这篇文章会从物理学的视角出发, 经过从物理学到人工智能的过程来对物理信息神经网络予以介绍。
让我们从这里迈出第一步：
于物理学范畴内所涉世界的运行机理状况 为我们先行知晓 借由科学方法之运用能够提出假设 针对任一个别现象的发生情形予以阐释 进而专门布设一场可控性实验 凭借实验所产出的数据 对该假设予以证实或者证伪。
能够讲, 物理学跟自然演化的进程是紧密相连的, 我记起来在大学期间有一位教授以这样子的一句话开启自身的报告:
赫拉克里特斯讲了这样的话, 那便是“万物皆动” , 可我对此持有深信不疑的态度, 然而, 究竟是怎样以一种方式去运动的呢?
而这便是物理学在试图解答的问题。“万物”如何“动”呢？
以特定方程, 也就是为人所熟知的微分方程, 人们用来描述万物运动的方式。让我们先来尝试着去明白, 什么是微分方程。
1.物理与微分方程
“微分”描述了一类与减法有关的东西。
1.1 导数
一个函数的导数在物理学当中有着特殊的意义。
比如说, 速度体现的是空间关于时间的导数情况。我们来思考像这样的实验: 有一个物体, 它沿着一根处于一维状态的线条做运动。
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换言之, 这个呈现蓝色的小小球正沿着x轴进行运动。一般而言, 我们将初始的那个点设定为0。当这个小球处于运动状态的时候, 它所在的位置会依据时间而发生改变, 假定这个位置随着时间变化所形成的图像如下:
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于是这个运动可以被描述得更加清晰：
A.从 0 时刻起, 经过一段时间, 直至 5 时刻, 小球的位置, 从 0 改变到 9 , 期间小球是朝着前方进行运动的。
B.时刻 5 至 15，位置没有改变：小球静止了。
C.在时刻15到紧接着的17这个时间段, 位置从9开始一直变化到3的过程中, 小球朝着相反方向进行运动。
D.在时刻处于 17 这个点的时候, 直至 47 这个位置, 是由 3 变化到 6 的情况: 小球又继续往前行进变动了。
究竟从何时开始, 以怎样的方式, 这粒小球实现自身位置的改变, 是不是能够被精准明确且量化得出, 甚至具体的位置变化数值已是清晰可辨, 实际上这其中所蕴含的是关于速度的解析内容, 而其具体呈现, 我们是借助如下的表达式来进行详细表述的:
方程 (1)
好像看上去有那么一些复杂, 然而实际上速度不过仅是两个极为近似的时刻所对应的, 也就是表达式里 h 趋向于 0 的极限的位置变化量再去除以两个时刻的差, 也就是 h, 故而我们采取微分方程去进行描述, 也就是说, 速度是经由时间间隔归一化之后的位置瞬时变化量。
要是在某一个特定的时刻, 位置存在一个剧烈的增加情形, 那就意味着其导数是极为大的正数；当位置没有改变的情况发生时, 导数是为零的；而当位置出现减小的时候, 导数是为负的。
在上述所举的例子里头, 每一段所处位置的改变呈现为线性, 也就是讲, 时刻处于段0至5之间的速度始终保持不变, 时刻处于段5至15之间的速度一直维持恒定, 时刻处于段15至17之间速度未曾有变化, 时刻处于段17至47之间的速度各自均无改变。
拿 t这个代表时间的变量从等于0变化到等于5的情况来说, 在这期间, 针对每一个时刻具体的t, 它位置的瞬时变化的那个量都是分数9除以5, 其他时间段亦是能够按照具有同样内容含义的方式去理解上面所提到的函数的。
1.2 数值解
上面的例子非常简单，让我们来考虑下面这个例子看看：
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这样的轨迹, 建模起来就会变得十分困难, 而且不存在解析的办法去计算导数, 你仅能用数值的方式进行计算, 在凡是时间点之上, 运用公式(1)给出导数。顺便提及一下, 我觉得你已然全然准备好去直面残酷的现实了:
现实世界中所有的微分方程都是用数值软件求解的。
若进行数值求解或许得开展千万次迭代, 不仅如此, 求解微分方程还需高级办法, 诸如有名的龙格 - 库塔（Runge - Kutta）方法, 通常它会被集成于极复杂的软件里面（仿佛用于有限元方法的POGO）, 这些软件。
计算成本高
经济成本高
需要专业知识
时间成本高（以有限元方法为例，往往花费数分钟至数小时不等）
1.3 不适定问题
而上述提及的问题, 甚至并非是最为糟糕的那个。令人难过的事是, 会出现那种不适定（ill - posed）的状况。接下来, 我举一个例子。
比如要求解 x 和 y 的问题：
是不是挺简单？
• x+y=4
・ 于是 x+2y=x+y+y=8
• 4+y=8
・ 得到 y=4
• x=0
对于方程组而言, 其解呈现为 (x,y) = (0,4) 的形式, 在这个时候, 此问题处于合适定解的状态。这是源于满足此种条件的解具备惟一性的特性, 而这个惟一的解正是上面所获取到的解。
但以下问题就不一样了：
存在两个方程在本质上是相同的, 尽管(x,y) = (0,4)能够作为其中一个解, 然而(1,3)同样可以作为解, 该方程组事实上存在无穷多个解, 此问题属于不适定问题, 对于这样一个已确定的问题, 具备不止一个解（实际上是无穷多个解）。
如果是求解下面这个问题：
方程 (2)
这类被称作反演的问题, 可用于从位移图推导得出速度图, 上面提及的这个反演问题, 能用于超声波探测中去表征材料里的一个侵蚀缺陷, 即便存在最完美的实验设置, 也就是无限多个传感器, 这个问题依旧是不适定的, 换种说法来讲, 信息无法推导出一个唯一又可靠的速度分布图。
2.人工智能和神经网络
现在说说人工智能（AI）。
这句话可以很简单地介绍人工智能：
人工智能算法不需要具体的程序就可以执行特定的任务。
有这样一种情况, 自动驾驶汽车, 哪怕是在没有数学以及明确培训的状况之下, 当任何人朝着车前走去的时候, 它都能够做到刹车, 这背后的缘由在于, 它经历了百万人的“训练”。
确切来讲, 一切人工智能算法均依存于损失函数（Loss）。
这个专门设定的函数, 是用来展现目标值, 也就是期望输出的值, 跟算法输出值之间的差距的, 它得借助优化去实现最小值。
若给定一座带着一些特征的房子, 期望去预测它的花费, 这可是一个在房产数据集中很有名的问题 , 这属于一个从输入空间到连续空间的回归（存在一些情况）问题。
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若是所给出的预测价格呈现为130k, 然而实际价值却是160k, 那么平均绝对值误差MAE的这种称谓之下的定义即为:
在这个问题中为 30k。
由这个式子能够表明, 我们所拥有的模型属于一个被命名为的神经网络, 它会对输入数据予以处理, 进而输出一个预测值。在处在上述的例子里, , 然而。
要是存在好多房屋有着这样子的一系列预测花费, 那全局损失函数大致就长成这个样子:
跟建立模型相关的一系列参数W, 对损失函数存在着依赖关系, 损失的数值越低, 表明模型的建立状况属于越好的情形。
于是, 损失函数会持续不断地进行优化, 从某种意义来讲降低到越低的程度越好。参数会被持续不断地进行迭代, 以此来让损失函数降低到最低值（局域最小值）。
3.AI + 物理 = 物理信息神经网络
如果你看到这里：
你值得一阵掌声
或许你会心生疑惑, 人工智能, 也就是神经网络, 跟微分方程, 也就是物理方面的, 究竟存在着怎样的联系呢?
在对这个问题予以回答之前, 我们得去掌握另外的一个概念称作正则化（）。
3.1 正则化
所有机器学习算法最终都是一个优化问题, 这是我们在上一部分了解到的, 进行这个优化问题就是要去寻找能让损失函数最小化的最佳参量组。
会出现这样一个问题, 这个解有可能在训练集中能达到最佳状态, 然而却不适用于测试集, 也就是会出现过拟合情况, 在这个时候的最佳值仅仅是局部范围内呈现出最佳的。
再深入解释一些：
假设初始模型由两个参数产生，你在如下的空间中寻找解：
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得到的参数, 于训练集中运用的损失函数所获取的损失值L趋向于接近0。
当把这个参数组合运用在测试集（那是一系列全新的数据喽）上时, 损失函数变得极大。这表明损失函数的定义不准确, 实际上在这个问题里, 真正的最优解是这样的:
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那么如何避开红色标记的错误点而得到最优点（绿色标记）呢？
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倘若算法仅仅于绿色圆圈内部去“寻觅”, 那就好了, 如此一来便不会陷入错误的红色圈套当中（局域最优状态）了。
这便是正则化, 它是对损失函数实施修改, 借此让其空间解受到限制, 进而使得求解出全局最优的可能性增大, 而非求解出局域最优。
3.2 物理信息神经网络 = 正则化！
还记得, 上面方程 (2) , 所表示的, 反演问题吗, 一些学者, 正在尝试, 求解。
在刚开始的时候, 于某些特定的位置那儿, 位移（u）是已知的, 他们期望在算法未知的区域当中, 通过对u进行插值操作, 进而得到v。换句话来说, 当给出新的t、y以及x时, 能够获取与之对应的新的位移, 凭借这个新的位移就能够得到新的速度分布情况。
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现阶段, 针对这个方程的解决办法存有诸多争议, 缘由在于这个问题并非是适定的, 换而言之, 即便有人找到了一个解, 也没法确定它是不是唯一的 , 不仅如此 , 还有诸多物理学限制难以求解。
他们期望借助对位移加以限制, 使其符合波函数方程 (2), 进而达成产生位移的目的, 还要同损失函数相融合。
满足：
其中表示预测位移与目标位移间的平方差物理好资源网，的值要尽量接近 0。
这表示什么呢？简而言之，代表了一个正则化过程：
为了帮助算法找到最优解, 他们采取了这样的做法, 即通过限制损失函数范围, 而这主要是为了排除不符合微分方程的解。
神经网络获取“物理信息”的方式是什么呢? 是借助于微分方程正则化达成的。
4.结论
在文末高中物理微分方程高中物理微分方程，我想说：
物理信息神经网络, 是那般通过微分方程正则化损失函数的神经网络哟。
通过几分钟的阅读，本文可以总结为几个方面：
・损失函数是什么（第 2 部分）
・正则化是什么（3.1 部分）
・微分方程是什么（第 1 部分）
・物理信息是什么（3.2 部分）
希望你对物理信息神经网络有了一定的了解~