导数恒成立问题例题和相关例题如下：
例1：已知函数f(x) = x³ - 9x² + 13，求$f(x)$在区间[1, +∞)上的最小值。
解：$f(x) = x(x^{2} - 9x + 13)$，$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 18x + 13$，令$f^{\prime}(x) = 0$，得$x = 1$或$x = \frac{13}{3}$。
由于$f^{\prime}(x)$在区间[1, +∞)上为增函数，所以当$x \in \lbrack 1, + \infty)$时，$f^{\prime}(x) \geqslant f^{\prime}(1) = 0$，即$f(x)$在区间$\lbrack 1, + \infty)$上为增函数，所以$f(x)$在区间$\lbrack 1, + \infty)$上的最小值为$f(1) = - 5$.
例2：已知函数$f(x) = x^{3} - 3ax^{2} + (a^{2} + 2a)$，其中$a > 0$.
(1)求函数$f(x)$的单调区间；
(2)求函数$f(x)$在区间$\lbrack 0,2\rbrack$上的最小值。
解：(1)由题意得$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 6ax = x(3x - 6a)$，令$f^{\prime}(x) = 0$，得$x_{1} = 0，x_{2} = \frac{6a}{3} = 2a$.
当$a > \frac{1}{2}$时，$f^{\prime}(x)$在$( - \infty,\frac{6a}{3})$上为增函数，在$(\frac{6a}{3}, + \infty)$上为减函数；
当$\frac{1}{2} \leqslant a < 1$时，$f^{\prime}(x)$在$( - \infty,2a)$上为减函数，在$(2a, + \infty)$上为增函数；
当$0 < a \leqslant \frac{1}{2}$时，$f^{\prime}(x)$在$( - \infty, + \infty)$上为减函数。
所以当$a > \frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的单调递增区间为$( - \infty,\frac{6a}{3})$和$(2a, + \infty)$；单调递减区间为$(\frac{6a}{3},2a)$.当$\frac{1}{2} \leqslant a < 1$时，函数$f(x)$的单调递增区间为$( - \infty,2a)$；单调递减区间为$(0,2a)$和$(2a, + \infty)$.当$0 < a \leqslant \frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的单调递减区间为$( - \infty, + \infty)$.
(2)由$(1)$可知当$a > \frac{1}{2}$时，函数$f(x)$在区间$\lbrack 0,2\rbrack$上的最小值为$f(\frac{6a}{3}) = a^{3} - a^{2} + a$;当$\frac{1}{2} \leqslant a < 1$时，函数$f(x)$在区间$\lbrack 0,2\rbrack$上的最小值为$f(0) = a^{2} + 2a$;当$0 < a \leqslant \frac{1}{2}$时，函数$f(x)$在区间$\lbrack 0,2\rbrack$上的最小值为$f( - \infty) = - \infty$.
例3：已知函数 $g(x) = f\lbrack g(x)\rbrack + x^{3}$ 在区间 $\lbrack - 1,1\rbrack $上是单调递增的，求实数 $m$ 的取值范围。
解：设 $t = g(x)$，则 $y = f(t) + t^{3}$ 在 $\lbrack - m^{2},m^{2}\rbrack $上是单调递增的，且 $g^{\prime}(x
导数恒成立问题例题：
例题1：已知函数f(x) = x^3 - 9x + 12在区间[0, +∞)上的最小值为-6，求x的值。
相关例题：
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x在区间[a, b]上的导数恒大于0，求a，b的取值范围。
2. 已知函数f(x) = x^3 - x在区间[a, b]上的导数恒小于0，求a，b的取值范围。
解题思路：
对于导数恒成立问题，通常需要构造函数，利用导数研究函数的单调性、最值，从而求出参数的取值范围。
需要注意的是，导数恒成立问题通常需要分类讨论，要注意避免重复或遗漏情况。
导数恒成立问题是高中数学中的一个重要考点，常常出现在导数部分的压轴题中。这类问题通常涉及到函数的单调性、极值、最值以及函数图象等问题，需要考生对导数的性质有深入的理解和掌握。
下面给出一些导数恒成立问题的例题和常见问题，帮助你更好地理解和掌握这一知识点。
例题1：已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0, 2]上是否存在极值？
分析：要判断函数f(x)在区间[0, 2]上是否存在极值，需要求出函数f(x)的导数，判断导数为零的点左右两侧导数值的符号。
解：函数f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x = ±1。
当x∈(0, 1)时，f'(x) < 0；当x∈(1, 2)时，f'(x) > 0。
所以函数f(x)在区间(0, 1)上是减函数，在区间(1, 2)上是增函数。
因此，函数f(x)在区间[0, 2]上没有极值。
例题2：已知函数f(x) = x^3 - 3ax + 2a在区间[1, 3]上是否存在极值？
分析：要判断函数f(x)在区间[1, 3]上是否存在极值，需要求出函数f(x)在区间端点的函数值、导数值以及导数为零的点左右两侧导数值的符号。
解：函数f(x)在区间端点处的函数值为f(1) = a + 2, f(3) = a + 17, f'(x) = 3x^2 - 3a。
当a > 0时，令f'(x) = 0，得极值点x = ±√a。
因为区间端点处的导数值异号，所以函数f(x)在区间[1, 3]上存在极值。
当a = 0时，函数f(x)在区间[1, 3]上是常函数，没有极值。
当a < 0时，极值点在区间外，所以函数f(x)在区间[1, 3]上没有极值。
常见问题：
1. 求函数的单调区间和极值点；
2. 利用导数研究函数的图象和性质；
3. 导数恒成立问题，需要用到函数的单调性和最值；
4. 利用导数研究函数的凸凹性、拐点等性质；
5. 导数在解决实际问题中的应用，如优化问题、速度问题等。