试推导以下两种情况下空气弹簧的刚度系数K=dF/dy与其有效承载面积A的关系； i)乘客上下车（主气室内气体压力和体积的变化满足等温过程）。 ii) 列车运行过程中遇到剧烈湍流（主气室气体压力和体积变化满足绝热过程）。 (2)主气室与附加气室连通后(阀门打开)，在上述两种情况下，推导出空气弹簧刚度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系。 主气室和附加气室之间的连接管的体积可以忽略不计。 2. 质量为 m、半径为 R 的均质实心母球放置在水平桌面上。 母球与球台之间的滑动摩擦系数为μ。 调整球杆使其在经过球中心的垂直平面内保持水平，击打母球的上半部。 球杆相对于球中心所在水平面的高度为 ，击球时间很短； 母球获得的动量为P，方向为水平方向。 假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 重力加速度的大小为g。 (1)母球被击中后需要多长时间才能开始纯粹滚动？ 求母球达到纯滚动时球中心的运动速度； (2)注意当母球达到纯滚动时(此时为计时零点)，母球与球台的接触点为B，并在随后的t′时刻找到球上B的位置，点的速度和加速度。 3、负微分电阻效应是指在特定的电压范围内，某些电路或电子元件（如隧道二极管）的电流随着端电压的升高而减小的特性。 这种效应可以维持电路的高频振荡并输出放大的通信信号。
在图中所示的简化电路中，D是隧道二极管。 其左侧由一定阻值的电阻R、电感L和电容C串联组成。 回路交流电流记为i(t)； 它的右侧由一个理想的高频扼流圈RFC（直流电阻为零，完全阻断交流信号）和一个理想的恒压直流电源V0组成。 环路直流电流记为I(1>>|(t)|)，正电流标记方向。 D始终在特定的电压范围内，其电阻值为-R0（R|>0，且为某个值）。 (1)已知当t=0时，i(0)=0，i(0)=β≠0（表示a对t的导数）； 交流电流随时间的变化满足, (,,, 为待定常数) 试确定常数,,, 以确定任意时刻t的交流电流(t)； （2）试解释什么条件下左环路会发生共振？ 并求出谐振发生时左回路的电流iB(t)和谐振频率fH； (3)试解释什么条件下左环路会发生RLC阻尼振荡？ 并求出此时左环路中的电流iD(t)和振荡频率fD； (4)已知隧道二极管D在Vmin≤VD≤Vmax范围内可以正常工作(即能保持其负微分电阻效应)，(Vmin和Vmax为已知常数)求最大平均功率此时可以在隧道二极管的交流部分和理想恒压直流电源的输出电压V0上实现。 4、劳伦斯（EO）于1930年首先提出回旋加速器 加速器的原理：利用两个半圆形磁场使带电粒子沿弧形轨道旋转，并被两个半圆形磁场之间的高频电场反复加速。两个半圆形狭缝以获得更高的能量。
他因这一极具创造性的解决方案获得了 1939 年诺贝尔物理学奖。 已知数据：质子质量mp=938.3MeV/c2，真空中光速e=300×108m/s。 （1）目前世界上最大的回旋加速器是费米实验室的高能质子同步加速器（粒子最大回旋轨道周长为Lmax=6436m）。 质子可以加速到的最大能量=1.00×。 假设质子在加速过程中始终在垂直于均匀磁场的平面内运动，无论电磁辐射造成的能量损失如何。 求同步加速器将质子加速到上述最大能量所需的磁感应强度的最小值Bmin。 (2)高能入射质子轰击静止质子（目标质子）。 可以产生反质子，反应式为：求出能产生反质子的入射质子的最小动能，并判断在(1)时间内加速的质子能否攻击静止目标质子并产生反质子。 5、星际飞行器A、B、C如图： 在惯性系E（坐标系O-xy）中，观察到飞行器A、B在负方向匀速飞行y 轴的方向，飞机 C 沿另一条直线飞行。 沿y轴正方向匀速向上飞行：两条飞行直线相互平行，间隔d。 三架飞行器在惯性系中的速度分别为，（沿y轴正方向的单位矢量）。 图中飞机旁边的箭头表示其飞行速度的方向。 假设飞机 A、B、C 的尺寸远小于 d。
（1）在某一时刻，飞行器A向B发射光信号，B收到信号后立即反射回A。 根据A上原子钟的读数，光信号从发射到返回所花费的总时间（Δt光信号）A=T。从惯性系和B中的观察者的角度来看，需要多长时间从A发出的光信号如何返回到A？ 从A的观察者的角度来看，从A收到返回的光信号到A追上B需要多长时间？ （2）当飞行器A和C在惯性系S中距离最近时，从A处发射一个小货物（质量远小于飞行器的质量，尺寸可以忽略）。 小货物在惯性系中的速度为 。 为了让C接收到货物，从A上的观察者的角度来看，货物的发射速度的大小和方向是多少？ 从 B 的观察者的角度来看，货物从 A 到 C 收到需要多少时间（Δt 货物）？ 6、光纤陀螺仪是一种可以精确测定运动物体方位的光学仪器。 它是一种广泛应用于现代航海、航空、航天领域的惯性导航仪器。 光纤陀螺仪导航主要基于以下效果：在一个半径为R、以角速度Ω旋转的光纤环路中（见下图），从固定在陀螺仪上的分光器A分出两束相干光。环分别沿逆时针（CCW）和顺时针（CW）方向传播并返回到A后，两者的光路长度不同。 通过检测两束光之间的相位差或干涉条纹变化，可以确定光纤环路的旋转角速度。 真空中的光速为c。 (1)如下图所示，光纤由内层和外层介质组成。 内、外介质的折射率分别为n1和n2（n1>n2）。
为了使光在光纤内传输，光在输入端口的入射角i（端口n0外介质的折射率）应满足什么条件？ (2) 考虑N匝光纤沿环路密集缠绕，首尾相连至分光器A，光纤环路以角速度Ω逆时针旋转。 两束相干光从A分出，沿光纤环路逆时针和顺时针传播，然后返回A。已知光传播介质的折射率为n1，两束光的波长在真空中，两束相干光沿光纤环路逆时针和顺时针传播的时间tCCW和tCW分别是多少？ 这两束光之间的相位差是多少？ 试指出该相位差与介质折射率n1之间的关系。 (3)为了提高陀螺系统的小型化，人们提出了谐振光学陀螺系统。 该系统包含一个逆时针方向旋转的光学环形腔，半径为R，旋转角速度为Ω（RΩRm）。试证明：当图中的开关关闭时，当电光晶体上的实际负载电压满足，即调制效率极低（4）为了提高调制效率，增加（即闭合图中的开关）如图右半部分所示的并联谐振电路图（图中RL为负载电阻，L为线圈（电感），测试证明。2020年第37届全国中学生物理竞赛复赛试题分析考生必读： 1.考生必读这些说明参加考试前请仔细阅读。 2. 本试题共 5 页，总分 320 分。 3. 如果试题打印不清楚，请务必向监考人员报告。 4.需要阅卷老师批阅的内容必须写在答题卡相应题号后面的空白处； 阅卷老师只审查答题卡上的内容：写在试题纸上和草稿纸上的答案将不会被审查。
1、高铁运行的稳定性与列车的振动水平密切相关。 安装在列车上的空气弹簧可以有效减少振动。 高铁测试实验中使用的空气弹簧模型由主气室（气囊）和附加气室（体积不变）组成，如图所示。 空气弹簧作用在弹簧载荷上的垂直向上的力是由气囊内的压缩空气产生的弹力提供的。 当弹簧载荷达到平衡时，主气室中气体的压力和体积分别为P10和V10，附加气室的体积为V2，大气压力为p0。 空气弹簧垂直向上的力F与主气室内气体压力与大气压力之差的比值称为空气弹簧的有效承载面积Ae。 空气在定体积下的摩尔热容是已知的（R 是通用气体常数）。 假设在微振幅条件下，主气室气体体积V1和有效承载面积Ae可以看作是空气弹簧承载面垂直位移y（正向下）的线性函数。 bag) 相对于其平衡位置，变化率分别为常数 - (>0) 和 β (β>0)。 (1)附加气室与主气室相连(阀门关闭)。 试推导以下两种情况下空气弹簧的刚度系数K=dF/dy与其有效承载面积A的关系； i)乘客上下车（主气室内气体压力和体积的变化满足等温过程）。 ii) 列车运行过程中遇到剧烈湍流（主气室气体压力和体积变化满足绝热过程）。 (2)主气室与附加气室连通后(阀门打开)，在上述两种情况下，推导出空气弹簧刚度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系。
主气室和附加气室之间的连接管的体积可以忽略不计。 【答案】（1）； （2）【分析】【详细说明】（1）根据题意，空气弹簧主气室对弹簧上的载荷施加的笔直向上的力为① 式中空气的压力为主气室内。 当空气弹簧上的载荷发生变化时，主气室中气体的压力和体积V1都会发生变化。 为了统一处理问题中给出的两种情况，考虑气体压力和体积变化的过程方程为 = 常数 ② 其中 n 为常数。 ① 式左右两边是空气弹簧承载面直线位移y的导数。 可见，空气弹簧的刚度系数K满足③②式中左右两边是y的导数。 ④由题可知，主气弹簧腔内的容积V和有效承载区Ae相对于平衡位置的垂直位移的变化率为⑤。 空气弹簧的刚度系数K与其有效承载面积Ae的关系为⑤。 当旅客上下高速列车时，主气室气体压力和体积的变化满足等温过程n=1 ⑦ 由式⑥⑦ ⑧ 当列车遇到强湍流时，气体压力和体积的变化满足等温过程主气室内的压力和体积满足绝热过程⑨ 式中， 是空气的定压摩尔热容Cp 与定容摩尔热容CV ⑩ 的比值由式⑥⑨ 求得。 (2)主气室与附加气室连接后，如果车辆振动频率较低，如情况i)，空气弹簧变形缓慢，可以认为在任意时刻，压力空气弹簧主气室中的压力与附加气室中的压力相同，两个气室之间的压力差可以视为为零。 两个气室内的空气整体经历等温过程。
空气弹簧的刚度系数K与其有效承载面积Ae之间有何关系？ 对于情况i)，车辆系统振动频率较高，空气弹簧主气室内的压力和体积变化较快，主气室和附加气室之间没有时间进行气体流动。室。 此时，空气弹簧的体积相当于主气室单独作用并经历绝热过程的体积。 空气弹簧的刚度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系为： 2. 质量为 m、半径为 R 的均质实心母球放置在水平桌面上。 母球与球台之间的滑动摩擦系数为μ。 调整球杆使其在经过球中心的垂直平面内保持水平，击打母球的上半部。 球杆相对于球中心所在水平面的高度为 ，击球时间很短； 母球获得的动量为P，方向为水平方向。 假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 重力加速度的大小为g。 (1)母球被击中后需要多长时间才能开始纯粹滚动？ 求母球达到纯滚动时球中心的移动速度； (2)注意当母球达到纯滚动时(此时为计时零点)，母球与球台的接触点为B，并在随后的t′时刻找到球上B的位置，点的速度和加速度。 【答案】（1）； (2),,, 【分析】 【详细说明】 (1) 将刚体质心运动的动量定理应用到击球过程中，如下： ① 其中 是球杆的质心击球完成后瞬间球的速度（与冲力P方向相同）。 相对于母球质心的冲量力矩为 ② 将刚体旋转角动量定理应用到击球过程中： ③ 式中 为击球完成瞬间母球的旋转角速度。
母球的转动惯量为④。 击球后一瞬间，与球台接触的母球A点的速度为⑤。 由公式①②③④⑤可知，击球瞬间，母球上A点的速度为 ⑥A 该点沿x轴负方向滑动（x轴正方向为与 P 方向相同）。 球体沿x轴正方向所施加的摩擦力Ff为⑦。 在击球后的时间t，应用刚体质心运动定理和相对于质心的动量定理为⑧⑨。 式中取同方向为正。 由式①①②③④⑧⑨可知，t时刻母球质心的速度和绕质心旋转的角速度分别为⑩⑾，t时刻A点的速度为⑿。 由式⑿可以看出，随着时间的增加，接触点A的速度逐渐由负值变化。 当时间到来时，母球开始纯粹滚动。 由上式和⑿可知，母球被击中后，经过时间⒀后，母球开始纯滚动。 此时，母球中心C的速度为 ⒁(2) 从纯滚动条件来看，任意时刻t′>0，水平滚动距离等于B点（该点为A点）击球完成后立即接触球台的母球）。 从时间 t'=0 到时间 r' 经过的弧长，以及该弧长对应的圆心角 时间 t' 时 B 点的位置为 ⒃⒄ 这里，t'=0 时 B 点的位置为坐标原点，x轴与P同向，y轴垂直向上。 ⒃⒄ 求出方程两边关于时间的值。 B 点的速度分量为 该点的加速度分量为指向母球中心 C 的加速度大小⒇。
3、负微分电阻效应是指在特定的电压范围内，某些电路或电子元件（如隧道二极管）的电流随着端电压的升高而减小的特性。 这种效应可以维持电路的高频振荡并输出放大的通信信号。 在图中所示的简化电路中，D是隧道二极管。 其左侧由一定阻值的电阻R、电感L和电容C串联组成。 回路交流电流记为i(t)； 它的右侧由一个理想的高频扼流圈RFC（直流电阻为零，完全阻断交流信号）和一个理想的恒压直流电源V0组成。 环路直流电流记为I(1>>|(t)|)，正电流标记方向。 D始终在特定的电压范围内，其电阻值为-R0（R|>0，且为某个值）。 (1)已知当t=0时，i(0)=0，i(0)=β≠0（表示a对t的导数）； 交流电流随时间的变化满足, (,,, 为待定常数) 试确定常数,,, 以确定任意时刻t的交流电流(t)； （2）试解释什么条件下左环路会发生共振？ 并求出谐振发生时左回路的电流iB(t)和谐振频率fH； (3)试解释什么条件下左环路会发生RLC阻尼振荡？ 并求出此时左环路中的电流iD(t)和振荡频率fD； (4)已知隧道二极管D在Vmin≤VD≤Vmax范围内可以正常工作(即能保持其负微分电阻效应)，(Vmin和Vmax为已知常数)试求最大值隧道二极管交流部分所能达到的平均功率，以及此时理想恒压直流电源的输出电压V0。
【答案】(1),,; (2); (3) 【分析】 【详细说明】 (1) 左环路电势之和为零，题①给出的一般形式为 ② 由初始条件可知，由 ③ 由方程 ④可知 将方程 ② 代入式①，我们得到两边都是t的导数，且不失普遍性，是可以设的（因为它可以看作是but的极限情况）。 上式对于任意时间t都等于0； 因此，每个指数项的系数都应该为零，即，将⑤解为⑥另一个选项37物理竞赛37物理竞赛，得到相同的结果。 由式③⑥可得，⑦由式②⑥⑦、⑧可得 (2) 要在左回路中产生谐振（即电流i(t)继续以恒定幅度振荡），电路的能量不得随着时间的推移而被消耗，并且电流必须随着时间的推移而呈周期性。 种类。 因此，⑨注意到⑨的第一个公式直接引出⑨的第二个公式。 因此，式⑨的第一个方程就是该电路中发生谐振的条件。 由式 ⑧ 和式 ⑨ 的第一个式，可得 ⑩ 的振荡频率是多少？ (3) 为了在左回路中产生RLC阻尼振荡(即电流i(t)的幅度随时间t衰减)，电路的能量必须随时间t继续增加。 时间消耗，而电流随时间周期性变化。 因此，由式②可得。 这是电路中阻尼振荡的条件。 振荡频率(4)由公式⑧⒁获得。 为了最大化隧道二极管的平均交流部分并保证隧道二极管始终工作在负阻区，隧道二极管上的直流偏置电压必须处于工作电压。 在范围的中间位置，此时的交流部分电压可以达到最大幅度。 考虑到右环路电压源为理想恒压电源，且理想高频扼流圈RFC的直流电阻为0，则环路电位之和为0，可见此时，隧道二极管交流部分的最大平均功率为4。劳伦斯（EO）于1930年首先提出回旋加速器的原理：利用两个半圆形磁场使带电粒子沿弧形轨道旋转并反复通过两个半圆狭缝之间的高频电场加速并获得更高的能量。
他因这一极具创造性的解决方案获得了 1939 年诺贝尔物理学奖。 已知数据：质子质量mp=938.3MeV/c2，真空中光速e=300×108m/s。 （1）目前世界上最大的回旋加速器是费米实验室的高能质子同步加速器（粒子最大回旋轨道周长为Lmax=6436m）。 质子可以加速到的最大能量=1.00×。 假设质子在加速过程中始终在垂直于均匀磁场的平面内运动，无论电磁辐射造成的能量损失如何。 求同步加速器将质子加速到上述最大能量所需的磁感应强度的最小值Bmin。 (2)高能入射质子轰击静止质子（目标质子）。 可以产生反质子，反应式为：求出能产生反质子的入射质子的最小动能，并判断在(1)时间内加速的质子能否攻击静止目标质子并产生反质子。 【答案】5、星际飞行器A、B、C如图所示： 在惯性系E（坐标系O-xy）中，观察到飞行器A、B以负方向匀速飞行y轴的y轴在同一条直线上，飞行器C在另一条直线上沿y轴正方向匀速飞行：两条飞行直线相互平行，且相距d。 三架飞行器在惯性系中的速度分别为，（沿y轴正方向的单位矢量）。 图中飞机旁边的箭头表示其飞行速度的方向。
假设飞机 A、B、C 的尺寸远小于 d。 （1）在某一时刻，飞行器A向B发射光信号，B收到信号后立即反射回A。 根据A上原子钟的读数，光信号从发射到返回所花费的总时间（Δt光信号）A=T。从惯性系和B中的观察者的角度来看，需要多长时间从A发出的光信号如何返回到A？ 从A的观察者的角度来看，从A收到返回的光信号到A追上B需要多长时间？ （2）当飞行器A和C在惯性系S中距离最近时，从A处发射一个小货物（质量远小于飞行器的质量，尺寸可以忽略）。 小货物在惯性系中的速度为 。 为了让C接收到货物，从A上的观察者的角度来看，货物的发射速度的大小和方向是多少？ 从 B 的观察者的角度来看，货物从 A 到 C 收到需要多少时间（Δt 货物）？ 【答案】（1）； (2) 【分析】 【详细说明】 (1) 从惯性系中观察者的角度来看，从飞行器 A 发出的光信号返回到 A 所需的时间为，根据速度合成定律狭义相对论中，飞机A相对于飞机B的速度为 其中，最后等号右侧的负号表示飞机A相对于飞机B的速度是沿y轴负方向，以此类推。 从飞机 B 上的观察者角度来看，该光信号是从飞机 A 上的观察者角度来看，当飞机 A 接收到返回的光信号时，飞机 A 与飞机 B 之间的距离是从飞机 A 接收到返回的光信号时开始计算。到A追上B时返回的光信号，所需时间为 (2) 考虑小货物在惯性系中的速度。 为了使小货物能够被飞机 C 接收，小货物速度的 y 分量应该与飞机 C 的速度相同。根据问题的含义，小货物位于惯性系中。 两个分量的速度分别为。 从飞机A上的观察者角度看，小货物发射速度的大小为 货物在y方向的位移为 仪器，它是一种广泛应用于现代航海、航空等领域的惯性导航仪器和航空航天。
光纤陀螺仪导航主要基于以下效果：在一个半径为R、以角速度Ω旋转的光纤环路中（见下图），从固定在陀螺仪上的分光器A分出两束相干光。环分别沿逆时针（CCW）和顺时针（CW）方向传播并返回到A后，两者的光路长度不同。 通过检测两束光之间的相位差或干涉条纹变化，可以确定光纤环路的旋转角速度。 真空中的光速为c。 （1）如下所示，光纤由介质的内层和外层组成。 内部介质和外介质的折射率分别为N1和N2（N1> N2）。 为了使光在光纤内传输，输入端口的入射角I（端口N0外介质的折射率）应满足什么条件？ （2）考虑沿环的光纤密度缠绕，端到头连接到束分离器A，光纤环路在角速度ω处逆时针旋转。 两条连贯的光束从A中从A中出来，并逆时针和顺时针沿光纤环路传播，然后返回到A。在真空中，两条连贯的光束的TCCW和TCW的时间分别是什么？ 这两条光束之间有什么相差？ 尝试指出该相差与介质的折射率N1之间的关系。 （3）为了改善陀螺仪系统的微型化，人们提出了共鸣的光学陀螺仪系统。 该系统包含一个逆时针旋转的光环腔，半径为R和旋转角速度ω（RΩ
