A.狭义相对论
经典力学中对空间和时间的物理解释
从物理的观点来看，几何学是一些定律的总和，由这些定律能把相互静止的刚体置于彼此相对的位置上（比如，一个三角形由三条端点永远连接的杆组成）。人们设定用这种解释，欧几里得定律是有效的。在这种解释中，“空间”原则上是一个无限的刚体（或框架），其他的物体是与之相关联的（参照系）。解析几何（笛卡尔）用三个相互正交的刚性杆作为参照体表现空间，在这些刚性杆上通过垂直投影这一熟悉的办法（利用刚体的单位尺度），便测得空间点的“坐标”(x,y,z)。
物理学研究空间和时间中的“事件”。每一个事件不仅有自己的空间坐标x，y，z，还有一个时间值t。后者被认为可利用一个其空间大小可以忽略（作理想周期循环）的钟来测得，这个钟C被看作在坐标系中一点，例如在坐标原点(x=y=z=0)处是静止的，在空间点P(x,y,z)上发生的事件的时刻便被规定为与事件同时的钟C所显示的时刻。在这里，假定“同时”的概念无需专门的定义就有物理上的意义。这种精确性的缺乏似乎是无害的，只因光（其速度在我们日常经验看来几乎是无限的）使得空间上分开的事件的同时性看起来能被立即加以确定。
通过利用光信号来从物理上定义同时性，狭义相对论消除了这个精确性的缺乏。在P点发生事件的时间t就是从该事件发出的光信号到达时钟C时从C上读的时间。考虑到光信号通过这一距离所需事件，对这一时刻进行了修正。在做这种修正时，（假定）光速为常数。
这个定义把空间上分开的两个事件的同时性概念归化为在同一地点发生的两个事件（即光信号到达C和C上的读数）的同时性（符合）。
经典力学以伽利略原理为基础，即：只要其他物体对其没有作用，一个物体总是作直线匀速运动。这一陈述并非对于任意运动的坐标系都是正确的，它仅能适用于所谓的“惯性系”。惯性系互相作直线匀速运动。在经典物理学中，所有定律仅仅对全体惯性系才能说是适用的（狭义相对性原理）。
现在便很容易理解导致产生狭义相对论的那个窘境。经验和理论都逐渐使人确信，光在真空中总是以不变的速度C传播，而与光的颜色及光源运动状态无关（光速恒定原理——以下称为“L—原理”）。然而基本的直观考虑似乎表明同一光线不可能相对所有惯性系都以同样的速度C运动。L—原理似乎同狭义相对性原理发生了矛盾。
但实际上这个矛盾不过只是一个表面现象，它实质上是基于对事件的绝对性，或对空间分开的事件的同时性的偏见之上。我们刚刚看到，一个事件的x,y,z和t目前只能相对于某一个选定的坐标系（惯性系）来确定。如果没有特定的物理假设，从一个惯性系过渡到另一个惯性系而实现事件的x,y,z变换（坐标变换）是不可能的。然而，下面的假定却恰好足以作为一种解决方案；L—原理对所有惯性系都成立（狭义相对性原理对L—原理的应用）。由此而确定的关于x,y,z,t的线性变换称为洛仑兹变换。洛仑兹变换在形式上以由两个无限靠近的事件的坐标差dx,dy,dz,dt构成的表达式 不变为特点（即通过变换之后，由新坐标系中坐标差构成同样的表达式）。
有了洛仑兹变换，狭义相对论原理可以表述为：自然规律对于洛仑兹变换都是不变的（即，若通过x,y,z,t的洛仑兹变换对某个自然规律引进一套新的惯性系，则此自然规律不会改变其形式）。
狭义相对论引发了对空间和时间的物理概念的清晰理解。与之相关的，也引发了对运动着的测量杆和测量钟的行为的认识。它在原则上去掉了绝对同时性的概念，从而也摆脱了牛顿意义上的远距离瞬间作用的概念。它表明了当处理运动速度同光速相比不是小得可以忽略的运动时，如何对运动规律进行修改。它导致了麦克斯韦的电磁场方程组形式上的澄清，尤其是它还引发了对电场和磁场本质上的同一性的理解。它把动量守恒和能量守恒这两个规律统一起来，从而展示了质量和能量的等效性。从形式的观点上看，人们可以这样来刻划狭义相对论的成就：它概括地表明了普适常数c（光速）在自然规律中扮演的较色，同时展示了以时间为一方，空间坐标为另一方，两者进入自然规律的方式之间存在着密切联系。
B.广义相对论
狭义相对论把经典力学的基础限定在一个基本点上，即下列论断：自然规律仅对惯性系成立。“允许的”坐标变换即那些使规律形式不变的变换只有（线性）的洛仑兹变换。这类限制真的有物理事实根据吗？下面的论证令人信服地否定了它。
等效原理。物体具有惯性质量（对加速度的抗性）和重的质量（它决定物体在特定引力场，比如地球表面场中的重量），这两个从定义上看来如此不同的量，但按照经验，是用一个同样的数值来度规的。对此，一定有更深层的原因。这一事实也可这么来表述：不同质量的物体在同一引力场中得到相同的加速度。最后，它也可以这样表述：物体在引力场中的行为可以和没有引力场情况下相同，只要后一情形所用的参照系是一个匀加速坐标系（而不是惯性系）。
因而，似乎没有理由禁止对后一情形作如下的解释。人们把这个坐标系看作是“静止的”，将相对它而存在的“表观”引力场看作是“真实的”。由坐标系的加速度而“产生”的引力场当然具有无限的延展范围，它不可能由有限区域的引力质量产生。然而，若我们要寻找一个类场的（field like）理论，这一事实并不妨碍我们。有了这种解释，惯性系便失去了意义，而且我们获得了关于引力质量和惯性质量等效的“说明”（物质的这一同一性质表现为重量或惯性，由描述方式来决定）。
从形式上考虑，承认相对原来“惯性”坐标作加速运动的坐标系也就意味着承认非线性坐标变换，进而大大推广了不变性的思想，即相对性原理。
首先，利用狭义相对论的结果所做的深入讨论表明，有了这么一种推广，坐标不能再直接解释为测量的结果。只有当坐标差与描述引力场的场量结合起来才能确定事件间可测量的距离。当人们发现自己不得不承认非线性变换作为等效坐标系间的变换之后，最简单的要求看来是承认所有连续的坐标变换（它们形成一个群），也即承认任何以正则函数来描述场的曲线坐标系（广义相对性原理）。
现在不宁理解为何广义相对性原理（基于等效性原理之上）导致了引力理论。有一种特殊的空间，其物理结构（场）我们假设能在狭义相对论基础上被精确得知，它是没有电磁场和物质的空的空间（empty space），它完全由其“度规”性质所决定：以 ， ， ， 表示两个无限接近点（事件）的坐标差，则
(1)
是一个依赖惯性系的特殊选择的可测量的量。若通过广义坐标变换在这个空间中引入新的坐标 ， ， ， ，那么对于同一对点的值便有了另一种表达式：
(2)
式中， 。根据等效原理，组成“对称张量”且为 … 之连续函数的 描述了一种特定的引力场（即能够重新变换为形式(1)的场）。从黎曼[1]对度规空间的研究，我们可以得到 场的精确数学属性（“黎曼条件”）。然而，我们所要寻求的却是能够对“一般”引力场能满足的方程。自然，假定它们也能被描述为 类型的张量场，这种场一般不允许回到形式(1)的变换，即不满足“黎曼条件”，只满足一些稍弱的条件，这些条件恰同黎曼条件一样也独立于坐标系的选择（即是广义不变的）。作简单的形式考查，便能导出与黎曼条件紧密相连的弱条件，这些条件正是纯引力场（存在于物质外面并且没有电磁场）方程。自然，假定它们也能被描述为 类型的张量场，这种场一般不允许回到形式(1)的变换，即不满足“黎曼条件”，只满足一些稍弱的条件，这些条件恰同黎曼条件一样也独立于坐标系的选择（即是广义不变的）。作简单的形式考查，便能导出与黎曼条件紧密相连的弱条件，这些条件正是纯引力场（存在于物质外面并且没有电磁场）方程。
这些方程以近似定律的形式给出了牛顿的引力力学方程，此外还得出一些已为观察所证实的微小效应（星体引力场引起的光线弯曲，引力势对辐射光线频率的影响，行星椭圆轨道的缓慢旋转——水星近日点运动）。进一步，它们又给出了银河系的膨胀运动的解释，而这一运动是那些星系发出的光线的红移所表现出来的。
广义相对论至今仍是不完备的，它只能较为令人满意地把广义相对性原则应用到引力场，而不能用于总场。我们仍不能确切知道在空间中的总场可用什么数学机制来描述，以及总场遵从何种广义不变定律。但有一点似乎可以肯定，即：广义相对性原理将会被证明是解决统一场问题的一个必要而且有效的工具。
