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2021年初中物理竞赛基础版系列讲义-06运动图像 相对运动

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第6讲 运动图像 相对运动
6.1 学习提要
6.1.1 正比例函数及图像
1. 正比例函数
一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么y就叫做x的正比例函数。
2. 正比例函数图像
在平面直角坐标系中,正比例函数y=kx(k>0)的图像是一条过原点O的倾斜直线,这条直线直观地反映了函数y与自变量x的正比关系,如图6-1所示。

6.1.2 匀速直线运动图像
根据数学知识可知,匀速直线运动的路程s跟时间t之间的关系为s=vt,式中的路程s相当于正比例函数y=kx中的y,时间t相当于x,保持不变的速度v相当于比例系数k,因此,匀速直线运动的路程-时间图像是一条过原点的倾斜直线。
物体运动的规律不但可以用公式来表示,还可以用图像来表示。表示路程和时间关系的图像,叫路程-时间图像(s-t图像)。表示速度和时间关系的图像,叫速度-时间图像(v-t图像)。图像通常是根据实验测定的数据作出的。
例如,我们要研究一辆汽车在一段公路上运动的情况,可以在公路旁每隔100m站一名拿着停表的观测者,记下汽车到达每个观测者的时间,如图6-2所示。测量的结果记入表6-1.

在平面直角坐标系中,以纵轴表示路程s的值,横轴表示时间t,标出表示(4.9,100)、(10.0,200)、(15.1,300)、(19.9,400)的点,每个点代表一对数据。可以看出各点几乎都在一条通过原点的直线上,如图6-3中的直线l,有的点略微偏离这条直线,这是由于测量误差引起的。画出这条直线,就得到了汽车的路程-时间图像。
从图6-3可以看出,匀速直线运动的路程-时间图像是过原点的一条倾斜的直线,这样一条过原点的直线表示正比例函数,即时间t增大几倍,路程s也增大几倍,或者说s/t=恒量。而s/t=v,v是恒量,表示汽车是做匀速运动,根据图像中s、t的数值,可以求出汽车

的速度为v=20.0m/s。图6-3中的直线2是一辆匀速运动的自行车的路程-时间图像,它的速度为5.0m/s。
利用路程-时间图像不仅可以求出速度,还可以直接读出任一时间内的路程。例如,利用图6-3汽车的路程-时间图像,可以知道12s内汽车通过的路程为240m。同样,利用图像也可以直接读出通过任意路程所需的时间。
在平面直角坐标系中,以纵轴表示速度,横轴表示时间,根据实验数据可以画出速度-时间图像。匀速直线运动的速度不随时间而改变,所以它的速度-时间图像是平行于横轴的直线。图6-4是图6-3所表示的两个匀速直线运动的速度图像。图像表明,速度不随时间而改变。如果图像与横轴的距离越大,速度就越大。利用图像还可以求物体在时间t内通过的路程,数值上等于矩形OABt的面积,如图6-5所示。


6.1.3 相对运动的速度
两物体相对于地面的运动速度分别为v1和v2(v1>v2),当两物体沿一直线向相反方向运动时,若选其中之一为参照物,则另一物体相对于它的速度大小为原来相对于地面的速度之和,即v=v1+v2;当两物体沿一直线同方向运动时,若选其中一个为参照物,则另一个相对于它的速度大小为原来各自相对于地面的速度之差v=v1-v2。例如船在航行中考虑水流速度时,可以用上述方法求得合速度。

6.2 难点释疑
6.2.1 如何获得匀速直线运动图像信息
图6-6是一物体在某段时间内运动的路程-时间图像,从图像中可以获得许多关于物体运动的信息:如在0~2s内物体是做匀速直线运动,速度大小为1m/s;2~4s内物体处于静止状态;4~7s物体继续做匀速直线运动,速度大小为1.33m/s等。

6.2.2 行船问题和自动扶梯问题
如果小船在静水中划行的速度为v1,水流速度为v2,则小船顺流而下时相对于岸的速度v顺=v1+v2,小船逆流而上时相对于岸的速度v逆=v1-v2。
在自动扶梯问题中,若自动扶梯向上运动的速度为v1,人在静止的扶梯上行走的速度为v2,则人沿上行的扶梯上楼时,对地的速度v上=v1+v2,人沿上行的扶梯下楼时,对地的速度v下=v2-v1。

6.3 例题精析
6.3.1 匀速直线运动图像的绘制
例1 小车从静止开始做匀速直线运动,通过测量可得到做匀速直线运动小车的路程和时间数值(见表6-2)。
表6-2
路程s(10-2m) 0 1.8 3.6 5.4 7.2 9.0
时间t(s) 0 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30
利用表6-2中的数据,绘制出路程-时间(s-t)图像和速度-时间(v-t)图像。
【点拨】取纵坐标表示小车运动的路程s,横坐标表示小车运动的时间t。表6-2中每一组对应的s、t值都可以用s-t坐标系中的一个点来表示,将这些点连起来就是一条过坐标原点的倾斜直线。由此可见,匀速直线运动的路程-时间(s-t)图像是一条过坐标原点的倾斜直线。若用纵坐标表示速度v,横坐标表示时间t,匀速直线运动也可用速度-时间(v-t)图像来表示。由于做匀速直线运动的物体的速度是恒定的,所以速度-时间图像是一条平行于时间t轴的直线。
【答案】如图6-7所示,(a)为路程-时间(s-t)图像;(b)为速度-时间(v-t)图像。

【反思】从s-t图像中,可以直接找到做匀速直线运动的物体在某一段时间内通过的路程s,或者通过某一段路程所用的时间t,也能计算出匀速直线运动的速度v。根据匀速直线运动的速度公式,在通过的路程s、所用的时间t和速度v三个物理量中,只要已知其中任意两个量,便可求出第三个量。

6.3.2 路程-时间图像应用
例2 某物体的路程-时间图像如图6-8所示,若规定向东为正方向,试分析和描述物体在各阶段的运动情况。
【点拨】在分析图像前,首先要看懂横、纵轴所表达的物理量,然后再结合函数关系图像去认识物理量之间的关系。
【解答】物体自计时时刻t=0开始,从原点出发向东做匀速直线运动,1s内向东运动了10m,对应图6-8中OA段;接着从1s末到第2s末在出发点东边10m处静止1s,对应图6-8中的AB段;在第3s内又向东运动了20m,对应于图6-8中的BC段,第3s末离出发点最远,为30m,对应图6-8中的C点;在第3s末到第5s末,物体返回,向西运动,第5s末回到出发点,对应图6-8中的CD段。
【反思】物体的路程-时间图像和运动轨迹是两个不同的概念,在直线运动中,s-t图像可以是直线、折线和曲线,但轨迹一定是直线。

6.3.3 如何根据不同参照物判断物体的时间运动
例3 A、B、C三列火车在一个车站。如图6-9所示,A车上的乘客看到B车向东运动,B车上的乘客看到C车和站台都向东运动,C车上的乘客看到A车向西运动,站台上的人看A、B、C三列火车各向水面方向运动?
【点拨】B车上的乘客以B车为参照物,看到C车和站台都向东运动,而实际上站台相对于地面是静止的,可判断站台上的人看到B车是向西运动。A车上的乘客以A车为参照物,看到B车向东运动,则可判定站台上的人看到A车也在向西运动,且比B车运动快。C车上的乘客以C车为参照物,看到A车向西运动,则相对于站台C车有可能在向西运动,且比A车、B车运动慢;C车也有可能静止没动;C车还有可能向东运动。
【答案】站台上的人看到:A车向西运动;B车向西运动,且比A车慢;C车有可能静止,有可能向东运动,有可能向西运动,但比A车、B车慢。
【反思】判断物体是否运动时,一般先确定被研究的物体,其次选定参照物,最后根据研究物体相对参照物的位置是否发生变化来确定。如果被研究物体相对于参照物位置改变了,则它是运动的;如果被研究物体相对于参照物位置不变,则它是静止的。本题中判断B车的运动情况是切入点。

6.3.4 如何用相对运动解错车时间
例4 甲、乙两列火车,车长分别为L1和L2,在相邻的两条轨道上,甲车以速度v1向东匀速行驶,乙车以速度v2向西匀速行驶,则甲、乙两列火车从相遇到离开所需时间为多少?
【点拨】方法(一)是以地面为参照物,根据已知条件建立有关方程并求解。方法(二)以火车为参照物,此时的速度是相对速度。
【解答一】图6-10分别表示出了两车相遇和相离时刻的位置,以t表示两车由相遇到相离的时间,则在这段时间内两车通过的距离分别为
s1=v1t ①
s2=v2t ②
由图6-10可以看到,s1与s2之和应等于两车长度之和,即应有
s1+s2=L1+L2 ③
联立以上三式,可解得t=(L_1+L_2)/(v_1+v_2 )。
【解答二】根据相对运动来求解,即以甲车为参照物,则乙车的速度(即乙车相对于甲车的速度)大小为(v1+v2),而在此过程中,乙车通过的距离为L1+L2,则所经历的时间应为
t=(L_1+L_2)/(v_1+v_2 )
【答案】甲、乙两列火车从相遇到离开所需时间为t=(L_1+L_2)/(v_1+v_2 )。
【反思】从以上两种解法可以看出,方法(一)借助直观的示意图,思维要求比较低:方法(二),选取运动物体甲车为参照物,可以使问题简化,但思维要求比较高。

6.4强化训练
A卷
1、匀速直线运动的路程-时间图像,横轴t表示 ,纵轴s表示 。该图像表示匀速直线运动 的变化规律,这个图像 物

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