长2cm，ab与ac夹角为120°，它们的平面为平行于电场线。 如果已知a、b、c三点电位分别为0V、6V、3V，那么均匀电场的场强是多少？
错误解：如下图所示：a、b方向局部场强E_{ab}=frac{U_{ab}}{d_{ab}}=frac{6}{0.04}=150V /m, a ，c方向局部场强E_{ac}=frac{U_{ac}}{d_{ac}}=frac{3}{0.02}=150V/m，根据根据向量的平行四边形规则：E= 150V/m。
------学生可以自己思考错误在哪里，并按照常规思路回答问题------
我们回到上面彭占军老师的问题，我们换个角度再做一遍。 看看动能定理是不是真的没有分量方程！
彭占军老师说，在v_{1}方向，不仅F_{1}做功，F_{2}也做功，所以我们简单求解两个力在v_{1}方向做的功，查看最终结果。 。
首先做一个力分解图，如下图所示：F_{1}=frac{F}{sqrt{3}}，得到的功为W=FS。
然后求解 F_{1} 方向上的合力所做的功：
在F_{1}方向上，F_{1}所做的功为： W_{1F1}=F_{1} times S times cos30°=frac{F}{sqrt{3}} times S times frac{sqrt{3}} {2}=frac{FS}{2}=frac{W}{2} ，这确实是合力所做的功的一半，进一步验证了彭占军老师论文中的解法2。
同时，在F_{1}方向上，F_{2}所做的功为：W_{1F2}=F_{2}times cos60°times S times cos30°=frac{F} {sqrt{3}} 次 frac{1}{2} times S times frac{sqrt{3}}{2}=frac{FS}{4}=frac{W}{ 4} .
因此，F_{1}方向上所有力的总功为W_{1}= W_{1F1}+ W_{1F2}=frac{3}{4}W，则根据动能定理： F_{1 } 方向的动能应为总动能的 frac{3}{4}，即 E_{K1}=frac{3}{4}E_{K}。
让我们回顾一下上面的解决方案 1： 在 E_{K1}=W_{F1}=frac{1}{6}mv^{2}=frac{1}{2}(frac{1}{2 }mv^ {2})=frac{1}{3}E_{K}。 所以有什么问题？
我们再看一下下面的速度分解图。 你想到什么了吗？
我在专栏里说过两次，速度分解的关键点是速度分解要采用正交分解。 详细内容请看下面两篇文章。
因此，我们需要保证两个分量速度是垂直的，或者在上面的例子中，F_{2}方向上的v_{1}也有F_{1}方向上的分量速度。 如下图所示，合成速度v在F_{1}方向的分速度为：v_{11}=°=frac{sqrt{3}}{2}v，从而得到：
E_{K1}=frac{1}{2}mv_{11}^{2}=frac{1}{2}m(frac{sqrt{3}}{2}v)^{2} =frac{3}{8}mv^{2}=frac{3}{4}(frac{1}{2}mv^{2})=frac{3}{4}E_{K }
因此，我们验证了某个方向的动能定理是正确的！ 关键是通过力和速度的分解动能定理公式，分解出该方向上的所有力和所有速度。 其实，这并不难理解。 根据某一方向的牛顿第二定律：F_{x}=ma_{x}，两边同时乘以位移x，可得：F_{x}x=ma_{x} x ，结合2a_{ x}x=v_{x2}^2-v_{x1}^2，可得： F_{x}x=frac{1}{2}m v_{x2}^2-frac{1}{ 2}m v_{x1}^2 ，即某一方向的动能定理。
但在实际应用中，当两个力方向垂直时，使用动能定理分力方程会简单很多，因为省去了很多向量分解的过程，所以很多教学推荐使用动能定理在两个方向上的作用力。垂直方向。 分量方程。