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课时作业13　圆周运动及其应用
时间：45分钟

1．如图为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视示意图．已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，B点的转弯半径为4.0 m，学员和教练员(均可视为质点)(　D　)

A．运动周期之比为54
B．运动线速度大小之比为11
C．向心加速度大小之比为45
D．受到的合力大小之比为1514
解析：学员和教练员做圆周运动的角速度相等，根据T＝2πω知，周期相等，故A错误；根据v＝rω，学员和教练员做圆周运动的半径之比为54，则学员和教练员做圆周运动的线速度之比为54，故B错误；根据a＝rω2，学员和教练员做圆周运动的半径之比为54，则学员和教练员做圆周运动的向心加速度大小之比为54，故C错误；根据F＝ma，学员和教练员做圆周运动的向心加速度大小之比为54，质量之比为67，则学员和教练员受到的合力大小之比为1514，故D正确．
2．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看作是半径为R的圆周运动．设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　B　)

A.gRhL B.gRhd
C.gRLh D.gRdh
解析：汽车做匀速圆周运动，没有横向摩擦力时，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向沿水平方向，向心力F向＝mgtanθ，根据牛顿第二定律有F向＝mv2R，又知tanθ＝hd，解得汽车转弯时的速度v＝gRhd，B正确．
3．图示为公路自行车赛中运动员在水平路面上急转弯的情景，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与自行车看作一个整体，下列论述正确的是(　B　)

A．运动员转弯所需向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供
B．运动员转弯所需向心力由地面对车轮的摩擦力提供
C．发生侧滑是因为运动员受到的合外力方向背离圆心
D．发生侧滑是因为运动员受到的合外力大于所需的向心力
解析：运动员转弯所需的向心力由地面对车轮的摩擦力提供，则A错误，B正确．发生侧滑而做离心运动的原因是所受到的摩擦力小于所需要的向心力，故C、D错误．
4．如图，某摩天轮总建设高度为160米，横跨直径为153米．它一共悬挂有60个座舱，旋转一周的时间是30分钟，可同时容纳400人左右同时进行游览．若该摩天轮做匀速圆周运动，则乘客(　D　)

A．速度始终恒定
B．加速度始终恒定
C．乘客对座椅的压力大小始终不变
D．乘客受到合力大小不变
解析：本题考查圆周运动及对基本概念的理解．做匀速圆周运动的物体，速度大小不变，方向不断变化，加速度大小不变，方向总是指向圆心，AB错误；乘客受到的合力大小不变，方向总是指向圆心，而压力在最低点大于最高点，C错误，D正确．
5．如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘面间的动摩擦因数相同．当匀速转动的圆盘转速恰为两物体刚好未发生滑动时的转速，烧断细绳，则两物体的运动情况将是(　D　)

A．两物体沿切线方向滑动
B．两物体沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体B发生滑动，离圆盘圆心越来越远
解析：本题考查圆周运动．由题图知，物体B做匀速圆周运动的半径大于物体A做匀速圆周运动的半径，因为两物体的质量相等，角速度相同，物体B的向心力大于物体A的向心力，故当物体B刚要发生滑动时，物体B所受的摩擦力为最大静摩擦力，物体A所受的摩擦力小于最大静摩擦力，当物体A刚要发生滑动时，物体B做匀速圆周运动的向心力由细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供，所以烧断细线后，物体B所受的最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，B相对圆盘发生滑动而做离心运动，而物体A所需要的向心力小于最大静摩擦力，所以物体A相对圆盘静止，选项A、B、C错误，D正确．
6．(多选)如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系于小球上，当圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时(　CD　)

A．细绳对小球的拉力可能为零
B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C．细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等
D．当ω＝2gr时，金属圆环对小球的作用力为零
解析：因为圆环光滑，小球不受摩擦力，小球受重力、绳子的拉力、环对球的弹力，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有Tcos60°＋Ncos60°＝mg，Tsin60°－Nsin60°＝mω2rsin60°，解得T＝mg＋12mω2r，N＝mg－12mω2r，当ω＝2gr时，金属圆环对小球的作用力N＝0.综上可知C、D正确，A、B错误．
7．如图所示，一根长为l＝1 m的细线一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°.(g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，结果可用根式表示)

(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析：

(1)若要使小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力沿水平方向，受力分析如图所示．由牛顿第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mω20lsinθ　解得ω0＝glcosθ＝522 rad/s.
(2)同理，当细线与竖直方向成α＝60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα
解得ω′＝glcosα＝25 rad/s.
答案：(1)522 rad/s　(2)25 rad/s



8．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径关系为RA＝2RB.当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上．若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转动轴的最大距离为(　C　)

A.RB4 B.RB3
C.RB2 D．RB
解析：由图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线速度相同，由ω＝vR，得ωAωB＝v/RAv/RB＝RBRA＝12.由于小木块恰能在A轮边缘静止，则由最大静摩擦力提供向心力，故μAmg＝mω2ARA①
设放在B轮上能使木块相对静止的距B转动轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故μBmg＝mω2Br②
因A、B材料相同，故木块与A、B的动摩擦因数相同，①②式左边相等，故mω2ARA＝mω2Br，得r＝(ωAωB)2RA＝(12)2RA＝RA4＝RB2.所以选项C正确．
9．(2019•重庆一中模拟)如图，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过容器球心O的竖直线重合，转台以一定角速度ω匀速旋转．有两个质量均为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，两小物块都随陶罐一起转动且相对罐壁静止，两物块和球心O的连线相互垂直，且A物块和球心O的连线与竖直方向的夹角θ＝60°，已知重力加速度大小为g，若A物块受到的摩擦力恰好为零，则B物块受到的摩擦力大小为(　A　)

A.3－12mg B.3－14mg
C.3－36mg D.3－236mg
解析：当A所受摩擦力恰为零时，A和球心的连线与竖直方向的夹角为60°，根据牛顿第二定律得mgtan60°＝mrω2，r＝Rsin60°，此时B有沿罐壁向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下，竖直方向上Ncos30°－fsin30°－mg＝0，水平方向上Nsin30°＋fcos30°＝mr′ω2，r′＝Rsin30°，联立解得f＝3－12mg，A正确．
10．(多选)如图所示，在角锥体表面上放一个物体，角锥体绕竖直轴转动．当角锥体旋转角速度增大时，物块仍和角锥体保持相对静止，则(　AD　)

A．物体受到的支持力减小
B．物体受到的合外力不变
C．角锥体对物体的作用力不变
D．物体受到的静摩擦力增大
解析：物体随角锥体绕竖直轴转动，对物体受力分析，设倾斜面与水平面的夹角为α，所以在竖直方向：mg＝Ncosα＋fsinα，水平方向：fcosα－Nsinα＝mω2r，当角锥体旋转的角速度增大时，物体仍和角锥体保持相对静止，则物体需要的向心力增大，分析知静摩擦力增大，支持力减小，物体在竖直方向所受合力为零，水平方向向心力增大，所以物体所受合外力增大，选项A、D正确．
11．如图在水平圆盘上放有质量相同的滑块1和滑块2，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO′转动．两滑块与圆盘的滑动摩擦因数相同均为μ，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力．两滑块与轴O共线且滑块1到转轴的距离为r，滑块2到转轴的距离为2r，现将两个滑块用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．当圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，针对这个过程，求解下列问题：

(1)求轻绳刚有拉力时圆盘的角速度；
(2)求当圆盘角速度为ω＝μgr时，滑块1受到的摩擦力．
解析：(1)轻绳刚有拉力时，物体2与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力，则由牛顿第二定律μmg＝mω20•2r
解得ω0＝μg2r
(2)当圆盘角速度为ω＝μgr>μg2r，此时2与转盘间的摩擦力是最大静摩擦力，则
对2：FT＋μmg＝mω2•2r
对1：FT＋Ff1＝mω2•r
解得Ff1＝0
答案：(1)μg2r　(2)0
12．图甲中表演的水流星是一项中国传统民间杂技艺术，在一根绳子上系着两个装满水的桶，表演者把它甩动转起来，犹如流星般，而水不会流出来．图乙为水流星的简化
示意图，在某次表演中，当桶A在最高点时，桶B恰好在最低点，若演员仅控制住绳的中点O不动，而水桶A、B(均可视为质点)都恰好能通过最高点，已知绳长l＝1.6 m，两水桶(含水)的质量均为m＝0.5 kg，不计空气阻力及绳重，取g＝10 m/s2.

(1)求水桶在最高点和最低点的速度大小；
(2)求图示位置时，手对绳子的力的大小．
解析：(1)设最高点的速度为v1，最低点的速度为v2，水桶做圆周运动的半径R＝l2＝0.8 m
水桶恰通过最高点时绳上的拉力为零，有：mg＝mv21R
解得：v1＝22 m/s
水桶从最高点运动到最低点有：mgl＋12mv21＝12mv22
解得：v2＝210 m/s
(2)绳OA对水桶A的拉力为零，对最低点的桶B受力分析可得FOB－mg＝mv22R
解得：FOB＝30 N
所以，手对绳子的力的大小为30 N
答案：(1)22 m/s　210 m/s　(2)30 N

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