文／郭履平
于中学生物理竞赛里头，不容易发觉某样一类试题，题目描绘的物理情境并非生疏。其所牵涉的物理知识。
认识它其实并非特别复杂，要是能够恰到好处地去运用数学方面的技巧来进行求解的话，那么问题便可以顺利地被解决掉。可是呢，选手在处理这一种相关类型的。
在面对问题之际，常常会因为没办法灵活地去运用数学技巧，从而导致之前所做的努力全都白费。而辅导教师呢，是在针对参赛选手开展物理知识的传授工作。
于物理方法进行渗透之际，借助某些具有典型性的物理问题，去开展传授以及强化他们数学技巧的行为，以此提升他们运用数的能力。
具备解决物理问题的能力是非常有必要的，笔者借助实例剖析，针对解物理竞赛题里的数学技巧进行一番简要阐述。
要探讨．
一、引入参数方程，简解未知量多于方程数的问题
1ｍｏｌ理想气体，经历了一个循环过程，此过程是缓慢的，这是第15届全国中学生物理竞赛试题中的例子。
于ｐ－Ｖ图里，此一过程成为一个椭圆，像图1展示的那样，已知这种气体要是处于和椭圆中心Ｏ′点所对应的。
状态之际的时候，其温度呈现为Ｔ０等于300Ｋ，那么去求在整个循环的进程当中气体的最高温度Ｔ１以及最低温度Ｔ２分别是多少呢。
图1
由题给的那些条件，能够去列出两个相当独立的方程，也就是气体循环过程的椭圆形状的方程，以及理想的那个方程。
气体的状态方程，即
，①
ｐＶ＝ＲＴ．②
方程①之中，含有未知量ｐ、Ｖ、Ｔ，方程②里面，同样含有未知量ｐ、Ｖ、Ｔ，直接针对方程①与方程②，展开演算，要去求出循环过程里的最。
较为困难的是，处于高温度Ｔ１或者最低温度Ｔ２ ，现依据①式引入含参数定义的某个方程，此方程是。
②式则转化为
Ｔ等于，1除以Ｒ，乘以，ｐ０加上，ｐ０除以2，乘以ｓｉｎα，再乘以，Ｖ０加上，Ｖ０除以2，乘以ｃｏｓα。
即，Ｔ等于，［1加上，（1／2）乘以，（ｓｉｎα加上ｃｏｓα），再加上，（1／4）乘以ｓｉｎαｃｏｓα］乘以Ｔ０，③。
（上式中Ｔ０＝ｐ０Ｖ０／Ｒ，为Ｏ′点对应的温度）
因为ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝
ｓｉｎ（（π／4）＋α），
ｓｉｎαｃｏｓα＝（（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）
－1）／2，④
而－1≤ｓｉｎ（（π／4）＋α）≤1，
所以－
≤ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤
当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤
，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝
时，由④式知
ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2，
将上式代入③式得
Ｔ≤［1＋（1／2）×
＋（1／4）×（1／2）］Ｔ０，
即最高温度Ｔ１＝549Ｋ．
当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≥－
，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝－
时，由④式知
ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2，
代入③式，得
Ｔ≥［1＋（1／2）（－
＋（1／4）·（1／2））］Ｔ０，
即最低温度Ｔ２＝125Ｋ．
二、实施近似处理，解决物理规律不明显的问题
例2，如图2展示那样，两个电量都为Ｑ的正点电荷，被固定放置于ｘ轴上的Ａ、Ｂ两处，其中点Ａ。
Ｂ与原点的距离均为ｒ，要是在原点Ｏ放置一个带正电的点电荷，其电量为ｑ，当对点电荷加以限制。
ｑ在哪些方向上运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的?
图2
考虑解析设定限定点电荷ｑ于和ｘ轴形成θ角之际在ｙ轴之上进行运动，当它遭受扰动进而移动至Ｐ点，也就是顺着。
ｙ轴有微小的位移ｙ（
你提供的内容似乎是一段不完整的表述呀，请你补充完整准确的内容，以便我按照要求进行改写。
在ｙ轴上的合力为
ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／
）ｃｏｓα－ｋ（Ｑｑ／
）ｃｏｓβ，
由余弦定理知
＝ｒ
＋ｙ
＋2ｒｙｃｏｓθ，
＝ｒ
＋ｙ
－2ｒｙｃｏｓθ．
又由三角形知，
ｃｏｓα＝（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／，
ｃｏｓβ＝（ｒｃｏｓθ－ｙ）／，
故ｆｙ＝ｋＱｑ（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／（ｒ
＋ｙ
－2ｒｙｃｏｓθ）
３／２
－（ｋＱｑ（ｒｃｏｓθ
－ｙ）／（ｒ
＋ｙ
－2ｒｙｃｏｓθ）
３／２
）．
上述式子已然呈现出ｆｙ跟θ、ｙ之间的定量关联，然而它们所遵循的规律并非显著明了，究竟该如何把合力ｆｙ与方向，请问您提供的内容似乎不太完整，后面是否还有相关表述呢？
角θ与位移ｙ之间的物理规律呈现出来了吗？因为ｙ很小，所以ｙ的二次项能够省略，得出。
ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ
），
即ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ
）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）
－３／２
－（ｒｃｏｓθ
－ｙ）（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）
－３／２
］，
根据二项式展开式
（1＋ｔ）
＝1＋Ｓｔ＋（Ｓ（Ｓ－1）／2！）ｔ
＋…＋（（Ｓ（Ｓ－1）…（Ｓ－ｎ＋1））
／ｎ！）ｔ
＋……，
（其中Ｓ为任意实数）
有（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）
－３／２
＝1＋（－3／2）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋
先是负二分之三，然后是负二分之三减去一，再除以二的阶乘，得到一个结果，接着是二ｙ除以ｒ，再乘以ｃｏｓθ，把前面得到的结果与这个结果相乘。
＋……，
（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）
－３／２
＝1＋（－3／2）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）
正号，加上，负的二分之三，乘以，括号内，负的二分之三减去一，除以，二的阶乘，再乘以，括号内，负的二倍ｙ除以ｒ，乘以，ｃｏｓθ。
＋……，
又因为ｙ远远小于ｒ，或者（2ｙ／ｒ）乘以ｃｏｓθ远远小于1，所以（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）中关于二次项还有二次项以上的项。
上高次项可略去，得
ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ
），［（ｒ乘以ｃｏｓθ加上ｙ），（1减去（3乘以ｙ除以ｒ）乘以ｃｏｓθ），减去（ｒ乘以ｃｏｓθ减去ｙ）］。
（1＋（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）］，
＝－ｋ（2Ｑｑ／ｒ
）（3ｃｏｓ
θ－1）ｙ．
由此可见，当（3ｃｏｓ
当θ减去1的结果大于0的时候，ｆｙ小于0，也就是说合力的方向朝着原点指去，跟位移的方向是相反的。
即ｆｙ具有回复力的特征．因而点电荷ｑ是稳定的．
图3
根据3ｃｏｓ
θ－1＞0，即ｃｏｓθ＞／3时，得
－ａｒｃｃｏｓ（／3）＜θ＜ａｒｃｃｏｓ（／3），
或当ｃｏｓθ＜－／3时，得
π－ａｒｃｏｓ（／3）＜θ＜π＋ａｒｃｃｏｓ（／3）．
所以，当对处于如图3所示阴影区域的点电荷ｑ进行限制、使其运动时，它在原点Ｏ处才呈现出稳定的状态。
三、利用特殊值，求解一般性问题
特殊值乃是表示，物理量要是处于某一特殊情形之下时的取值结果 ，物理量于一般状况下的量值相互之间必定与这个特殊的取值有所关联。
一定的联系是存在于之间的。要是我们能够确定某一特殊的值物业经理人，那么常常可以借助数学方面的技巧，去求出一般情形下的该。
物理量的量值．
例3，有一个呈空心状态的、环形的圆管，它沿着一条直径而后被截成了两部分，其中一半是竖立在铅垂平面之内的，就如同图4所展示的那样。
管口的连线处于一条水平线上，现今朝着管内装入那些与管壁相切的小滚珠，数量为2ｍ个，左侧顶部的滚珠以及右侧顶部的滚珠都与圆。
管的截面呈现相切的状态，已知单个滚珠的重量是Ｇ，并且设定系统之中处处不存在摩擦，求从左边开始数第ｎ个以及第（ｎ＋1）个。
滚珠之间的相互压力Ｑｎ．
图4
就一般性问题着手开展分析与解的探究，具体到对第ｎ个滚珠受力情形进行剖析，该个滚珠承受着四个力的作用，分别是重力。
力Ｇ物理竞赛难吗，管壁针对它的弹力Ｔｎ，第（ｎ－1）个滚珠给予它的压力Ｑｎ－１，还有第（ｎ＋1）个滚珠施加于它的压力。
压力Ｑｎ，因为Ｔｎ的量值是未知的情况，并且它并非是本题所要求解的内容，所以就选取了像图5所展示的那样的、与Ｔｎ方向处在同一线上的轴进而作为。
ｙ轴建立直角坐标系．
图5 图6
由平衡条件知ｘ轴方向的合力为零，得
Ｑｎ－１ｃｏｓα＋Ｇｃｏｓβ－Ｑｎｃｏｓα＝0，
由几何知识，得α＝θ／2（其中θ＝π／2ｍ），
β＝（（ｎ－1）π／2ｍ）＋α，
故Ｑｎ－Ｑｎ－１＝
．①
从①式出发而言，怎样去求得Ｑｎ呢？针对第1个滚珠开展受力分析，呈现于图6，进而得到一个特殊的值。
即 Ｑ１＝
，②
故可对①式进行递推，得
Ｑ２－Ｑ１＝
Ｑ３－Ｑ２＝
……
Ｑｎ－Ｑｎ－１＝
将上面所列等式左、右两边分别相加，得
Ｑｎ减去Ｑ１，等于，中括号内，ｃｏｓ（3π／4ｍ）加上ｃｏｓ（5π／4ｍ），一直加到ｃｏｓ（（2ｎ－1）π／4ｍ），之后乘以Ｇ。
／ｃｏｓ（π／4ｍ），
把②式代入，得
啊，Ｑｎ等于，中括号里是，ｃｏｓ，左括号，（2ｋ－1）π除以，4ｍ，右括号，然后乘上，Ｇ，最后除以，ｃｏｓ，左括号，π除以，4ｍ，右括号。
而 ｃｏｓ（（2ｋ－1）π／4ｍ）
等于，二分之一乘以正弦，四分之π除以ｍ，的平方，乘以，二倍的余弦，二分之ｋπ除以ｍ，减，四分之π除以ｍ，再乘以，正弦，四分之π除以ｍ。
再者物理竞赛难吗，就是［ｓｉｎ（ｋπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｋ－1）π／2ｍ）］。
等于一个式子，这个式子是，正弦函数在π除以二倍的ｍ处的值减去零，再加上，正弦函数在二倍的π除以二倍的ｍ处的值减去正弦函数在π除以二倍的ｍ处的值。
＋［ｓｉｎ（3π／2ｍ）－ｓｉｎ（2π／2ｍ）］＋…
正号加上，正弦函数值，其中自变量为，ｎ倍的π除以，2ｍ，减去，正弦函数值，其自变量为，（ｎ减去1）倍的π除以，2ｍ，等于，正弦函数值，其自变量为，ｎ倍的π除以，2ｍ。
所以，Ｑｎ等于，（ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ）除以ｓｉｎ（π／2ｍ））再乘以Ｇ。