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初物培优(重高自招 竞赛)之第12章 杠杆较难
原题
一．杠杆的平衡条件（共20小题）
1．如图所示是一种水闸，闸门的底部与铰轴O相连，厚度不计的闸门高为H、宽为a。AB为一根不计质量的杆，A端通过铰链与闸门相连，B端通过铰链与地面相连，杆AB与地面成60°角，A端距离地面高h。已知水的密度为ρ，闸门右侧水位高为h，水对闸门的压力作用点等效在距离O点1/3h高度处，试求杆AB对闸门的作用力。
2．用同种材料制成的实心物体A与B，分别挂在杠杆的两端，且GA＞GB，此时杠杆平衡，如图（a）所示。若将两物体全部浸入水中，如图（b）所示，试问杠杆是否还能平衡。
请运用所学知识做出判断，并写出必要的公式和推导过程，已知材料的密度ρ0大于水的密度ρ水。
3．如图甲所示在容器底部用吸盘固定一个滑轮，轻质杠杆A端的细线通过滑轮与水中的实心长方体C相连，C的底面积为0.2m2，轻质杠杆OA：OB＝3：2．容器内有一定质量的水，实心长方体C漂浮在水面上，此时物体D对杠杆B端的拉力恰好为零。继续向容器中加水，D物体对地面压力随C下底面的深度h变化的图象如图乙所示。不计摩擦、绳重和水的阻力，求：
（1）C的重力GC；
（2）D物体的重力GD。
4．如图为一个简易雨量测试仪，质量均匀的直杆AB外均匀包裹着海绵，直杆与干海绵的总质量为1.5kg，且可绕垂直纸面的转轴O转动，OA：OB＝7：3，杆右端B点连接一个质量不计的滑轮，绕在滑轮上的细绳一端固定在地面上，另一端系在质量为1kg的重物C上。晴天时，直杆AB呈水平状态，重物静止在地面上。g取10N/kg，求：
（1）晴天时，重物C对地面的压力是多大
（2）雨天时，海绵均匀吸收雨水，吸收多少质量的雨水，直杆开始绕O点旋转
5．有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在的位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置）。秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载（挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡。当物体挂在挂钩上时，往外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量。已知秤杆和两个套筒的长度均为L＝16cm，套筒可移出的最大距离为L1＝14cm，秤纽到挂钩的距离为d＝2cm，两个套筒的质量均为m＝0.1kg。取重力加速度g＝10N/kg。求：
（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩M。
（2）该秤的量程m0。
（3）秤杆与内层套筒上的质量刻度是否均匀，如果均匀，1cm的长度分别表示多少质量。
（4）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为1kg处杆秤恰好平衡，则该物体实际质量m1多大。
6．有四条完全相同的刚性长条薄片AiBi（i＝1，2，3，4），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将四薄片架在一只水平的碗口上，使每条薄片一端的小突起Bi搭在碗口上，另一小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示。现将一个质量为2m的小物体放在薄片A4B4上的一点，这一点与A3，A4的距离相等，则薄片A4B4中点受A3的压力是 牛。
7．如图（1）所示，均匀长方体木块长b＝18cm，高h＝16cm，宽L＝10cm，被两个力传感器支撑起来，两传感器间距为a＝10cm且到木块两边的距离相等，传感器能够将支撑点的受力情况通过数据采集器在计算机屏幕上反映出来。现用一弹簧测力计水平拉木块，拉力作用在木块的中点且缓慢均匀增大，木块则始终保持静止状态，计算机屏上出现如图（2）所示的图线。问：
图（2）上的直线A反映的是传感器上的受力情况 （“左边”或“右边”），弹簧测力计的最大拉力是 N。
8．如图所示，OA是起重机的吊臂，可绕O点转动，在距O点6m远的B处吊有重3000N的物体。为保证吊臂在水平位置平衡，则绕过定滑轮斜向下的拉力F为 N，将吊臂缓慢拉起，使用 A 点升高 2m 的过程中，拉力变 。（绳重、吊臂重、摩擦均不计）
9．某商店有一不等臂天平（砝码准确），一顾客要买2kg白糖，营业员先在左盘放一包白糖右盘加1kg砝码，待天平平衡后；接着又在右盘放一包白糖左盘加1kg砝码，待天平平衡后。然后把两包白糖交给顾客。则两包白糖的总质量（ ）
A．等于2kg B．小于2kg C．大于2kg D．无法知道
10．一个600N重的成年人和一个小孩都要过一道5m宽的水渠。成人从左岸到右岸，而小孩从水渠右岸到左岸，两岸各有一块4m长的坚实木板，他们想出右图所示的方式过渠。请分析在忽略木板自身重量和木板叠交距离的情况下，要使成年人和小孩都能平安过渠，小孩的体重不能轻于多少牛？（ ）
A．100N B．200N C．300N D．400N
11．如图是一副称量准确的杆秤示意图，秤砣质量为1kg，秤杆和秤盘总质量为O.5kg，定盘星B到提纽O的距离OB为2cm，秤盘到提纽O的距离OA为10cm。若有人换了一个质量为0.8kg的秤砣，实际质量3kg的物品，让顾客误以为得到物品的质量是多少（ ）
A．3.8kg B．3.6kg C．3.96kg D．3.75kg
12．如图（a）所示，一根质量分布均匀的细直硬杆，长度为L，质量为m，在杆的最左端A与距右端L/4的B处立两个相同的支撑物，将细杆水平支起，求：
（1）A处与B处的支持力NA和NB。
（2）在杆的最右端C再加上一个同样的支撑物，如图（b）所示，假设支撑物均由相同的弹性材料制成，当它们受到挤压时会产生微小形变，其竖直方向上发生的微小形变与弹力成正比，则A、B、C三处的支持力NA、NB和NC分别为多少？
13．如图所示，一重为G＝100N的均匀厚长钢板借助于一圆柱形铁桶将其一端向上抬起，圆柱形铁桶半径为R＝0.5m，厚长钢板AO的O端用铰链固定于地面，AO长为5R，各处摩擦均不计，现用通过圆柱形桶圆心的水平向左的推力F使圆柱体水平向左缓慢移动。
（1）当厚钢板与地面夹角θ＝30°时，厚钢板受圆柱形桶的支持力N为多少？
（2）当圆柱形桶使厚钢板与地面的夹角θ从30°变为60°的过程中，推力F做的功W为多少？（已知sin30°＝cos60°＝0.5；sin60°＝cos30°＝0.866；tan15°＝0.268）
14．有一均匀直杆，重力为G，杆的重心即为其对称中心C．用细线拴住杆的两端点A、B，把它挂在两个竖直悬挂的弹簧测力计下面，并在A、C中点D处挂上4个相同的钩码，如图所示，杆在水平方向上达到平衡状态。已知A点处绳上拉力F1＝10N，B点处绳上拉力F2＝8N，求：直杆的重力G和每个钩码的重力G1。
15．边长为0.1m质量均匀的正方体物体M，放在水平地面上对地面的压强为4.8×103Pa．如图装置中，桶D固定，高h＝0.5m；横杆可绕固定点O在竖直平面内转动，系在横杆B端的细绳通过动滑轮连着物体M，用大小为24N的力F在A点竖直向上提横杆时，横杆在水平位置平衡，此时物体M对桶底的压强为1.6×103Pa，若仍用力F在C点处竖直向上提横杆（C点未在杆上标出），使横杆仍在水平位置平衡，此时物体M对桶底压强为1.0×103Pa，已知横杆长OB＝0.8m，OA＝0.6m，g取10N/kg，一个标准大气压1×105Pa，不计横杆质量、绳质量和摩擦。
（1）求物体M的密度 。
（2）求OC长度 。
（3）现在桶内放满水，物体的底面与容器底部紧密接触，至少需要多大的竖直向上的力才能将物体拉离桶底 。
16．道闸又称栏杆机、挡车器，是现代停车场管理的智能化高科技产品，主要应用于各类停车场、封闭式管理小区出入口等场所。如图甲所示的是某停车场安装的道闸结构示意图，合金制作的空心栏杆，通过固定装置安装在箱体，能绕固定轴O转动90°，固定轴到箱底的高度为h，箱体固定在地面上。弹簧通过连接钢丝一端固定在箱体底面，另一端固定在固定装置上的A点，使用时弹簧保持竖直。可以使栏杆在水平位置和竖直位置间转动。弹簧自重G弹簧＝30N，钢丝重忽略不计，固定轴到弹簧的距离是OA＝20cm．通过调节连接钢丝的长度，使弹簧的长度为l1＝80cm，这时栏杆在水平位置平衡。在栏杆的重心位置上安装了5N重的警示牌，需要调节连接钢丝长度，改变弹簧的拉力，使栏杆仍然在水平位置平衡。栏杆与固定装置总重为G栏杆，重心B点到O点距离为1.2m，若弹簧的长度l与拉力F拉的关系图象如图乙所示。
求：
（1）栏杆和固定装置总重G栏杆；
（2）第二次弹簧的长度。
17．如图AB、BC、CD是三根相同的轻杆，彼此之间用绞链连接，轻杆与墙壁之间也以绞链连接。A、D两点在同一水平面内。绞链B上悬挂一质量为m的物体，为使BC保持水平，在绞链C上至少要施加多大的作用力？
18．如图所示，质量m＝2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，导轨及支架ABCD总质量M＝4.0kg，形状及尺寸已在图中注明，该支架只可以绕着过D点的转动轴在图示竖直平面内转动。为简便起见，可将导轨及支架ABCD所受的重力看作集中作用于图中的O点。现用一沿导轨的拉力F通过细线拉铁块，假定铁块起动后立即以0.1m/s的速度匀速运动，此时拉力F＝10N。
（1）铁块运动时所受摩擦力多大？
（2）铁块对导轨的摩擦力的力臂多大？
（3）从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间是多少？（g＝10N/kg）
19．塔式起重机的结构如图所示，设机架重P＝400kN，悬臂长度为L＝10m，平衡块重GW＝200kN，平衡块与中心线OO′的距离可在1m到6m间变化，轨道A、B间的距离为4m。当平衡块离中心线1m，右侧轨道对轮子的支持力FB是左侧轨道对轮子支持力FA的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．机架重心离中心线的距离为1.5m
B．该起重机最多能吊起的重物不能超过225kN
C．起重机的平稳度与轨道的间距无关
D．当起重机挂钩在离中心线OO'的距离为10m处吊起重为G＝100kN的重物时，平衡块离OO'的距离为6m，此时轨道B对轮子的作用力FB＝450kN
20．如图甲所示，底面积为50cm2的圆柱形玻璃筒中装有一定量的水，放在水平台面上，底面积为10cm2的圆柱形物体B浸没在水中，杠杆CD可绕支点O在竖直平面内转动，CO＝2DO；物体A是质量100g的配重。作用在物体A上的向下的拉力F为0.6N时，杠杆在水平位置平衡，如图乙所示，此时物体B有2/5的体积露出水面，物体B所受的浮力为F浮，水在物体B底面处产生的压强为P，筒中水的深度比图甲中水的深度下降了0.4cm。g取10N/kg，杠杆、悬挂物体的细绳的质量均忽略不计，则下列选项正确的是（ ）
A．P的大小为500Pa B．F浮的大小为0.3N
C．物体B的密度为7g/cm3 D．物体B的体积为100cm3
二．力臂的画法（共4小题）
21．如图所示，轻质杠杆OA可绕O点转动，通过定滑轮用力拉动杠杆缓慢转动，在图示位置时，杠杆的动力臂力L作图正确的是（ ）
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