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2021年初中物理竞赛基础版系列讲义-10杠杆

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第10讲 杠杆
10.1 学习提要
简单机械可以改变力的大小和方向,是人们在生产活动中达到省力、方便的目的。
一根硬棒,在力的作用下如果能够绕着固定点转动,这根硬棒就叫杠杆,如图10-1所示,用硬棒撬动大石块。杠杆是在特定条件下的总名称,硬棒并不一定是直棒,可直可弯,任何形状都可以。

10.1.1 支点、力臂、动力、阻力
1. 支点
杠杆绕着转动的固定点,叫做支点。当有力作用在杠杆上时,杠杆绕其转动。对杠杆本身而言,这一点是固定的。
当物体体积较大时,支点不再是一个点,而成为一个转动轴,比如我们抬起木板时,以其与地面的接触线为转动轴。
2. 力臂
从支点到力的作用线的距离,叫做力臂,用字母L表示。力臂并不一定是杠杆上某一段长度,力臂的大小与其在杠杆上的作用点和动力与阻力的方向都有关。
如图10-2所示,在力F1(或F2或F3)的作用下,硬棒OA处于水平位置静止,同样作用于A点的三个力F1、F2、F3,其方向不同,对应的力臂也不同。在图10-2中,力F1的力臂是L1,力F2的力臂是L2,力F3的力臂是L3。
3. 动力和阻力
许多场合下,动力和阻力不能绝对区分,我们可设其中一个力为动力,则另一个力为阻力,这样的设定并不影响我们的研究。对于一个杠杆而言,动力和阻力对于使杠杆转动作用的方向总是相反的,即若阻力使杠杆顺时针旋转时,动力就必须使杠杆逆时针旋转,杠杆才能平衡。
当杠杆受到两个以上的力的作用时,按使杠杆转动方向区分动力和阻力较为方便。

10.1.2 杠杆的平衡
通常情况下,杠杆是在平衡或非常接近平衡的情况下使用的。所谓杠杆平衡,并非指杠杆一定处于水平位置而静止,而是指杠杆在力的作用下保持静止状态或匀速转动状态。
10.1.3 杠杆平衡的条件
杠杆是否平衡由动力、动力臂、阻力、阻力臂的关系决定,我们由大量实验得出杠杆平衡条件是“动力×动力臂=阻力×阻力臂”,即
F1∙L1=F2∙L2 或 F1/F2=L2/L1
当杠杆受到多个力的作用而处于平衡状态时,则所有动力与动力臂乘积的和等于所有阻力与阻力臂乘积的和。

10.1.4 杠杆应用的实例
1. 省力杠杆
动力臂大于阻力臂的杠杆,他虽然省力,但要多移动距离,如图10-3所示。例如剪铁片的剪刀、开瓶盖的起子、撬石头的硬棒等都是省力杠杆。
2. 费力杠杆
动力臂小于阻力臂的杠杆。它虽然费力,但可以少移动距离。比如镊子、理发用的剪刀、钓鱼竿等都是费力杠杆。
3. 等臂杠杆
动力臂等于阻力臂的杠杆。它既不省力,也不省距离。例如天平的横梁、公园里的摩天轮等都是等臂杠杆,小孩子玩的跷跷板我们一般也认为是等臂杠杆。

10.2 难点解释
10.2.1 杠杆模型的建立
在实际中由于各种各样的杠杆其具体的形状不同,因此在画示意图时,要从实际的情景中确定出“标准化”的杠杆,然后才能进行分析。
如图10-4所示,生活中常见的钢丝钳就可以看成是由左右两个杠杆组合而成的工具,以此钢丝钳的右边把手为例进行分析:钢丝对钳口的阻力F2的方向向左,手对把手的动力F1的方向也向左,这个杠杆的模型就是图10-4(c)的省力杠杆。

10.2.2 力臂实质的理解
力臂的实质,,从数学的角度来看,就是点到直线的距离,当力的作用线正好与杠杆垂直时,力臂在杠杆上,当力的作用线不与杠杆垂直时,力臂不在杠杆上。
注意:对于杠杆是省力杠杆还是费力杠杆的分析,关键点取决于动力臂和阻力臂的大小对比,而不是取决于用眼睛直接看到的支点某测的杠杆的长短对比,这一点是引起同学们对题意理解错误的最常见原因之一。
10.3 例题解析
10.3.1 关于力臂的画法
例1 如图10-5(a)所示,杠杆OA在力F1、F2的作用下处于静止状态,L2是力F2的力臂。在图中画出力F1的力臂L1和力F2的示意图。

【点拨】力臂与力总是垂直的。要画力臂,首先要找到支点O,然后由支点O作力的作用线的垂线。而要做力F2的示意图,关键要过力臂L2的端点作L2的垂线,且注意力的作用点是在杠杆上。
【答案】如图10-5(b)所示
【反思】关键点一:作与力臂L2相垂直的作用线(虚线),并做出直角符号(提醒自己是在做到O点距离为L2的直线)。
关键点二:以虚线与杠杆的交点处为起点(提示自己力的作用点在杠杆上)。
关键点三:因F1使杠杆顺时针旋转,则F2使杠杆逆时针旋转,则从交点起沿虚线向上画力的示意图。

10.3.2 关于生活中实际的工具与杠杆抽象模型的对照
例2 如图10-6所示的几种使用杠杆的实例中,属于费力杠杆的是____________、____________、_______________(选填字母)。

【点拨】找出实例中的每一个杠杆的支点,即该杠杆可以绕那一点转动,然后再找动力和阻力,再判断动力臂和阻力臂的大小,只有动力臂小于阻力臂的杠杆,才是费力杠杆。
本题中的镊子和火钳均为两个杠杆组成的组合式杠杆机械,因为是对称性的杠杆,研究时我们只研究其中一个杠杆即可。
独轮车实例中,前轮为支点,所以工人的手提供动力F1,砂石的重力为阻力F2,显然L1>L2,这是一个省力杠杆。
镊子实例中,镊根为支点,人手提供动力F1,物体阻碍镊尖合拢的力为阻力F2,显然L1 脚踏板实例中,脚跟处为支点,脚掌提供动力F1,向上的拉杆阻碍踏板向下移动为阻力F2,显然L1 扳头实例中,扳头左方与瓶盖上方接触处为支点,手提供动力F1,瓶盖阻碍扳头下方的小钩向上移动为阻力F2,显然L1>L2,这是一个省力杠杆。
火钳实例与镊子实例很相似,只是支点在两个钳刃的交叉处,这是一个费力杠杆。
【答案】(b)(c)(e)
【反思】在省力杠杆中,动力作用点所移动的距离都比阻力作用点移动的距离大;而在费力杠杆中,动力作用点所移动的距离都比阻力作用点移动的距离小。这个特点,也可以用来区分省力杠杆和费力杠杆。同学们不妨一试。

10.3.3 杠杆平衡条件的应用练习
例3如图10-7所示,一根长40cm的轻质杠杆,它的一端可以绕固定点转动,另一端A用线竖直向上拉着,在离A点12cm的B点挂一个质量为200g的钩码。当杠杆在水平位置平衡时,线的拉力是多大?
【点拨】在例1我们学会辨认杠杆的五要素,学会画出杠杆的利力臂的基础上,本题中加入了公式的计算。只要足够细心,认清动力、动力臂、阻力、阻力臂,直接代入公式即可得到本题的答案。
【解析】阻力大小等于钩码的重力G,方向竖直向下,因杠杆为水平放置,可以看出阻力臂恰好为OB段的长度,又因为拉力的方向是竖直向上的,所以动力臂为OA段的长度,再来求动力F的大小。
根据杠杆平衡条件可知,
F∙OA=G∙OB
F×40cm=0.2kg×9.8N/kg×(40cm-12cm)
F=1.372N
【答案】拉力为1.372N。
【反思】本题中有两点应引起同学们注意:一是已知物体的质量,而参与计算的物理量却是物体的重力,要用G=mg公式进行计算后方可代入式中;二是阻力臂OB的长度也要进行计算后方可得到。

10.3.4 力臂变化对杠杆平衡的影响
例4 一根均匀的木棒,可绕O点自由转动,现在A端施加一个与OA方向垂直的力F,使木棒绕O点转动,由位置I,到位置II,再到位置III,如图10-8(a)所示,则F的大小将( )

A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.先变大再变小 D.先变小再变大
【点拨】因为力F始终与OA垂直,所以在杠杆旋转的过程中,力F的力臂始终是不变的,且杠杆受到的阻力为杆重也不变,所以在杠杆转动过程中,阻力的力臂如何变化是分析问题的关键点。
【解析】由图10-8(b)所示,阻力的力臂由位置I到位置II是变大,到III的位置再变小,由杠杆的平衡条件F1×L1=F2×L2可知,要想使等式保持成立,也就是说要使杠杆保持平衡,则力F的变化要先变大再变小。
【答案】C
【反思】在动态的杠杆试题中,杠杆上的几个物理量有时会发生变化,尤其是力臂的变化,初学者极不容易分析清楚,在分析时,要根据杠杆的平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”,先分析其中哪几个量是不变的,然后根据某个变化量(如本题中的阻力臂L2)的变化情况,确定要判断的另一个物理量。
10.3.5 杠杆平衡的一题多解
例5 如图10-9(a)所示,一根粗细均匀的硬棒AB被悬挂起来,已知AB=8AO,当在一处悬挂120牛的重物G时,杠杆恰好平衡,则杠杆自身的重力为________N。

【点拨】由于要考虑硬棒本身的重力,且支点又不在硬棒的端点,所以本题有不同的考虑和解法。
【解析一】若木棒AB总重为G木,总长度为L木。将OA作为一段硬棒,其重心在OA中心,OA重力为1/8G,力臂为1/16L。将OB作为一段硬棒,其重心在OB的中心,OB重力为7/8G,力臂为7/16L。如图10-9(b)所示,由杠杆平衡条件可知:
G左∙L左=G右∙L右+F∙OA
7/8G木×7/16L木=1/8G木×L木+G×7/8L木
则G木=1/3G
【解析二】分析如图10-9(c)所示。
主要思路是因支点相邻两格的作用相互抵消,不予考虑。
右端所挂物体的重力G只与最左边的6格木棒重力作用相平衡,则
6/8G木×4/8L木=G×1/8L木
G木=1/3G
【解析三】如果将木棒看成一个整体,则这个整体的重力作用是使杠杆沿逆时针方向转动,而外力G的作用是使杠杆沿顺时针的方向转动。分析如图10-9(d)所示。
G木∙3/8L木=G∙1/8L木
则G木=1/3G
G木=1/3G=1/3∙120N=20N
【答案】40N
【反思】局部和整体的分析方法在物理学中是最基本的,而且是常用的方法,在力学的分析中,多个物体受力和一个物体受多个力时,我们常常采用这种方法。从结果上来看,局部和整体的方法是等效的,不存在孰优孰劣的问题,只是从过程上来看,整体法解题往往较为简练。



A 卷
1. __________________________叫做杠杆,这个固定点叫做_________;促使杠杆转动的力叫做__________,阻碍杠杆转动的力叫做__________,这两个力对于使杠杆向哪个方向转动的作用是__________(选填“相同”或“相反”)的;____________叫做力臂。
2. 杠杆的平衡状态是指杠杆处于_________或_________________状态,杠杆的平衡条件是_____________________,数学表达式为_____________________。
3. 动力臂为阻力臂4倍的杠杆是__________杠杆(选填“省力”或“费力”)。若该杠杆受到的阻力为20N,则当动力为__________N时,杠杆处于平衡状态。
4. 如图10-10所示,轻质杠杆OA可绕O点转动,OA=0.3m,OB=0.2m。A点处挂一个质量为2kg的物体G,B点处加一个竖直向上的力F,杠杆在水平位置平衡,则物体G的重力大小为__________N,力F大小为___________N。

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