夏天美好时，人人都爱站在水边瞧浪花拍岸。可曾有多少人对水于运动进程里展现出的极端繁杂性心生好奇？其运动看似既平滑又具规律，然而当它在沙滩上拍碎后有怎样的变化？它会分裂成数以百计的水流与气泡吗？会变得全然不可预测吗？正是纳维 - 斯托克斯方程组掌控着这种不可思议的复杂状况。
多数人都颇为熟知牛顿第二定律，力施加于物体之上，此力等同于物体质量与加速度二者的乘积。
牛顿第二定律
这个公式适用于世上全部的宏观物体，然而要是你想知悉液体的状态，你还得晓得一些别的东西，即纳维-斯托克斯方程组。
在全球的范围之内，存有这么一串方程，工程师以及物理学家会把它们运用在诸多领域，这些领域涵盖从针对飞机的设计一直到血液循环方面。而这些方程的本身难度呈现出非常难解的状况，正因为如此这般，所以它们构成了七个千禧年大奖难题内里的一部分，要知道解决其中任何一个问题均能够获取100万美元的奖金。
纳维-斯托克斯方程组
虽则它在表象上仿若和任何高级公式一样可能会致使人心生那种畏惧之感，然而它们所用以表示的概念并非是复杂的。我们会针对它们的含义逐个去展开探讨，从而去明白它们为何是这般重要。
介绍
开始之前我们要先做一些假设。
首先，我们所研究的对象为牛顿流体，其乃是用于解释流体粘度的最为简单的那种数学模型。在现实情形当中，并不存有真正意义上的牛顿流体，然而在大多数的状况之下，空气以及水能够被视作牛顿流体。另外，还有一个相当重要的假设就是，流体是不可以被压缩的。这所表达的意思是，它的密度ρ是一个恒定不变的常数。
质量守恒
质量守恒公式
这个等式向我们传达出，我们所探究的流体的质量乃是守恒的。该流体能够自行变换自身的形状，然而自始至终它的质量是保持不变的。
速度矢量的散度
此时，让我们来聊一聊数学，字母用来表示流体的速度矢量，该速度矢量存在三个分量，我们能够将它们分别称作u，v，w，这三个分量表示着速度在x，y，z这三个方向上的分量，希腊字母nabla加上一个点乘符号代表散度算符，散度算符意味着在各个方向上针对矢量的分量去做微分操作。
首个导数所呈现的是，速度针对于空间x的x分量，究竟是怎样随着空间x产生变化的，而另外的两个导数，所表达的是同样的一种意义。鉴于此公式等于0，故而质量是守恒的。
动量守恒
动量守恒公式
能够被视作流体的牛顿第二定律的第二个方程，实际上是由三个微分方程所构成的方程组，要是我们把表达式予以展开，那么便能够得到一个繁复的方程组：
扩展后的动量守恒公式
为了能以使理解起来变得简单些，我们会把这个扩展形式予以忽略掉，将注意力侧重于讨论动量守恒。
倘若我们针对流体展开研究，那么只要质量与密度的体积是相同的，我们就能够将质量和密度视作相同的事物。要是我们考量的为两种流体高中物理流体公式，那么我们能够讲密度比较大的流体属于“较重”的流体，就像汞与水放在一起汞更为沉重一样。在此情境下，密度这一概念用希腊字母ρ（rho）来予以代表。
此刻，我们已然具备了质量，要是打算运用牛顿第二定律，那我们还得获取加速度，而加速度也就是速度矢量对于时间的导数。
加速度是速度的时间导数
目前，我们仅剩下等号右边的项乃不清楚的，这些项意味着施加于流体之上的全部力。
压强的梯度是第一项p，它代表流体所在空间的压力差，要是存在一个压力较低的区域以及另一个压力较高的区域，流体就会从高压区流向低压区物业经理人，而p的梯度恰恰表征了这样的关系。
第二项所描述的，是关乎流体的粘度，要考虑两种不一样的流体，像水以及蜂蜜，当你把一杯水倒出时，水轻易地飞出杯子落向地面，当你用蜂蜜做相同的事，鉴于蜂蜜是粘稠的，会下落得极为缓慢，这便是这一项所表达的含义。
最后一项，是最为简单的那一项，其表明的是施加于流体之上的全部外力。在通常状况下，我们将这种力视作重力。
综上所讲，所有这些，那些奇特的符号，还有字母进行表达的关系，仅仅是“力，等于质量，乘以加速度”。
纳维-斯托克斯方程组的应用
限于其解极为复杂，为运用它们我们得做诸多近似。泊肃叶流动与库爱特流动是其中两例。经大量假设，两位科学家得以针对一特别具体的应用求出纳维 - 斯托克斯方程的解。然而，若要将其用于如天气预报般更复杂的情形，我们还需些补充。
使用这些方程，最常用的方法是以雷诺平均数对它们予以变换，借助这种方法所得到的是雷诺方程组高中物理流体公式，它们通常被称作RANS（ -）方程。
RANS方程组（角标m代表平均量）
那些方程，在流体处于湍流状态时是能够加以用于的，它们看上去几乎和纳维 - 斯托克斯方程没差很远，只是除开那最后一项，那最后一项被称作雷诺应力张量，恰恰是这个量能够对流体里的湍流作出解释。
在RANS方程里，我们所运用的量，是针对某一个时间间隔进行平均之后得到的量。这个时间间隔，必须得足够小，这样才能去观测我们正在开展研究的现象。与此同时，它又必须足够大，从而让湍流效应的影响比较小。
在正确假设的情形之下，这些方程是具备有效性的。我们晓得怎样借助它们让F1赛车变得更加快速，让航天器能够进入国际空间站，或是开展天气预报。
你可能还想知道对这些方程的证明怎么能值100万美金？
百万美金大奖
于物理学视角而言，这些公式仅是应用于流体的牛顿第二定律。当我们进行一系列合理假设以及一系列合理简化之后，我们便得以利用这些方程去做少许令人惊奇之事情。
问题在于，若不引入近似，那么这个方程组会极为复杂，想要解出它们难度极大，以至于直至如今都无法证明解析解是存在的，这便是千禧年大奖的由来。
关于这个问题的官方表述是：
证明下述命题，或者给出其反例：于三维空间再加一维时间情况里，给出一个初始的速度场后，能够找到一个光滑的、全局都有定义的矢量速度场，以及一个标量压力场，以此作为纳维 - 斯托克斯方程的解。
这意味着如果你想获取一百万美元的奖金，你必须做三件事：
仅就工程师而言，所需要了解的是这般情况，即便基础不过是处于一定程度的假设状态，可这些方程依旧是具备有效性的；然而对于数学家来讲的话，明确这些解是不是存在以及它们有着怎样的意义，这是极为重要的。
或许此刻你会这么想，仅公式有用便足矣，而为找寻证明去耗费时间与精力，全然是在浪费光阴。嗯哩，恰似人类历史当中诸多技术长进那般，可以给我们生活带来新的知识以及改善的，好像并非这个结果重要。关键之事在于通往它的那条路径。
举例来讲，航天计划方面，要是人类压根不曾构想过前往月球漫步，那我们会遗失诸多能够改进我们生活情形的设备。核磁共振成像仪以及心脏起搏器源自为太空探索所研发的技术，如今，世界各地的医生每日都运用它们去挽救生命。
适用于纳维 - 斯托克斯方程研究的道理是同样的，探索纳维 - 斯托克斯方程解的这个探索过程，会对提高我们针对流体或者其他事物的理解有帮助，它能够引导我们得到新的发现，或许还需要去探索新的数学方法，而这个新的数学方法能够用来解决其他众多问题，通过发明新技术以改善我们的生活，进而让我们变得更出色。